在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题,这是因为正弦信号比较容 易产生和获得,在科学研究和工程技术中 许多电气设备和仪器都是以正弦浪为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论, 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性,可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说,知道了正弦 稳态响应后,原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题,这是因为正弦信号比较容 易产生和获得,在科学研究和工程技术中, 许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论, 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性,可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说,知道了正弦 稳态响应后,原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应
正弦量和相量 随时间按正弦规律变化的 Am sin(at+o) 电压和电流,称正弦电压4 和正弦电流。 y(t=Amsin(ot+o) n最大值,角频率,o初相位,O (-180<q<1809 最大值,角频率,初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后,正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流(t),则(t)= Im sin(ot)其中m是 正弦电流最大值,l正弦电流有效值
正弦量和相量 随时间按正弦规律变化的 电压和电流,称正弦电压 和正弦电流。 0 t sin( ) A t m + A m y(t)=Amsin(t+) Am最大值,角频率,初相位, (-180<<180) 若正弦量为电流i(t),则i(t)=Imsin(t+)其中Im是 正弦电流最大值,I是正弦电流有效值。 最大值,角频率,初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后,正弦量就被唯一确定
有效值也称均方根值,即 有效值 =0.7071 以上情况同样适合于正弦电压 v(t)=Vm sin(at+)=2v sin(ot+) 0.707 实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值,包括交流电机和电器上的铭牌
有效值也称均方根值,即 ( ) 2 0 1 T I i t dt T = 以上情况同样适合于正弦电压 ( ) sin( ) 2 sin( ) m v t V t V t = + = + ( ) 2 0 1 T V v t dt T = 实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值,包括交流电机和电器上的铭牌。 有效值 0.707 2 m m I I I = = 0.707 2 m m V V V = =
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值,或者说其正半波的平均值。 2. sin tatt Ⅰ=0.6371 2 其中 L sino=i(为正弦电流,对电压也同样适用。 平均值=21n=06377有效值大于其平均值 根据欧拉公式 cos 0+isin 当0是的函数时,正弦量 Am sin(ot+q)可用复值函 数来表示 1, sin(ot+)=Im(Am/tp))=Im(amee)=Im(Am, e/o)
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值,或者说其正半波的平均值。 2 0 2 sin 0.637 2 T a m m m I I tdt I I T = = = 其中Imsint= i(t)为正弦电流,对电压也同样适用。 平均值 2 0.637 a m m I I I = = 有效值大于其平均值 根据欧拉公式 cos sin j e j = + 当是t的函数时,正弦量Amsin(t+)可用复值函 数来表示 。 ( ) sin( ) Im( ) Im( ) Im( ) j t j j t j t A t A e A e e A e m m m m + + = = =
am sin(ot +)=Im(Am, e/( on+9)=Im(Am e/elon )=Im(Am, eJor) 其中A会Ae是t=0时的复值常数,称相量 Ae称旋转相量,em称旋转因子 相量可表示为An=Ane=An∠ 作为复数,相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 设 e , Jp1 m1 m2 1=(2 同相
其中 ( ) sin( ) Im( ) Im( ) Im( ) j t j j t j t A t A e A e e A e m m m m + + = = = j A A e m m 是t=0时的复值常数,称相量 A e m j t 称旋转相量, e j t 称旋转因子 相量可表示为 j A A e A m m m = = 作为复数,相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 设 1 1 1 j A A e m m = 2 2 2 j A A e m m = 且 Am1=Am2=Am,1=2 同相 A m1 A m2 + j0 +1
1→(2 A超前An2角度 A2落后M0角度 6 0=90 A,=Ae%=a e/2+90 e190° Ane"(c0s90°+jsin90°) e iAm 个相量乘一个,向逆时针方向旋转90°,乘一个j 向顺时针方向旋转90°,所以称j=e90°旋转因子
1>2 A m1 A m2 + j0 +1 A m1 超前 A m2 角度 A m2 落后 A m1 角度 =90 1 2 2 2 2 ( 90 ) 1 90 2 (cos90 sin 90 ) j j m m m j j j m m j m m A A e A e A e e A e j jA e j A + = = = = + = = 2 1 1 1 A A A m m m j = = − 一个相量乘一个j,向逆时针方向旋转90 ,乘一个 -j, 向顺时针方向旋转90 ,所以称 j90 j e = 90旋转因子 A m1 A m2 + j0 +1
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系 sin(at+o)Im(am. coS(at+o) Re(ame/o) 2F=F
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系 sin( ) Im( ) j t A t A e m m + + j 0 +1 2 t F • 2 F F m • • = 0 2 t 2 t f t( ) cos( ) Re( ) j t A t A e m m +
根据数学知识,任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和,仍然 是同频率的正弦量。因此,相量A=A1e 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量,只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。 A也称最大值相量。因为最大值与有效值A之 间的关系A=√2 1 sin(at+)=v2 Asin(at+) =lm(2Aeo)=lm(√2Ae) 其中A全Ae称有效值相量,且A=√A
根据数学知识,任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和,仍然 是同频率的正弦量。因此,相量 j A A e m m = 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量,只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。 A m 也称最大值相量。因为最大值与有效值A之 间的关系 2 A A m = ( ) sin( ) 2 sin( ) Im( 2 ) Im( 2 ) m j t j t A t A t Ae A e + + = + = = 其中 j A Ae 称有效值相量,且 2 A A m =
正弦量与相量间属一种变换,称相量法变换phj。 相量法变换ph为已知正弦量变换成相量。 philA sin(at+o)l= philv2Asin(ot+=AZ Am,= phil Am, sin(at +o=AmLo 相量法反变换ph1为已知相量,变换成正弦量。 2Asin(at+)=A sin(at +o)=phi [A]=phj ALp1 A sin(at +p)=p [A]=p[An∠g]
正弦量与相量间属一种变换,称相量法变换phj。 相量法变换phj为已知正弦量变换成相量。 [ sin( )] [ 2 sin( )] A phj A t phj A t A = + = + = m [ sin( )] A phj A t A m m m = + = 相量法反变换phj-1为已知相量,变换成正弦量。 1 1 2 sin( ) sin( ) [ ] [ ] A t A t phj A phj A m − − + = + = = 1 1 sin( ) [ ] [ ] A t phj A phj A m m m − − + = =