系统不确定性的数值计算方法

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2003.01.021 第25卷第4期 北京科技大学学报 Vol.25 No.4 2003年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2003 系统不确定性的数值计算方法 石博强肖成勇 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要基于未确知理论，定义了系统不确定性的一个度量尺度一盲数方差.通过将系统 “宽区间”范围的“强”不确定性离散化处理成“窄区间”范围的“弱”不确定性，给出了基于盲 数的系统不确定性数值计算原理和方法，它是一种通用的数值计算方法，实际计算表明该方 法的正确性和实用性 关键词系统：未确知：盲数：数值计算：方差 分类号N941.1;0241.5. 随着系统科学特别是复杂系统科学的发展， 若当i+j时，x*x,且∑a=a≤1，则称函数 人们逐渐由“决定论”立场，转向以不确定性理论 fx)为一个盲数.称a,为fx)的x值的可信度，a为 为基础的“选择论”立场.系统不确定性分析与计 fx)的总可信度，n为fx)的阶数.定义盲数运算 算，目前主要是以概率论和数理统计为基础的. 如下， 在实际应用中，确定随机变量的分布类型和由多 设*表示盲数四则运算+，一，×，+的任一种， 个随机变量决定的事件（也是随机变量）的分布 设盲数A,B 和数字特征时遇到相当困难.事实上，由于现实 A=f(x)= a,x=x(i=1,2,…,m) 世界的复杂性和广泛存在的不确定性，严格意义 0其他 上满足典型概率分布的随机变量几乎不存在.另 B=8(y)= B,y=%0=1,2,…,m） l0其他 (2) 外，信息也存在“未确知性”，未确知性不同于随 xx*y1…x*y…x*yn 机性，也不同于模糊性，它纯粹是由于条件的限 制对已经发生的问题认识不清而产生的不确定 xy1…*y…x,*y。 性.我国学者王光远院士首先提出了“未确知性” (3) 这一概念，后由刘开第、王清印、吴和琴等学者发 xmxn*y…xn*y…x*ya 展了未确知数学，之后又建立了“盲数”的概念 和四则运算规则.本文通过未确知数学中盲数 称为A关于B的可能值带边*矩阵，，2，x和 的计算规则，阐述了系统不确定性的数值计算原 y,…y分别是A与B的可能值序列.互相垂直的 理和方法， 两条直线称为纵轴和横轴.第一象限元素构成的 m×n阶矩阵叫做A关于B在*运算下的可能值*矩 1理论基础 阵，简称可能值*矩阵， a1a1f1…a1'B…a1Bn 11盲数的定义及其运算法则， 设a∈g0,a∈[0,1]，i=1,2,,n.fx)为定义在 aa月…aB…aBn g(0上的灰函数，且 而 (4) f(x)= ax=x(i=1,2,3,…,m) (1) a aB…a月…anf。 0其他 ·B1…月…B 称为A关于B的可信度带边积矩阵，a1,a2,…,a和P, 收稿日期2002-10-29 石牌强男，41岁，教授 *国家自然科学基金资助项目QNo.59605002) A“,B分别是A与B的可信度序列，第一象限元素

彭开 香 等 神经 网络技术在淬火控冷 中的应 用 李士 勇 模糊控制 · 神经 控制 · 智 能控制论 哈尔 滨 哈尔滨工 业 大 学 出版社 ， 之 尸￡ 众 ， 砚 厂口刃 盯 ， 。 血 ， ， 七 一 ， ， 、 卜刀。 『 ， 一 ， 。 比 朴刀 毗 上接 第 页 参 考 文 献 刘 价 ， 孙 一康 带钢 热 连 轧计 算机控 制 北 京 机 械工 业 出版社 ， 刘贺平 系统辩识 与控制田 北 京 北 京科技大 学 ， 阎平 凡 ， 张长水 人工神经 网络 与模拟进化计算 』 北 京 清华大 学 出版社 ， 舒迪 前 预 测 控 制 系 统 及 其 应 用「 北 京 机械工 业 出版社 ， 李士 勇 模糊控制神经 控 制 和 智 能控 制论 哈尔 滨 哈尔滨 工 业 大 学 出版社 ， 王 炎 模糊 免 疫 控制器 的设计 与仿 真 计 算 机仿真 ， ， ， 丫 石刁 ， 楼顺 天 ， 施 阳 基于 阴 的 系统 分 析 与 设 计一 神经 网络 西 安 西 安 电子 科 技 大学 出版社 。， 一 义 ， 扩几 〔 ’， 初 ， ， 血扭 ， 刀 ， 一 一 娜 ， 而 一 ， 。 而 一 ， 比 勿 。 几 一 而 一 七万。 们 刃 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2003．04．021

Vol.25 No.4 石博强等：系统不确定性的数值计算方法 ·375· 构成的m×n阶矩阵叫做A关于B的可信度积矩阵， 为在“窄区间”范围的“微小”不确定性计算.整体 简称可信度积矩阵 不确定性则由众多“馓小”区间的不确定性全体 A关于B的可能值*矩阵中相同的元素算作 组成：整体不确定性区间是“微小”不确定性区间 一个排成序列： 通过某种“组合”而成的集合.这样，就将大尺度 ,,…, (5) 范围内“强”不确定性计算转化为离散的小尺度 若x在可能值*矩阵中有S,个不同位置，将可 范围内的“弱”不确定性计算. 信度积矩阵中相对应的S,个位置上的元素之和 系统状态变量和控制参数为已知的分布函 记为产，可得序列： 数时，将之按变量的区间根据分布函数离散化处 ,,…,万 (6) 理成盲数.由于离散后的各区间是很“窄”的，盲 令(x)= Fx=(i=1,2,…, ,称(x)为盲数 数化后就能够很好地逼近原分布函数.如一个正 0,其他 态分布N(10,02)理论分布被离散化后的区间如 A与B之*，记作 m,x=,(i=1,2,…)） 图1所示，离散区间越小，越逼近理论值，但计算 4+B-f(x)"g()= 0,其他 (7) 量随区间增加而急剧增大， 当*分别代表+，一，×，÷时，则分别得到A+B, 可 A-B,A×B,A÷B.对÷运算要求y的区间不包含实 数00=1,2，…n). 12盲数的均值和方差 设a,b为实数且a≤b,称(a+b)为有理灰数 0,0050 [a,b]或[a,b]的心，记为 0.0 4 10.0 Oia.b]-(a+b),O[q.b]-j(a+b) (8) 图1y,a的分布 ax=x(i=1,2,…,m) Fig.I Distributions of xy,a 设盲数 f-{0,其他 (9) 系统状态变量和控制参数为离散量，且在相 其中，a∈g0,0<a<1=l,2,m,Σa,=a<1,称 应区间内已知其概率时，直接表示成盲数， i-1 一阶未确知有理数 2.2计算原理及程序处理 E(f())= x-女o8aw 将变量盲数化，按前面介绍的规则计算并应 1 (10) 用LabVIEW语言编写了相应的计算程序.由于 0,其他 为盲数fx)的均值，它体现盲数fx)的平均取值. 盲数在实际计算过程中阶数有急剧增加的趋势， 根据数理统计理论，定义反映盲数的分散程 为了减少计算量，对于小可靠度区间进行了必要 的合并与降阶处理.图2为系统不确定性数值计 度的盲数方差和标准差为： D》=2(a(Ox-Exy,=VDa 算的程序框图 di-1 (11) 其中，⊙x为x的心 开始 读入数据 2不确定性的数值计算原理 盲数初始化 是 降阶？ 2.1离散化 系统模型 降阶处理 实际工程问题中，对于随机变量在一个“窄” 区间内，其分布类型均可以看作某种典型分布 盲数基本运算 (如均匀分布).在这种“窄区间”内，随机变量的 不确定性被严格限制在一个“确定”的范围内.也 均值与方差计算 就是说，将“宽区间”范围的“强”不确定性通过 香降阶？是 “离散化”变成“窄区间”范围的“弱”不确定性， 结束 显示结果 降阶处理 或者说是“窄区间”内的某种“确定性”.这种离散 图2程序框图 化的结果，使得原来的概率计算的不确定性转化 Fig.2 Flow chart of the program

一 石 博强 等 系统 不 确 定性 的数值计 算方 法 构 成 的 阶矩 阵 叫做 关 于 的可 信度 积 矩 阵 ， 简称 可 信度 积 矩 阵 关 于 的可 能值 矩 阵 中相 同 的 元 素 算作 一 个排成 序 列 元 瓜 … ， 石 若不在可 能值 矩 阵 中有冬个 不 同位 置 ， 将可 信 度积 矩 阵 中相 对 应 的及个 位 置 上 的元 素 之 和 记 为万 ， 可 得 序 列 不 ， 兀 ， 二 ， 凡 令 一 蚤， 瓦 ’ ， ，… ， 其他 称功 为盲 数 与 之 ， 记 作 八才 加 元 ， 不 ， ， ，… ， ， 其 他 为在 “ 窄 区 间 ” 范 围的 “ 微小 ” 不 确 定性计 算 整 体 不 确 定性 则 由众 多 “ 微 小 ” 区 间 的不 确 定 性 全 体 组成 整体不确 定性 区 间是 “ 微 小 ” 不 确 定性 区 间 通 过 某 种 “ 组 合 ” 而 成 的集合 这 样 ， 就 将 大尺 度 范 围 内 “ 强 ” 不 确 定 性 计 算 转 化 为 离 散 的小 尺 度 范 围 内的 “ 弱 ” 不 确 定 性 计 算 系 统 状 态 变 量 和 控 制 参 数 为 已 知 的分 布 函 数 时 ， 将 之 按变 量 的 区 间根 据 分 布 函数 离散化 处 理 成 盲 数 由于 离散后 的各 区 间是 很 “ 窄 ” 的 ， 盲 数化后 就 能够很 好地逼 近 原分布 函数 如一个 正 态 分 布 ， 理 论 分 布被 离散 化 后 的 区 间如 图 所示 离 散 区 间越 小 ， 越 逼近理 论值 ， 但 计算 量 随 区 间增 加 而 急 剧 增 大 当 分 别 代表 ， 一 ， ， 一 时 ， 则 分别 得 到 ， 一 ， ， 留 对 运 算要 求’ 的区 间不 包 含 实 数 口 ， ，… ， 盲 数 的均 值，， 和 方 差 设， 为 实数 且 ‘ ， 【 ， 或 ， 」的心 ， 记 为 称粤 十， 为有 理 灰 数 ‘ 、产、 〔 ‘，了、了、 八︸ 、声 ，，卜李砂。 ， 。 ，卜李 ， 设 盲 数 厂以 ‘ ‘ ， ，… ， ， 其他 其 中 ， 石以刀 ， “ 一 阶 未 确 知 有 理 数 ， ，… ， ， 艺 ‘ ‘ ， 称 百叨才 ， 一告 誊 二 ， 其他 为 盲 数心 的均 值 ， 它 体现 盲数今 的平均 取 值 根 据 数 理 统 计 理 论 ， 定 义 反 映盲 数 的分 散程 度 的盲 数 方 差 和 标 准 差 为 了卜 生全 浅 ‘一 ， ， 心 拉不 图 少尸 的 分 布 · 必 系统状态 变量 和 控制参 数 为离散量 ， 且 在 相 应 区 间 内 已 知 其概 率 时 ， 直 接 表 示 成 盲数 计 算 原 理 及 程 序处 理 将 变 量 盲数 化 ， 按前 面 介 绍 的规 则 计 算 并应 用 语 言口，编 写 了相 应 的计 算 程 序 由于 盲 数在实 际计 算过程 中阶数有 急剧 增加 的趋 势 ， 为 了减 少计 算量 ， 对 于 小可 靠度 区 间进 行 了必 要 的合 并 与 降阶处 理 图 为系统 不 确 定性 数值计 算的程 序框 图 其 中 ， ‘为 ‘ 的心 不 确 定 性 的数值 计 算原 理 离散 化 实 际工 程 问题 中 ， 对 于 随机变量 在 一 个 “ 窄 ” 区 间 内 ， 其 分 布类 型 均 可 以看 作 某 种 典 型 分 布 如 均匀 分 布 在 这 种 “ 窄 区 间 ” 内 ， 随机 变 量 的 不确 定性被严 格 限制 在 一 个 “ 确 定 ” 的范 围 内 也 就 是 说 ， 将 “ 宽 区 间 ” 范 围的 “ 强 ” 不 确 定 性通 过 “ 离 散化 ” 变成 “ 窄 区 间 ” 范 围的 “ 弱 ” 不 确 定 性 ， 或 者 说 是 “ 窄 区 间 ” 内的某种 “ 确 定性 ” 这种 离散 化 的结果 ， 使得 原来 的概 率计 算 的不 确 定 性 转 化 读入数据 系统模型 降阶处理 盲数基本运算 均值与方差计算 显示结果 降阶处理 图 程 序框 图 ·

·376· 北京科技大学学报 2003年第4期 3数值计算与理论计算的比较 [0.8432,0.0905],[0.4665,0.3031], [0.9819,0.9800],[0.0628,4.7945]. 为了说明该方法的正确性和实用性，下面给 计算表明，随着迭代次数的增加，按未确知 出了两个数值计算实例，同时也给出了与理论计 理论计算出x,的方差越来越大，即其不确定程 算结果的比较 度越来越高，也就是长时间很难预测虫口，基于 31多元函数的不确定性计算， 未确知的数值计算模型说明了非线性复杂系统 计算z=x*ya.其中xy,a为正态分布，分别为 演化的短期可预测性和长期不可预测的规律. N(10,0.2),N(5,0.5)、N(2,0.1),按概率理论计算，z 为N25,2.839) 4结论 按未确知理论计算，把x,y,a离散后的分布图 将“宽区间”范围的“强”不确定性通过“离散 显示如图1，得到z的均值和方差为25和2.857以 化”处理成“窄区间”范围的“弱”不确定性，并应 及分布图3，比较两种计算方法，数值计算方法标 用未确知数学的理论，给出了系统不确定性的数 准差误差为0.634% 值计算原理和方法，把系统的状态变量和控制参 数均作盲数处理，因此不用关心随机变量的分布 问题.实际数值计算结果表明了该方法的正确性 和实用性，这为客观世界中复杂不确定问题的求 解及工程中不确定性设计计算提供了有用工具. 参考文献 图3z的分布 1王光远.未确知信息及其数学处理[)】.哈尔滨建筑 Fig.3 Distribution of z 工程学院学报，1990(4)：1 32虫口模型系统不确定性计算 2刘开第，吴和琴，庞彦军，等.不确定性信息数学处 理及应用[M.北京：科学出版社，1999.163 虫口模型x1=x.(1-1)在1=3.52时，理论上 3王清印，崔援民，赵秀恒，等.预测与决策的不确定 以初值xn=0.2开始迭代，前11次迭代的理论值 性数学模型M).北京：冶金工业出版社，2001.52 分别为0.5632,0.8659,0.4086,0.8506,0.4473， 4刘开第，吴和琴，王念鹏，等.未确知数学M武汉： 0.8702,0.3975,0.8430,0.4658,0.8759,0.4658,迭 华中理工大学出版社，1997 代结果为4周期点. 5刘开第，吴和琴，庞彦军，等.盲数的概念、运算与性 按未确知理论计算，若系统有初始扰动 质[).运筹与管理，1998,7(3)：14 0.8,[0.2000,0.2000] 6吴和琴，王庭英，马宏志.盲数的四则运算[切.河北 4-{0.2,[0.199,0.2000 时，前11次迭代结果分 建筑科技学院学报，1998,15(3)：6 别用均值和方差表示为：[0.5632,0.0001]， 7石博强，赵德永，李畅，等.LabVIEW6.1编程技术实 [0.8659,0.0002],[0.4086,0.0006], 用教程M).北京：中国铁道出版社，2002 [0.8506,0.00141,[0.4473,0.0044, 8石博强，申焱华.机械故障诊断的分形方法一一理论 [0.8702,0.0111],[0.3975,0.0347], 与实践M.北京：冶金工业出版社，2001.104 Numerical Calculation of System Uncertainty SHI Bogiang,XIAO Chengyong Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the uncertainty theory,a measurement scale of uncertainty-blind number variance is de- fined.By dispersedly transforming the strong uncertainty in a wide interval into the weak uncertainty in a narrow interval,the numberial calculation principle and method of system uncertainty are also given.This is an all-purpose numerical value calculating method that is based on the blind number.Its correctness and practicability is perfectly proved by practical calculations. KEY WORDS system;uncertainty;blind number;numerical calculation;variance

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 数 值 计 算 与理 论 计 算 的 比较 为 了说 明该 方法 的正 确 性 和 实用 性 ， 下 面 给 出 了两 个 数值计 算 实例 ， 同时也给 出 了与理 论 计 算 结 果 的 比较 多元 函 数 的 不 确 定 性 计 算 计 算 故 其 中， ， 为 正 态 分布 ， 分 别 为 ， ， ， ， 、 ， ’ ， 按 概 率 理 论计 算 ， 为 ， 按未 确 知 理 论 计 算 ， 把 ， ， 离 散后 的分 布 图 显 示 如 图 ， 得 到 的均值 和 方差 为 和 以 及 分布 图 比较两 种计 算方 法 ， 数值计 算 方法 标 准 差 误 差 为 ， ， ， ， ， ， ， 勺 计 算表 明 ， 随着 迭 代次数 的增 加 ， 按 未确 知 理 论 计 算 出寿 的方 差 越 来 越 大 ， 即其不 确 定程 度 越 来越 高 ， 也 就 是 长 时 间很 难 预 测 虫 口 基 于 未 确 知 的数 值 计 算模 型 说 明 了 非 线 性 复 杂 系 统 演化 的短 期可 预 测 性 和 长 期不 可 预 测 的规律 图 的分 布 虫 口 模 型 系 统 不 确 定 性 计 算 虫 口 模型翔 玩 一凡 在又 时 ， 理 论 上 以初 值瓜 开 始迭 代 ， 前 次迭 代 的理 论 值 分 别 为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 迭 代 结果 为 周 期 点「盯 按 未确 知 理 论 计 算 ， 若 系 统 有 初 始扰 动 。 一 时 ， 前 次迭 代 结 果 分 另 用 均 值 和 方 差 表 示 为 ， ’ ， ， ， ， ， ， ， ， ， 勺 ， ， ， ， ， ， 结 论 将 “ 宽 区 间 ” 范 围 的 “ 强 ” 不 确 定性通过 “ 离 散 化 ” 处 理 成 “ 窄 区 间 ” 范 围 的 “ 弱 ” 不 确 定 性 ， 并应 用 未确 知 数 学 的理 论 ， 给 出 了系统 不确 定 性 的数 值计 算 原理和 方 法 ， 把 系 统 的状 态变量 和 控 制 参 数均 作盲数 处理 ， 因此 不 用 关心 随机 变量 的分布 问题 实际数值 计 算结果表 明 了该 方 法 的正确性 和 实用 性 ， 这 为客观 世 界 中复杂 不确 定 问题 的求 解及 工 程 中不 确 定性 设 计 计 算提 供 了有 用 工 具 参 考 文 献 王 光 远 未确 知 信 息及 其数 学处 理 哈尔滨建筑 工 程 学 院学报 ， 刘 开 第 ， 吴和 琴 ，庞 彦 军 ， 等 不 确 定性 信息数 学处 理及 应 用 北京 科学 出版 社 ， 王 清 印 ， 崔 援 民 ， 赵 秀 恒 ， 等 预 测 与决策 的不 确定 性 数 学模型 北 京 冶金 工 业 出版社 ， 刘 开 第 ，吴和 琴 ，王 念鹏 ， 等 未确 知 数学 明 武汉 华 中理 工 大学 出版社 ， 刘 开 第 ， 吴 和 琴 ，庞彦 军 ， 等 盲 数 的概念 、 运算与 性 质 · 运 筹与管 理 ， ， 吴和 琴 ， 王庭英 ， 马宏 志 盲数 的 四则运 算闭 河 北 建筑科技学 院学报 ， ， 石 博强 ， 赵德 永 ， 李 畅 ， 等 编 程 技术 实 用 教程 』北京 中国铁道 出版 社 ， 石 博强 ， 申众华 机械故 障诊 断 的分 形方 法－ 理 论 与 实践【 北 京 冶 金工 业 出版 社 ， 况附了 口 ， 阴 口 ， 介 吨 ， ， ， 一 硕 眼。 ， 一 切 切