系统不确定性的数值计算方法.pdf_大学文库

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2003.01.021 第25卷第4期北京科技大学学报 Vol.25 No.4 2003年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2003 系统不确定性的数值计算方法石博强肖成勇北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要基于未确知理论，定义了系统不确定性的一个度量尺度一盲数方差.通过将系统 “宽区间”范围的“强”不确定性离散化处理成“窄区间”范围的“弱”不确定性，给出了基于盲数的系统不确定性数值计算原理和方法，它是一种通用的数值计算方法，实际计算表明该方法的正确性和实用性关键词系统：未确知：盲数：数值计算：方差分类号N941.1;0241.5. 随着系统科学特别是复杂系统科学的发展，若当i+j时，x*x,且∑a=a≤1，则称函数人们逐渐由“决定论”立场，转向以不确定性理论 fx)为一个盲数.称a,为fx)的x值的可信度，a为为基础的“选择论”立场.系统不确定性分析与计 fx)的总可信度，n为fx)的阶数.定义盲数运算算，目前主要是以概率论和数理统计为基础的. 如下，在实际应用中，确定随机变量的分布类型和由多设*表示盲数四则运算+，一，×，+的任一种，个随机变量决定的事件（也是随机变量）的分布设盲数A,B 和数字特征时遇到相当困难.事实上，由于现实 A=f(x)= a,x=x(i=1,2,…,m) 世界的复杂性和广泛存在的不确定性，严格意义 0其他上满足典型概率分布的随机变量几乎不存在.另 B=8(y)= B,y=%0=1,2,…,m） l0其他 (2) 外，信息也存在“未确知性”，未确知性不同于随 xx*y1…x*y…x*yn 机性，也不同于模糊性，它纯粹是由于条件的限制对已经发生的问题认识不清而产生的不确定 xy1…*y…x,*y。性.我国学者王光远院士首先提出了“未确知性” (3) 这一概念，后由刘开第、王清印、吴和琴等学者发 xmxn*y…xn*y…x*ya 展了未确知数学，之后又建立了“盲数”的概念和四则运算规则.本文通过未确知数学中盲数称为A关于B的可能值带边*矩阵，，2，x和的计算规则，阐述了系统不确定性的数值计算原 y,…y分别是A与B的可能值序列.互相垂直的理和方法，两条直线称为纵轴和横轴.第一象限元素构成的 m×n阶矩阵叫做A关于B在*运算下的可能值*矩 1理论基础阵，简称可能值*矩阵， a1a1f1…a1'B…a1Bn 11盲数的定义及其运算法则，设a∈g0,a∈[0,1]，i=1,2,,n.fx)为定义在 aa月…aB…aBn g(0上的灰函数，且而 (4) f(x)= ax=x(i=1,2,3,…,m) (1) a aB…a月…anf。 0其他 ·B1…月…B 称为A关于B的可信度带边积矩阵，a1,a2,…,a和P, 收稿日期2002-10-29 石牌强男，41岁，教授 *国家自然科学基金资助项目QNo.59605002) A“,B分别是A与B的可信度序列，第一象限元素

Vol.25 No.4 石博强等：系统不确定性的数值计算方法 ·375· 构成的m×n阶矩阵叫做A关于B的可信度积矩阵，为在“窄区间”范围的“微小”不确定性计算.整体简称可信度积矩阵不确定性则由众多“馓小”区间的不确定性全体 A关于B的可能值*矩阵中相同的元素算作组成：整体不确定性区间是“微小”不确定性区间一个排成序列：通过某种“组合”而成的集合.这样，就将大尺度 ,,…, (5) 范围内“强”不确定性计算转化为离散的小尺度若x在可能值*矩阵中有S,个不同位置，将可范围内的“弱”不确定性计算. 信度积矩阵中相对应的S,个位置上的元素之和系统状态变量和控制参数为已知的分布函记为产，可得序列：数时，将之按变量的区间根据分布函数离散化处 ,,…,万 (6) 理成盲数.由于离散后的各区间是很“窄”的，盲令(x)= Fx=(i=1,2,…, ,称(x)为盲数数化后就能够很好地逼近原分布函数.如一个正 0,其他态分布N(10,02)理论分布被离散化后的区间如 A与B之*，记作 m,x=,(i=1,2,…)）图1所示，离散区间越小，越逼近理论值，但计算 4+B-f(x)"g()= 0,其他 (7) 量随区间增加而急剧增大，当*分别代表+，一，×，÷时，则分别得到A+B, 可 A-B,A×B,A÷B.对÷运算要求y的区间不包含实数00=1,2，…n). 12盲数的均值和方差设a,b为实数且a≤b,称(a+b)为有理灰数 0,0050 [a,b]或[a,b]的心，记为 0.0 4 10.0 Oia.b]-(a+b),O[q.b]-j(a+b) (8) 图1y,a的分布 ax=x(i=1,2,…,m) Fig.I Distributions of xy,a 设盲数 f-{0,其他 (9) 系统状态变量和控制参数为离散量，且在相其中，a∈g0,0<a<1=l,2,m,Σa,=a<1,称应区间内已知其概率时，直接表示成盲数， i-1 一阶未确知有理数 2.2计算原理及程序处理 E(f())= x-女o8aw 将变量盲数化，按前面介绍的规则计算并应 1 (10) 用LabVIEW语言编写了相应的计算程序.由于 0,其他为盲数fx)的均值，它体现盲数fx)的平均取值. 盲数在实际计算过程中阶数有急剧增加的趋势，根据数理统计理论，定义反映盲数的分散程为了减少计算量，对于小可靠度区间进行了必要的合并与降阶处理.图2为系统不确定性数值计度的盲数方差和标准差为： D》=2(a(Ox-Exy,=VDa 算的程序框图 di-1 (11) 其中，⊙x为x的心开始读入数据 2不确定性的数值计算原理盲数初始化是降阶？ 2.1离散化系统模型降阶处理实际工程问题中，对于随机变量在一个“窄” 区间内，其分布类型均可以看作某种典型分布盲数基本运算 (如均匀分布).在这种“窄区间”内，随机变量的不确定性被严格限制在一个“确定”的范围内.也均值与方差计算就是说，将“宽区间”范围的“强”不确定性通过香降阶？是 “离散化”变成“窄区间”范围的“弱”不确定性，结束显示结果降阶处理或者说是“窄区间”内的某种“确定性”.这种离散图2程序框图化的结果，使得原来的概率计算的不确定性转化 Fig.2 Flow chart of the program

一石博强等系统不确定性的数值计算方法构成的阶矩阵叫做关于的可信度积矩阵，简称可信度积矩阵关于的可能值矩阵中相同的元素算作一个排成序列元瓜 … ，石若不在可能值矩阵中有冬个不同位置，将可信度积矩阵中相对应的及个位置上的元素之和记为万，可得序列不，兀，二，凡令一蚤，瓦 ’ ，，… ，其他称功为盲数与之，记作八才加元，不，，，… ，，其他为在 “ 窄区间 ” 范围的 “ 微小 ” 不确定性计算整体不确定性则由众多 “ 微小 ” 区间的不确定性全体组成整体不确定性区间是 “ 微小 ” 不确定性区间通过某种 “ 组合 ” 而成的集合这样，就将大尺度范围内 “ 强 ” 不确定性计算转化为离散的小尺度范围内的 “ 弱 ” 不确定性计算系统状态变量和控制参数为已知的分布函数时，将之按变量的区间根据分布函数离散化处理成盲数由于离散后的各区间是很 “ 窄 ” 的，盲数化后就能够很好地逼近原分布函数如一个正态分布，理论分布被离散化后的区间如图所示离散区间越小，越逼近理论值，但计算量随区间增加而急剧增大当分别代表，一，，一时，则分别得到，一，，留对运算要求’ 的区间不包含实数口，，… ，盲数的均值，，和方差设，为实数且 ‘ ，【，或，」的心，记为称粤十，为有理灰数 ‘ 、产、〔 ‘，了、了、八︸、声，，卜李砂。，。，卜李，设盲数厂以 ‘ ‘ ，，… ，，其他其中，石以刀， “ 一阶未确知有理数，，… ，，艺 ‘ ‘ ，称百叨才，一告誊二，其他为盲数心的均值，它体现盲数今的平均取值根据数理统计理论，定义反映盲数的分散程度的盲数方差和标准差为了卜生全浅 ‘一，，心拉不图少尸的分布 · 必系统状态变量和控制参数为离散量，且在相应区间内已知其概率时，直接表示成盲数计算原理及程序处理将变量盲数化，按前面介绍的规则计算并应用语言口，编写了相应的计算程序由于盲数在实际计算过程中阶数有急剧增加的趋势，为了减少计算量，对于小可靠度区间进行了必要的合并与降阶处理图为系统不确定性数值计算的程序框图其中， ‘为 ‘ 的心不确定性的数值计算原理离散化实际工程问题中，对于随机变量在一个 “ 窄 ” 区间内，其分布类型均可以看作某种典型分布如均匀分布在这种 “ 窄区间 ” 内，随机变量的不确定性被严格限制在一个 “ 确定 ” 的范围内也就是说，将 “ 宽区间 ” 范围的 “ 强 ” 不确定性通过 “ 离散化 ” 变成 “ 窄区间 ” 范围的 “ 弱 ” 不确定性，或者说是 “ 窄区间 ” 内的某种 “ 确定性 ” 这种离散化的结果，使得原来的概率计算的不确定性转化读入数据系统模型降阶处理盲数基本运算均值与方差计算显示结果降阶处理图程序框图 ·

·376· 北京科技大学学报 2003年第4期 3数值计算与理论计算的比较 [0.8432,0.0905],[0.4665,0.3031], [0.9819,0.9800],[0.0628,4.7945]. 为了说明该方法的正确性和实用性，下面给计算表明，随着迭代次数的增加，按未确知出了两个数值计算实例，同时也给出了与理论计理论计算出x,的方差越来越大，即其不确定程算结果的比较度越来越高，也就是长时间很难预测虫口，基于 31多元函数的不确定性计算，未确知的数值计算模型说明了非线性复杂系统计算z=x*ya.其中xy,a为正态分布，分别为演化的短期可预测性和长期不可预测的规律. N(10,0.2),N(5,0.5)、N(2,0.1),按概率理论计算，z 为N25,2.839) 4结论按未确知理论计算，把x,y,a离散后的分布图将“宽区间”范围的“强”不确定性通过“离散显示如图1，得到z的均值和方差为25和2.857以化”处理成“窄区间”范围的“弱”不确定性，并应及分布图3，比较两种计算方法，数值计算方法标用未确知数学的理论，给出了系统不确定性的数准差误差为0.634% 值计算原理和方法，把系统的状态变量和控制参数均作盲数处理，因此不用关心随机变量的分布问题.实际数值计算结果表明了该方法的正确性和实用性，这为客观世界中复杂不确定问题的求解及工程中不确定性设计计算提供了有用工具. 参考文献图3z的分布 1王光远.未确知信息及其数学处理[)】.哈尔滨建筑 Fig.3 Distribution of z 工程学院学报，1990(4)：1 32虫口模型系统不确定性计算 2刘开第，吴和琴，庞彦军，等.不确定性信息数学处理及应用[M.北京：科学出版社，1999.163 虫口模型x1=x.(1-1)在1=3.52时，理论上 3王清印，崔援民，赵秀恒，等.预测与决策的不确定以初值xn=0.2开始迭代，前11次迭代的理论值性数学模型M).北京：冶金工业出版社，2001.52 分别为0.5632,0.8659,0.4086,0.8506,0.4473， 4刘开第，吴和琴，王念鹏，等.未确知数学M武汉： 0.8702,0.3975,0.8430,0.4658,0.8759,0.4658,迭华中理工大学出版社，1997 代结果为4周期点. 5刘开第，吴和琴，庞彦军，等.盲数的概念、运算与性按未确知理论计算，若系统有初始扰动质[).运筹与管理，1998,7(3)：14 0.8,[0.2000,0.2000] 6吴和琴，王庭英，马宏志.盲数的四则运算[切.河北 4-{0.2,[0.199,0.2000 时，前11次迭代结果分建筑科技学院学报，1998,15(3)：6 别用均值和方差表示为：[0.5632,0.0001]， 7石博强，赵德永，李畅，等.LabVIEW6.1编程技术实 [0.8659,0.0002],[0.4086,0.0006], 用教程M).北京：中国铁道出版社，2002 [0.8506,0.00141,[0.4473,0.0044, 8石博强，申焱华.机械故障诊断的分形方法一一理论 [0.8702,0.0111],[0.3975,0.0347], 与实践M.北京：冶金工业出版社，2001.104 Numerical Calculation of System Uncertainty SHI Bogiang,XIAO Chengyong Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the uncertainty theory,a measurement scale of uncertainty-blind number variance is de- fined.By dispersedly transforming the strong uncertainty in a wide interval into the weak uncertainty in a narrow interval,the numberial calculation principle and method of system uncertainty are also given.This is an all-purpose numerical value calculating method that is based on the blind number.Its correctness and practicability is perfectly proved by practical calculations. KEY WORDS system;uncertainty;blind number;numerical calculation;variance

一北京科技大学学报年第期数值计算与理论计算的比较为了说明该方法的正确性和实用性，下面给出了两个数值计算实例，同时也给出了与理论计算结果的比较多元函数的不确定性计算计算故其中，，为正态分布，分别为，，，，、， ’ ，按概率理论计算，为，按未确知理论计算，把，，离散后的分布图显示如图，得到的均值和方差为和以及分布图比较两种计算方法，数值计算方法标准差误差为，，，，，，，勺计算表明，随着迭代次数的增加，按未确知理论计算出寿的方差越来越大，即其不确定程度越来越高，也就是长时间很难预测虫口基于未确知的数值计算模型说明了非线性复杂系统演化的短期可预测性和长期不可预测的规律图的分布虫口模型系统不确定性计算虫口模型翔玩一凡在又时，理论上以初值瓜开始迭代，前次迭代的理论值分别为，，，，，，，，，，，，迭代结果为周期点「盯按未确知理论计算，若系统有初始扰动。一时，前次迭代结果分另用均值和方差表示为， ’ ，，，，，，，，，勺，，，，，，结论将 “ 宽区间 ” 范围的 “ 强 ” 不确定性通过 “ 离散化 ” 处理成 “ 窄区间 ” 范围的 “ 弱 ” 不确定性，并应用未确知数学的理论，给出了系统不确定性的数值计算原理和方法，把系统的状态变量和控制参数均作盲数处理，因此不用关心随机变量的分布问题实际数值计算结果表明了该方法的正确性和实用性，这为客观世界中复杂不确定问题的求解及工程中不确定性设计计算提供了有用工具参考文献王光远未确知信息及其数学处理哈尔滨建筑工程学院学报，刘开第，吴和琴，庞彦军，等不确定性信息数学处理及应用北京科学出版社，王清印，崔援民，赵秀恒，等预测与决策的不确定性数学模型北京冶金工业出版社，刘开第，吴和琴，王念鹏，等未确知数学明武汉华中理工大学出版社，刘开第，吴和琴，庞彦军，等盲数的概念、运算与性质 · 运筹与管理，，吴和琴，王庭英，马宏志盲数的四则运算闭河北建筑科技学院学报，，石博强，赵德永，李畅，等编程技术实用教程』北京中国铁道出版社，石博强，申众华机械故障诊断的分形方法－理论与实践【北京冶金工业出版社，况附了口，阴口，介吨，，，一硕眼。，一切切