基于LMI方法的鲁棒AQM控制器设计

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2006.05.038 第28卷第5期 北京科技大学学报 Vol.28 No.5 2006年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2006 基于LMI方法的鲁棒AQM控制器设计 吕红庆贾英民 北京航空航天大学第七研究室，北京100083 摘要研究了因特网拥塞控制中的鲁棒主动队列管理(AQM)控制器设计何题.基于Internet传 输控制协议(TCP)拥塞避免机制的线性模型，根据AQM的设计要求，首先将此问题转化为鲁棒 镇定问题：然后利用线性矩阵不等式(LMI)方法得出了动态输出反馈控制器存在的充分条件，并 给出了相应的设计方法，最后，给出了控制器设计的算例并进行了仿真.仿真结果表明所得出的 控制器是可行和有效的，它不仅对全部网络参数鲁棒而且过渡时间短， 关键词鲁棒控制；线性矩阵不等式；主动队列管理；拥塞控制：时滞 分类号TP273 所谓拥塞控制，就是网络节点采取措施以避 1TCP拥塞控制的数学模型与 免拥塞的发生或者对已发生的拥塞作出反应，其 目标是将用户发送到网络中的分组数量维持在网 AQM设计目标 络的处理能力之下).1986年10月，由于拥塞 1.1TCP拥塞控制算法 崩溃的发生，美国LBL到UC Berkeley的数据吞 TCP采用的是基于滑动窗口的拥塞控制机 吐量大幅度降低2]，此后Internet拥塞控制研究 制，即当拥塞发生（出现数据包丢失）时，通过减小 越来越受到重视[3].Internet拥塞控制算法根据 拥塞窗口的尺寸来达到降低数据传输速率的目 实现位置分为源算法(source algorithm)和链路算 的.该算法需要3个参数，即通告窗口(awin)、拥 法(link algorithm).源算法中使用最广泛的是 塞窗口(cwnd)及慢起动阈值(twnd),该算法分 TCP协议中的拥塞控制算法，主要包括慢起动、 为慢起动(slow start)、拥塞避免(congestion avoid- 拥塞避免、快速重传、快速恢复等.链路算法研究 ance)、快速重传(fast retransmission)和快速恢复 主要集中在主动队列管理(AQM)方面.AQM指 (fast recovery)等阶段.其算法描述如下I), 路由器在缓冲区队列溢出之前就按一定概率主动 (1)当一个新数据包得到确认时： 丢弃或标记少数分组，使得源端能对可能发生的 if (cwnd<twnd)cwnd=cwnd+1; 拥塞提早作出反应，从而避免拥塞的发生3].近 else cwnd=cwnd+1/cwnd; 些年，人们已对AQM做了大量研究工作4-刀 (2)源端接受到的重复确认数超过一定的阈 AQM控制算法的设计目标应该不仅使系统 值时： 稳定，而且要能够适应这些网络参数的变化，即控 twnd=twnd/2; 制器对网络参数的鲁棒性是AQM算法的重要目 cwnd=twnd; 你 (3)如果传输超时： 近几十年发展起来的鲁棒控制理论是目前解 twnd=twnd/2; 决模型参数不确定问题比较成功且比较完善的理 cwnd=1; 论体系[8).本文基于文献[8]中得出的TCP拥 有效窗口W=min\{cwnd,awin\{. 塞控制算法的线性化模型，依据AQM控制器的 在慢起动阶段，对每一个确认的数据包，拥塞 设计目标，采用鲁棒控制理论设计了对三个网络 窗口按指数规律增加，直到窗口大小达到慢起动 参数都具有鲁棒性的AQM控制器 阈值；然后算法切换到拥塞避免阶段，并在此处逐 收藕日期：200503-23回日期：2005-05-12 渐线性增加拥塞窗口，直到源端收到3个重复的 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.60374001:No. 确认包，TCP重传该数据包并将拥塞窗口减为当 60334030) 前窗口的一半；如果重传超时，算法将拥塞窗口设 作者简介：吕红庆(1972一)，男，博士研究生

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 伙 砚戮 。 。 基于 方法的鲁棒 控制器设计 吕红 庆 贾英 民 北京航空航天 大学第七研究室 北京 摘 要 研 究 了因特网拥塞控制中的鲁棒主动队列管理 控制器设计问题 基于 传 输控制协议 拥塞避免机制的线性模型 ， 根据 的设计要求 ， 首先将此 问题 转 化为鲁棒 镇定 间题 然后利用线性 矩 阵不 等式 方法得 出了动态输 出反馈控制器 存在的充分条件 ， 并 给出了相应 的设计方法 最后 ， 给出了控制器 设计的算例并进 行 了仿真 仿真结果表 明所 得 出的 控制器是 可行和 有效的 ， 它不仅对全部网络参数鲁棒而 且过渡时间短 关镇词 鲁棒控制 线性矩 阵不等式 主动队列管理 拥 塞控制 时滞 分类号 所谓拥 塞控 制 ， 就是 网络 节点采取措施 以避 免拥塞的发 生或者对 已发 生 的拥 塞作 出反 应 ， 其 目标是将用 户发送 到 网络 中的分组数量维持在 网 络的处 理 能 力 之 下〔 ’ 〕 年 月 ， 由于 拥 塞 崩溃的发 生 ， 美 国 到 的数据 吞 吐量大幅度 降低 ， 此 后 拥 塞控 制 研 究 越 来越 受到 重 视〔 拥 塞控 制算法 根据 实现 位置分为源算法 和 链路 算 法 源 算 法 中 使 用 最 广 泛 的是 协议 中的拥 塞控 制算法 ， 主 要 包 括 慢 起 动 、 拥塞避 免 、 快速重 传 、 快速恢 复等 链路算法研 究 主要 集中在主动 队列管理 方 面 指 路 由器 在缓 冲区队列溢 出之前就按一 定概率主动 丢弃或标记少 数分 组 ， 使得 源端能对 可 能 发 生 的 拥塞提早 作 出反 应 ， 从 而 避 免拥 塞 的发 生 近 些年 ， 人 们已对 做了大量研究工作〔 一 〕 控制算法 的设 计 目标应该不 仅 使 系统 稳 定 ， 而 且要能够适 应这些 网络参数的变化 ， 即控 制器对 网络参数 的鲁棒性是 算法 的重要 目 标 近几十年发展起来 的鲁棒控制理论是 目前解 决模型 参数不确 定问题 比较成功且 比较完善的理 论体 系〔 川 本文 基 于 文 献 【 」中得 出 的 拥 塞控制算法 的线性 化模 型 ， 依据 控制 器 的 设计 目标 ， 采用 鲁棒控制理 论设 计 了对 三 个 网络 参数都具有鲁棒性 的 控制器 收稿 期 习 龙 修回 期 一 一 基盘项 目 国 家 自然 科 学 基 金 资助 项 目 作者简介 吕红庆 一 ， 男 ， 博士研究生 拥 塞 控 制 的 数 学 模 型 与 设计 目标 拥塞控制算法 采用 的是 基 于 滑 动 窗 口 的拥 塞控 制机 制 ， 即当拥塞发生 出现 数据包丢 失 时 ， 通过 减小 拥塞窗 口 的尺 寸来 达 到 降低 数 据 传 输 速 率 的 目 的 该算法需要 个参数 ， 即通 告窗 口 、 拥 塞窗 口 。 及 慢 起 动 闽值 该算法 分 为慢起 动 、 拥塞避 免 。 、 快速 重 传 和 快速 恢 复 等阶段 其算法描述 如下 川 当一 个新数据包得到 确认时 源端接受到 的重 复确认数超过 一 定的闽 值时 如果 传输超 时 有效 窗 口 。 ， 在慢起动 阶段 ， 对每一 个确认的数据包 ， 拥塞 窗 口 按指数规律 增 加 ， 直到 窗 口 大 小达 到 慢起 动 阑值 然后算法切换到 拥塞避 免 阶段 ， 并在此 处逐 渐线性增加拥塞窗 口 ， 直 到 源端 收 到 个 重 复的 确认包 ， 重 传该 数据 包 并将 拥 塞窗 口 减 为当 前窗 口 的一半 如果重 传超 时 ， 算法将拥 塞窗 口 设 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2006．05．038

·486· 北京科技大学学报 2006年第5期 置为1，重新进入慢起动阶段.从以上分析可知， 的延迟 TCP采用的是加性增、乘性减(additive increase (3)鲁棒性.指在网络参数TCP连接数N, multiplicative decrease)的基于窗口的端到端拥塞 链路容量C和回路响应时间定R0变化时，系统 控制机制. 仍能保证(1)，(2)两条特性 1.2数学模型 以上三条AQM控制器设计目标可以概括 对于TCP拥塞控制机制，当不考虑传输超时 为：路由器缓冲区中实时队列长度q鲁棒趋近于 等因素时，其数学模型可用非线性微分方程表 q0.其中，0<q0<rb,rb为缓冲区容量 示0： 2从拥塞控制到鲁棒镇定的转化 W(t)= L_w()wu=R2p(t-R(t)》 R(t)2R(t-R(t)) 设网络参数Ro,C,N的变化范围分别为 (1) (RL,RH),（CL.,CH)和(N,NH),则方程(3)可 )-g8N)-c (2) 以表示为： 其中，W表示当前的TCP拥塞窗口的大小（单 x1=（A1+△A1)x1+(B1+△B1)u(t-d) 位：组)；q表示当前的队列长度（单位：组）；R表 (5) 示往返时间，R=q/c+T,(单位：s);Tp表示传 「RLC_RHC 输延迟（单位：s)；C表示链路容量（单位：组 其中，x1= δw 4N4N2 (s);N表示负载因数(TCP连接的数量)；p表 0 示分组的丢弃概率 RHC RLCL) 给定q0,定义(W=0,9=0),可得到平衡点 △B= 4N2 4N (W,q0,p),对上述非线性微分方程在平衡点 0 作线性化处理，可得到线性微分方程： 「-N+ NH 2N RCH RiCL A1= RC 0 NH NL N 2RL2RH Ro (3) [NH NL r2 0 RoC27 RCL.RCH AA= 2N2 6g(t-Ro) NH NL 11 0 2RL 2RH r3 2RL2RH4 输出为： u(t-d)=8p(t-Ro),Irl,Ir21,Ir3l,Ir4l< 1. =g=01]6w Lg」 (4) 摄动阵满足匹配条件： [△A1△B1]=D1F(t)[EA1EB](6) 其中，R0=9+Tp:8W二W-W0:6g=q-q0; 其中，F(t)为对角阵，且满足FT(t)F(t)<1. 6p÷p-p0: 由于在路由器中只有队列长度q可利用，从 1.3AQM控制器设计目标 实用性出发，对于上述被控对象(5)，考虑设计输 在文献[8]中，Hollot给出了AQM控制器的 出反馈控制器，使得对于满足式(6)的任意参数摄 设计目标，有以下3条： 动，闭环系统鲁棒渐进稳定， (1)高效的队列利用率.指路由器缓冲区中 如果被控对象(5)和输出反馈控制器组成的 的队列既不溢出，也不变空.如果缓冲区溢出则 闭环系统鲁棒渐进稳定，即在网络参数Ro,C,N 导致大量数据包丢失，发生拥塞；缓冲区变空则降 变化时，有： 低了链路的利用率.稳态和暂态运行时都要避免 lim(t;0,to,0)=0 这两种情况出现. 其中，t0为系统的初始状态，t0=(δqo,8o, (2)队列延迟及其变化要小.一个数据包在 6p0), 缓冲区中等待发送的时间称作队列延迟，它等于 由于6q为闭环系统状态的一个分其，则必 g/c.队列延迟时间加上传输延迟T。等于网络 有：

· 北 京 科 技 置 为 ， 重新进入 慢起动 阶段 从 以上 分析可知 ， 采 用 的 是 加 性 增 、 乘性 减 的基 于 窗 口 的端到端拥塞 控制机制 数学棋型 对于 拥塞控制机制 ， 当不考虑 传输超 时 等 因 素时 ， 其 数 学 模 型 可 用 非 线性 微 分 方 程 表 示 一 一 、尹、 ‘ 、户 ， ，‘ 几 、矛龟了、 母， 一 黔字 ， 一 、 、 产 其中 ， 表 示 当 前 的 拥 塞 窗 口 的大 小 单 位 组 表示 当前 的 队列 长度 单位 组 表 示往返 时 间 ， 。 十 单位 。 表示 传 输 延 迟 单 位 表 示 链 路 容 量 单 位 组 一 ’ 表示 负载因数 连接的数量 表 示分组 的丢弃概率 给定 。 ， 定义 方 ， 令 ， 可得 到 平衡点 。 ， 。 ， 。 ， 对 上 述 非 线性 微 分 方 程 在 平 衡点 作线性 化处理 ， 可得到 线性微分方程 大 学 学 报 。 ‘ 年第 期 的延迟 鲁棒性 指在网络参数 连接数 ， 链路容量 和 回路响应 时间定 。 变 化时 ， 系统 仍能保证 ， 两条特性 以上三 条 控 制 器 设 计 目标 可 以 概 括 为 路 由器缓 冲区 中实时队列长度 鲁棒趋近 于 。 其 中 ， 。 、 ， 为缓冲区容量 从拥塞控制到 棒镇定的转化 设 网 络 参数 。 ， ， 的变 化 范 围分 别 为 ， ， ， 和 ， ， 则方 程 可 以表示为 △ △丑 ， 一 一 ， 「台 县 甲 ， ， ， 占 噢‘ 丸 尺 孔 圣 「鱼二鱼 丑工二呈 ， △ ，一 “ 毛 孔‘ ” ， 」 ﹁‘ 于‘、‘‘ 一 一，‘ 尺孔 乏哀不 十 “ 了又 下， 乞 典牛 丸 ‘ 二，二， 十 、 ， 尸 ， ， 厂 一 引 一 哑一沈︸一且 从 一 肠如 一八 一﹄气几 一 命一巡 一 ‘ 一一 习， ，· 户 卜入 「鱼宜， “ “ 一 “ 。 ， 」 型互 ， ， ， 输出 为 。 「切 ‘ “ 一 一 ， 其中 ， 。 ‘ 咎 “ “ 一 。 “ 。 ‘ 、 一 。 。 三 一 · 控制器设计 目标 在文献【 中 ， 给 出 了 控制器 的 设 计 目标 ， 有以 下 条 高效 的队列 利用 率 指路 由器缓冲区 中 的队列 既 不 溢 出 ， 也 不 变空 如果缓 冲区 溢 出则 导 致大量数据包丢 失 ， 发生拥塞 缓冲区变空则降 低 了链路 的利用率 稳态和 暂态运 行时都要避 免 这 两种情况 出现 队列延迟 及 其变化要 小 一 个数据包在 缓冲区 中等待发送 的时 间称作 队列 延 迟 ， 它 等于 训 。 队列 延 迟 时 间加 上 传输 延迟 ， 等于 网 络 摄动阵满足 匹配条件 △ △丑 ， ， 其中 ， 为对 角阵 ， 且 满足 由于在路 由器 中只有队列长度 可利 用 ， 从 实用性 出发 ， 对 于 上 述 被控对象 ， 考虑 设 计输 出反馈控制器 ， 使得 对于满足式 的任意参数摄 动 ， 闭环 系统 鲁棒渐进稳定 如果被控对象 和 输 出反 馈控 制器 组 成的 闭环 系统 鲁棒渐进 稳定 ， 即 在网络 参数 。 ， ， 变化时 ， 有 笋 ， ， 其 中 ， 。 为 系 统 的 初 始 状 态 ， 。 如 。 ， 占 。 ， 占 由于 彻 为 闭环 系统 状 态 的一 个分 量 ， 则 必 有

Vol.28 No.5 吕红庆等：基于LMI方法的鲁棒AQM控制器设计 ·487· lim(δq)=lim(q-qo）+0 x(t)=（A+△A)x(t)+(Aa+△Aad）x(t-d) 即路由器缓冲区中实时队列长度q鲁棒趋近于 (11) 设定的目标队列长度q0,这样，就把拥塞控制问 摄动阵满足匹配条件： 题转化为了争棒镇定控制器设计问题， [△A△Aa]=DF(t)[E1E](12) 3AQM控制器设计 其中，x= 「x11,「A101 LB.CI A' 3.1不确定时滞系统鲁棒稳定性分析 「0B1Be1「△A10 Ad= 考虑由以下状态方程描述的不确定时滞系 0 0J4A= 统： 0△B1Ce 「D △Aa=0 ,D= 0 L 0- E1=[EA10], (t)=[A+DF(t)Ex(t)+ [Ad+DF(t)Ex(t-d) (7) Ea=[0 EBIC]. 其中，x(t)∈R”是系统的状态向量；F(t)∈R×j 定理1系统(5)存在一个输出反馈控制器 是满足FT(t)F(t)≤I的不确定参数矩阵，可能 (10)使得闭环系统(11)是二次稳定的，当且仅当 是时变的；A,A,D,E1,Ea是已知的适当维数 存在正定对称矩阵X,Y,矩阵M,N,A,B使得 的实常数矩阵，d表示系统的滞后时间.系统的 下列矩阵不等式是可行的. 初始条件是(x(0),x(s)=（x,(s),s∈[-d, [] (13) 0]是连续的向址值函数， 定义1[13]称不确定时滞系统(7)是二次稳 AX+XT B 0 BCs D1A 1+M21 12+MZ 定的，如果存在对称正定矩阵P和S,使得对所有 A0B1C。D1以1S1 S12 允许的不确定性，以下的矩阵不等式成立： ￥-511-51200 0 0 (A+DFE)P+P(A+DFE)+S P(Ad+DFE) -S22 0 CEB1 0 0 <0 0 (Ad+DFEa)P -S g-10 0 (8) 0 0 若不确定时滞系统(7)是二次稳定的，则该系统一 -S11 S12 定是鲁棒渐进稳定的， -S2 引理12】不确定时滞系统(7)是二次稳定 (14) 的，当且仅当存在正定对称矩阵P和S,使得矩阵 其中， 不等式 A=NB C1+CTBINT+YA:+ATY, 「ATP+PA PAd PD ET S B=AXT+CBTNT+MA NT+A1. AP -S 0 ET 0 证明：由引理1可知，闭环系统(11)二次稳 D'P 0-10 0 <0(9) 定，当且仅当存在正定对称矩阵P和S,使得矩阵 E1 Ed 0-I 0 不等式(9)成立. 00 0 将矩阵S作适当分块： 成立 3.2AQM控制器设计 sn 由于时滞系统(5)的状态不可直接测量，因此 将矩阵P和它的逆矩阵分块： 考虑具有以下状态空间实现的动态输出反馈控制 M (15) 器： ic(t)=Acxe(t)+Bey(t) 其中，X,Y∈R"x",M,N∈R"x,W,Z∈Rx★ u(t)=Cex(t) (10) 存在一个对称矩阵P,满足(15)，当且仅当 其中，x(t)∈R*是控制器的状态，A,Bc,C,De 是待定的具有适当维数的实常数矩阵 LI 由被控对象(5)和输出反馈控制器(10)组成 的闭环方程为： 若定义-[小-0]奥

。 吕红庆等 墓于 方法的 棒 控制器设计 一 即路 由器缓 冲 区 中实 时 队列 长 度 鲁棒趋近 于 设 定的 目标队列 长度 。 这 样 ， 就把拥 塞控 制 问 题转化为了色棒镇定控制器设计 问题 分 △ △ 一 摄动阵满足 匹配条件 △ △ 己 〔 。 。 ， 尸 一 一 ﹁ 其中 ， 二 一习 △ 尸 △ 一 ︸ 。 一日 一 控制器设计 不确定时滞系统 棒稳定性分析 考虑 由以 下 状 态 方 程 描述 的不 确 定 时 滞 系 统 汾 〔 、 己 一 其中 ， 任 ” 是 系统的状 态 向量 任 ‘ ， 是满足 簇 的不确 定参数矩 阵 ， 可 能 是时变的 ， 以 ， ， ， 己 是 已 知 的适 当维 数 的实常数矩 阵 ， 表示 系统 的滞后 时间 系统的 初始条件是 ， ， 协 ， 任 〔 一 ， 是连 续的向量值函数 定义 ’ 称不 确 定时滞系统 是 二 次稳 定 的 ， 如果存在对称正 定矩 阵 和 ， 使得对所有 允 许的不确 定性 ， 以下的矩 阵不等式成立 △ 二 己 △ 。 〕 「门 一 」 ， 少 ，一 ” ， 定理 系统 存在 一 个输 出反 馈控制 器 使得 闭环 系统 是 二 次稳定的 ， 当且 仅 当 存在正 定对称矩 阵 ， ， 矩 阵 ， ， ， 使得 下列矩 阵不等式是可行的 》 匕 左 的如万下 「 注 刀 刀 石一 别叨己 “ 。 若不确 定时滞系统 是二 次稳 定的 ， 则该 系统一 定是 鲁棒渐进 稳 定的 引理 ’ 不确 定时滞 系统 是 二 次稳 定 的 ， 当且仅当存在正 定对称矩 阵 和 ， 使得矩 阵 不等式 … 通 … 一 ，， 。 。 想玉 ， 怒 、 解 ， 。 姗 。 切 灭 ， 孚一孚一 一 坛 啦五 。 一 ， ， ， 一 解 斗解刀 ︸ ﹃ 耳玛 “ 尸 刁。 护 一 凡 一」一 其中 ， 元一 丽 。 丁丑阿 以 丁 ， 云 了 丑加 耐 。 证明 由引理 可知 ， 闭环 系统 二 次 稳 定 ， 当且仅 当存在正 定对称矩 阵 和 ， 使得矩阵 不等式 成立 将矩 阵 作适 当分块 ， 尸 ，‘且 山二己 ，‘，孟 ，‘ ， 一 成立 · 控制器设计 由于 时滞系统 的状 态不可直接测量 ， 因此 考虑具有以 下状 态空 间实现 的动态输出反馈控制 器 宝 。 夕 其 中 ， 。 走 是控制器 的状 态 ， ， ， ， 。 是待定的具有适 当维数 的实常数矩 阵 由被控对象 和 输 出反馈 控 制器 组 成 的闭环方 程 为 将矩 阵 和它 的逆矩 阵分块 一 吩二」 ， 一吩管」。 其中 ， ， 任 ” ” ， 丽 ， 面〔 ‘ 乏 ， ， 任 走 奋 存在一 个 对 称矩 阵 ， 满 足 ， 当 且 仅 当 “ 厂 〕 「 若 足 义 一 可 」 ， ， 一

·488· 北京科技大学学报 2006年第5期 =F2: S,N=120,依据文献[9]中PI算法，得到PI控制 对不等式(9)左边矩阵分别左乘矩阵 器为C=0.0015×(0.286+1/S). diag FT,I,I,I和右乘矩阵diagF1,I,I,I,可 给定被控对象状态初始值[1010]，鲁棒 得矩阵不等式(9)成立等价于矩阵不等式(13)和 AQM控制器状态初始值[0.010.01].鲁棒 (14)同时成立.证毕 AQM控制器和PI控制器在不同网络参数下对 输出反馈控制器设计：矩阵不等式(14)中有 同一被控对象的仿真结果如图1所示. 一关于Y和C。的双线性项YB1Cc,无法直接用 800 LMI工具箱求解，但是若预先给定C。的值，则 600 …Robust Controller (14)可转化为关于矩阵X,Y,M,N,A,B的线 400 -PI Controller 性矩阵不等式.从而，可按以下步骤求解： 200 (1)给定S,C,得到LMI系统的可行解X, 0 Y,矩阵M,A,B; -200 (2)由MNT=I-XY求出N; 400 (3)从A,B中解出Ac,Bc. 6000050古202站5303站4045.0 4算例与仿真 时间s (a)C=3500组·s',R0.14s.W=120 给定网络参数的变化范围：R。∈ 700 600 [0.120.14]:C∈[35004000]：N∈[120150]， 500 PI Controller 「-4.501m 则A=L10536-7.7小B-0G= 400 一Robust Controller 300 0.0050.05007 200 [01],取D1= 100 0105J 0 3.3 0 0 07 -100 0 0.0080 S= 0 -200 0 0 1.20 -30000501$20230354.045了0 时间s 0 01.0 (b)C=3500组s,R。0.12s,N=150 C。=[0.000010.00001], 800 -PI Controller -Robust Controller 得到线性矩阵不等式系统(13)，(14)的一个可行 600 解： 400 「0.0032 -0.05317 200 X= L-0.0531 63.3380」 0 T268.6440 -0.41407 -200 Y= L-0.4140 0.2689」 「0.0142 -0.06861 -600 M= -0.068614.7945' -8000051012025303540453.0 满足MNT=I-XY的矩阵N是： 时间s (c)C=4000组·s'R。=0.14sN=120 15.25730.87917 N= 图1被控对象的仿真结果 -6.1795 -1.1109J Flg.1 Simulating results of controlled objects 最后得到鲁棒AQM控制器为： 「7468809897807 「-3.11627 从图1(a)中可以看出，网络参数分别取C= A= L-4530 5000JB.-L54.1449」 3500组s1,R0=0.14s,N=120,由此网络参数 C。=[0.000010.00001]. 所得出鲁棒AQM控制器和PI控制器都能使队 下面利用Matlab/simulink环境对上节所得 列长度稳定.本文所用的鲁棒算法能使队列长度 闭环系统进行仿真. 很快收敛到参考值，PI算法虽然也能使队列长度 网络参数分别取C=3500组s',R0=0.14 收敛，但是波动较大，收敛时间也比较长

北 京 科 技 大 学 学 报 ‘ 年第 期 二 对 不 等 式 左 边 矩 阵 分 别 左 乘 矩 阵 眼 不 ， 万 ， ， 和右乘矩 阵 ， ， 万 ， 万 ， 可 得矩 阵不等式 成立 等价于 矩 阵不等式 和 同时成立 证毕 输 出反馈 控制器设 计 矩 阵不等式 中有 一关于 和 。 的双 线性 项 。 ， 无 法 直接用 工 具 箱求 解 ， 但是 若预 先 给 定 。 的值 ， 则 可转化为关 于 矩 阵 ， ， ， ， ， 丑 的线 性矩 阵不等式 从而 ， 可按 以下步骤 求解 给定 ， 。 ， 得到 系统的可行解 ， ， 矩 阵 ， ， ， ， 依据文献 【 中 算法 ， 得 到 控制 器为 ， 给定被控 对 象状 态 初 始值 【 ， 鲁棒 控 制 器 状 态 初 始 值 【 鲁棒 控制器 和 控 制器 在 不 同 网 络 参数下 对 同一 被控对象的仿真结果如图 所示 由 万一 求出 从 ， 中解出 ， 丑 算例与仿真 给 定 网 络 参 数 的 变 化 范 围 户 、 ’ 一 少吵 叩 万 ’ 骂 ” 、 丫 ” “ ” ’ ’ 二 残侧书砍蕊洲翎、 时 组 · 一 ，火 。均 ， 毕 则 任 《 」 ， 一 一 一 叭队比一 侧事敌骊绷唯蕊、 一 山， ，习 一 以 ﹃ ﹄ 尸 卜 一八“ 尸 一 〔 ‘ ， ， 取 一「 · 一 一 一 而污而场丫亏万方万兮 时间 组 · 一 』。 六任 一 内 忍 一 姚侧书砍连姗绷、 。 ， 得到线性矩 阵不等式 系统 ， 的一 个可行 解 ‘ 一 一 一 一 一 」 一 「 几了 一 … 了 玄 飞 合 飞 ﹄ 一 满足 一 的矩 阵反是 时间 组 · 一 ，』。劝 ， 华 一 「 ‘ 一 一 图 被控对象的仿真结果 溉 妇 最后得到 鲁棒 控制器 为 一 。 。 「 一 · “ “ “ 。 」 〔 〕 下面利用 环 境对 上 节所得 闭环 系统进行仿真 网络 参数分 别取 组 · 一 ’ ， 尺。 从 图 中可 以看出 ， 网络 参数分别取 组 · 一 ’ ， 尺。 ， ， 由此 网络 参数 所得 出 鲁棒 控 制器 和 控 制器 都 能使 队 列长度稳定 本文所用的鲁棒算法 能使队列长度 很快 收敛到 参考值 ， 算法虽 然也能使队列长度 收敛 ， 但是 波 动较大 ， 收敛 时间也 比较长 尸‘ 一

Vol.28 No.5 吕红庆善：基于LMI方法的鲁棒AQM控制器设计 ·489· 从图1(b)中可以看出，在网络参数C保持不 参考文献 变，仅Ro,N变化时，鲁棒AQM控制器和PI控 [1]Walrand J,Varaiya P.高速网络与因特网一性能与服务 制器都能使队列长度稳定，也就是说，两种控制器 质量.北京：电子工业出版社，2003 对网络参数R。和N都具有鲁棒性. [2]Jacobson V.Congestion avoidance and control.ACM Comput 从图1(c)中可以看出，在网络参数C改变， Commun Rev,1988,18(4):314 [3]Braden B,Clark D,Crowcroft J.et al.Recommendations on 而Ro和N保持不变时，鲁棒AQM控制器仍能 Queue Management and Congestion Avoidance in the Internet, 使队列长度稳定，且收敛速度仍很快；而在PI控 RFC 2309.Network Working Group,1994 制器下，队列长度震荡，不能收敛 [4]Comer DE.Internetworking with TCP/IP,Principles,Pro- 以上仿真结果表明：PI控制器仅对R。和N tocols and Architectures.4th ed.Upper Saddle River:Pren 两个网络参数具有鲁棒性，对网络参数C不具有 tice-Hall,2000 [5]Misra V,Gong W B.Towstey D.Fluid-based analysis of a 鲁棒性，而本文所得出的鲁棒AQM控制器对三 network of AQM routers supporting TCP flows with an appli- 个网络参数都具有鲁棒性， cation to RED /Proceedings of ACM/SIGCOMM.Stock- 鲁棒AQM算法在路由器实现的复杂程度要 holm,2000:28 高于传统的队尾丢弃算法，但在计算机硬件速度 [6]Athuraliya S,Li V H,Low S H.et al.REM:Active queue 高速发展的今天，该算法的复杂性已经不是实施 management.IEEE Trans Network Mag,2001,15(3):48 的障碍 [7]Firoiu V,Borden M.A study of active queue management for congestion control /Proceedings of IEEE/INFOCOM.New 5结论 York,2000:1435 [8]Hollot C,Misra V,Towsley D,et al.Analysis and design of Internet拥塞控制中，在路由器中实现的 controllers for AQM routers supporting TCP flows.IEEE AQM算法和在源端实现的TCP拥塞控制算法结 Trans Autom Control,2002,47(6):945 合起来共同达到拥塞控制的目标.在本文中，依 [9]Hollot C,Misra V,Towsley D.et al.On designing improved controllers for AQM routers supporting TCP flows//Proceed- 据TCP拥塞控制算法的线性化模型，把拥塞控制 ings of IEEE/INFOCOM.Anchorage,2001:1726 问题转化为鲁棒稳定问题，并给出了基于LMI的 [10]Hollot C.Misra V,Towsley D,et al.A control theoretic 输出反馈控制器的设计方法，所得到的控制器满 analysis of RED /Proceedings of IEEE/INFOCOM.An- 足了拥塞控制的目标且鲁棒性强.仿真结果验证 chorage.2001:1510 [11】张敬镀，谢到英，傅春.一种基于模糊逻辑的主动队列管 了该控制器对全部网络参数的鲁棒性且具有过渡 理算法.电子学报，2002.30(8)：1246 时间短的特点，因此在路由器中实施该鲁棒 [12]俞立.自棒控制一线性矩阵不等式处理方法.北京：清 AQM算法可使Internet的服务质量得到提高， 华大学出版社，2002 AQM controller design based on LMI approach LV Hongqing,JIA Yingmin The Seventh Research Division,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China ABSTRACT This paper studied the problem of robust active queue management (AQM)controller design in Internet congestion control.The problem was first reduced to a robust stabilization one based on the lin- ear model of transmission control protocol (TCP)and the AQM design objectives.A sufficient existence condition of the output feedback controller was then obtained and its design method was provided using lin- ear matrix inequality (LMI)approach.Finally,a design example was given and the simulation was per- formed.The simulated results show that the proposed controller is feasible and valid for it possesses not only robustness for all the network parameters but fast settling process. KEY WORDS robust control;linear matrix inequality;active queue management;congestion control;de- lay

。 。 吕红庆等 荃于 方法的奋棒 控制器设计 从 图 中可以看 出 ， 在 网络参数 保持不 变 ， 仅 。 ， 变化 时 ， 鲁棒 控 制器 和 控 制器都能使 队列长度稳定 ， 也就是说 ， 两种控制器 对 网络参数 。 和 都具有鲁棒性 从图 。 中可 以看 出 ， 在 网络参数 改变 ， 而 。 和 保持不 变时 ， 鲁棒 控制器仍能 使队列 长度稳 定 ， 且 收 敛速 度仍很 快 而 在 控 制器 下 ， 队列长度震 荡 ， 不能收敛 以上仿真结果表 明 控制器 仅对 。 和 两个 网络参数具有鲁棒性 ， 对 网络参数 不具有 鲁棒性 ， 而 本文 所得 出 的 鲁棒 控制器 对 三 个网络参数都具有鲁棒性 鲁棒 算法 在路 由器 实现 的复杂程度要 高于 传统的队尾 丢 弃算法 ， 但 在计算机 硬 件速 度 高速 发展 的今天 ， 该算法 的复 杂性 已经 不是 实施 的障碍 结论 拥 塞 控 制 中 ， 在 路 由 器 中 实 现 的 算法和在源端 实现 的 拥塞控制算法结 合起 来共 同达 到 拥 塞控制的 目标 在本文 中 ， 依 据 拥塞控制算法 的线性化模型 ， 把拥 塞控 制 问题转化为鲁棒稳 定 问题 ， 并给 出了基 于 的 输出反馈控制器 的设 计方 法 ， 所得到 的控制器 满 足 了拥塞控制的 目标且 鲁棒性强 仿真结果验证 了该控制器对全部网络参数的鲁棒性且具有过 渡 时间 短 的 特 点 ， 因 此 在 路 由 器 中 实 施 该 鲁 棒 算法可使 的服务质量得到提高 参 考 文 献 〔 ， 高速 网络 与因特 网－ 性 能与服 务 质量 北京 电子工业 出版社 ， ， 【 ， ， ， 昭 ， 呀 ， 〕 ， ， 一 ， ， 泊 ， 乳 一 。 即 。 〔 ， ， ， 助 昭 阳 ， ， 肠 飞 。 ， 【 ， ， ， ， 卯 【 ， ， ， 。 二 ， 【 张敬辕 ， 谢剑英 傅春 一 种基 于 模糊 逻 辑的主 动 队列管 理 算法 电子学报 ， ， 【 俞立 鲁棒控制－线性矩 阵不等式处理 方法 北 京 清 华大学出版社 ， 乙 ， ， ， ， ， 呀