§35等直圆轴扭转时的变形刚度条件 Ⅰ、扭转时的变形—两个横截面的相对扭转角q 扭转角沿杆长的变化率 d T o dx e 相距dx的微段两端截面间 相对扭转角为 D T dx ax
§3-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件 Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角j 扭转角沿杆长的变化率 d p d GI T x = = j j x GI T d d p j = 相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为 Me Me j dj g D' T T O1 O2 a b a dx b A D
相距l的两横截面间相对扭转角为 T p=ldo=a dx OGI 等直圆杆仅两端截面受外力偶矩M作用时 TI M GI GI (单位:rac 称为等直圆杆的扭转刚度
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时 GI p Tl j = 称为等直圆杆的扭转刚度 相距l 的两横截面间相对扭转角为 = = l l x GI T 0 p j dj d Me Me j p e GI M l = (单位：rad)
例3-4图示钢制实心圆截面轴,已知:M1=1592N-m, M2=955Nm,M2=637Nm,d=70mm,lA=300mm lc=500mm,钢的切变模量G-80GPa。求横截面C相 对于B的扭转角cB B A AB AC 解 先用截面法求各段轴的扭矩 BA段71=955Nm AC段 T2=-637Nm
例3-4 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相 对于B的扭转角jCB。 解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩： T1 = 955Nm T2 = −637Nm BA段 AC段 Ⅰ M1 Ⅱ M3 B A C M2 d lAB lAC
M2 I M PPAB B A CA AB AC 2、各段两端相对扭转角: 71(9550N·m300m) AB (80×103MPa)4(70mm)y 32 =152×10-3rad _(=637×105N-m.500mm) CA G/1 P(80×103MPa) 70mm 32 1.69×10-3rad
P 2 GI T lAC j CA = p 1 GI T lAB j AB = 2、 各段两端相对扭转角： ( )( ) ( ) ( ) 3 4 3 70mm 32 π 80 10 MPa 955 10 N mm 300mm = 1.52 10 rad −3 = ( )( ) ( ) ( ) 3 4 3 70mm 32 π 80 10 MPa 637 10 N mm 500mm − = 1.69 10 rad −3 = − jCA jAB Ⅰ M1 Ⅱ M3 B A C M2 d lAB lAC
Ma MI AB B A CA AB AC 3、横截面C相对于B的扭转角: 0B=9B+qc=[152+(-1.69)×103 =-0.17×103rad
3、 横截面C相对于B的扭转角： jCB =j AB +jCA 3 [1.52 ( 1.69)] 10− = + − 0.17 10 rad −3 = − jAB jCA Ⅰ M1 Ⅱ M3 B A C M2 d lAB lAC
例3-5图示空心圆杆AB,A端固定,底板B为刚性 杆,在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心 杆的内、外径分别为D1和d1,外力偶矩M、两杆 的长度l1、l2及材料的切变模量G均为已知。试求: 、两杆横截面上的切应力分布图; 、实心杆C端的绝对扭转角q 刚性板
例3-5 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性 杆，在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心 杆的内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆 的长度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角jC。 I D1 d1 d2 l1 l2 A B C I Me I-I 刚性板
刚性板 B M BM解:1、分析两轴的受力 如图,求出其扭矩分别为 7=-M
解：1、分析两轴的受力 如图，求出其扭矩分别为 T1 = −Me T2 = Me I D1 d1 d2 l1 l2 A B C I Me I-I 刚性板 Me Me A B Me C B Me
2、求横截面上的切应力 空心圆轴 16M Lmax WnmD(1-a)/16πD3(1-a4) T1×d,/2-M×d,/2 16M T L min πD1(1-a4)/32TD1(1-a4) 实心圆轴 M。_16M 2,m nax p2 /16
3 2 e 3 2 e p2 2 2,max π 16 π /16 d M d M W T = = = π (1 ) 16 π (1 )/16 3 4 1 e 3 4 1 e p1 1 1,max − = − − − = = D M D M W T π (1 ) 16 π (1 )/ 32 / 2 / 2 3 4 1 e 4 4 1 e 1 p1 1 1 1,min − = − − − = = D M D M d I T d 2、求横截面上的切应力 空心圆轴 实心圆轴
空心圆轴 实心圆轴 16M e 16M .max TD1(1-a4) 2.max 2 16M.a Lmin 兀D1(1-a) max max
3 2 e 2,max π 16 d M = π (1 ) 16 3 4 1 e 1,max − = − D M π (1 ) 16 3 4 1 e 1,min − = − D M 空心圆轴 实心圆轴 2,max 1,max 1,min T1 T2
3、计算绝对扭转角c e B e BM 9c=02+0gC B pI 32M 32M GID (1-a) gnd
3、计算绝对扭转角jC j C = j AB +j BCp2 2 2 p1 1 1 GI T l GI T l = + 4 2 e 2 4 4 1 e 1 π 32 π (1 ) 32 G d M l G D M l + − = A B C Me Me Me C B A B Me Me A C jBA jCB