《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法教学目的与要求：1、理解根轨迹的基本概念；2、熟练掌握根轨迹方程；3、熟练掌握绘制常规根轨迹的法则及根轨迹的应用：4、了解零度根轨迹、参量根轨迹、多回路系统根轨迹的基本概念及其绘制方法；5、理解广义根轨迹（参数根轨迹）的概念及绘制方法与思路；6、熟练掌握利用根轨迹分析系统的性能。教学重点：1、根轨迹的绘制；2、利用根轨迹分析系统的性能。教学难点：1、利用根轨迹分析系统的性能；2、广义根轨迹的绘制法则。教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：84-1根轨迹的基本概念一。根轨迹：1、定义：（前述）2、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，简便、直观，只要对根轨迹进行观察，就可看出系统响应的主要特征。KK2KA例1：已知Gr(s)=s(0.5s+1)s(s+2) =s(s+2)RCks(0.5s +1)1
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 1 教学目的与要求： 1、理解根轨迹的基本概念； 2、熟练掌握根轨迹方程； 3、熟练掌握绘制常规根轨迹的法则及根轨迹的应用； 4、了解零度根轨迹、参量根轨迹、多回路系统根轨迹的基本概念及其绘制 方法； 5、理解广义根轨迹（参数根轨迹）的概念及绘制方法与思路； 6、熟练掌握利用根轨迹分析系统的性能。 教学重点： 1、根轨迹的绘制； 2、利用根轨迹分析系统的性能。 教学难点： 1、利用根轨迹分析系统的性能； 2、广义根轨迹的绘制法则。 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §4-1 根轨迹的基本概念 一. 根轨迹： 1、定义：（前述） 2、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，简便、直观，只要对 根轨迹进行观察，就可看出系统响应的主要特征。 例 1：已知 Gk(s) = ( 2) 2 (0.5 1) + = + s s K s s K ( 2) 1 s s + K 令 s(0.5s +1) R k C
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法其中，K,-----G(s)用零、极点形式表示时的传递系数，叫根轨迹增益。可见开环：P1=0，P2=-2，没有零点，K,.: D(s)= s? + 2s+K, = 0,: Φ=k=2.s2+2s+Kk=1..S1.2 =-1± /1-K, = -1± V1-2K。二k=0k=0[K=0时，S=0,S,=-2k=1K=0.5时，S,=S2=-1当=时，Si2=-1±］K =2.5时，S12 =-1± j2[K = 0o时, S1.2 =-1± j00可见：根轨迹图全面的描述了K对st，分布的影响。★分析：（1）K从0→80根轨迹均在s左半平面，所以系统对所有的K值都稳定。（2）00.5，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5）在G，中，有一个零值极点，系统为1型，阶跃下e=0。△这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过G，找特征根。二、闭环零、极点与开环零、极点的关系：设系统前项通道的传递函数为：Ke($+1)(t,$+1).(t,s+1)G(T,s +1)(T,s + 1).-(T,s +1)I(s- p.)f/其中，K。一前项通道的放大系数，KG一前项通道的根轨迹增益。2
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 2 其中，K 1 -Gk(s)用零、极点形式表示时的传递系数，叫根轨迹增益。 可见开环：p1= 0，p2= −2，没有零点， φ= 1 2 1 s 2s K K + + ( ) 2 1 0 2 D s = s + s + K = ， s1.2 = −1 1− K1 = −1 1− 2K 。 当 = = − = = − = = − = = = − = = = − K s j K s j K s j K s s K s s 1 2.5 1 2 1 1 0.5 1 0 0 2 1.2 1.2 1.2 1 2 1 2 时， 时， 时， 时， 时， ， 可见：根轨迹图全面的描述了 K 对 1.2 s 分布的影响。 ★ 分析：（1） K 从 0 → 根轨迹均在 s 左半平面，所以系统对所有的 K 值都稳 定。 （2） 0 K 0.5 ，特征根为实数，过阻尼，无超调。 （3） K = 0.5 ，临界阻尼，也无超调。 （4） K 0.5 ，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。 （5）在 Gk 中，有一个零值极点，系统为 1 型，阶跃下 = 0 ss e 。 这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过 Gk 找 特征根。 二、闭环零、极点与开环零、极点的关系： 设系统前项通道的传递函数为： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = − − = + + + + + + = q i i f j G j q G f s p K s z T s T s T s K s s s G 1 1 * 1 2 1 2 ' 1 1 1 1 1 1 其中， ' KG —前项通道的放大系数， K G * —前项通道的根轨迹增益。 k = 0 k = 0 2 1 k = k = 2.5 k = 2.5 k = 1 k = 1 j
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法ii(s-=)而系统反馈通道的传递函数为：H(s)I(s- p.)k(s-=)(s-=):.G,(s)=GH :-(1)II(s-p.) (s- p)设开环系统有m个零点，n个极点，则m=f+Q，n=q+wK,1I(s-z):. G(s)=(其中,=)II(s- p.)(s-z,)(s-p)G则d(s)=-- (2)1+G(s - p,)(s- p)+ k,(s-z,)(s- zk)比较（1）式和（2）式可见：1）闭环系统根轨迹增益=开环前向通道根轨迹增益K。。单位反馈时：闭环根轨迹增益=开环根轨迹增益。2）闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。单位反馈时，闭环零点就是开环零点。3）闭环零点与开环零、极点以及开环根轨迹增益K，有关。因此要想了解闭环极点，就必须从开环零、极点及K，入手，根据根轨迹方程找。三、根轨迹方程：绘制根轨迹的实质还是寻找特征式1+GH=0的根，所以满足G(s)H(s)=-1的s值，都必定在根轨迹上，则根轨迹方程为：GH=-1，即G (s)=-1,3
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 3 而系统反馈通道的传递函数为： ( ) ( ) ( ) = = − − = w l l Q k H k s p K s z H s 1 1 * Gk (s) = GH = ( ) ( ) − = − − q i i f j j s p K s z 1 1 1 ( ) ( ) = = − − w l l Q k k s p s z 1 1 -（1） 设开环系统有 m 个零点， n 个极点，则 m = f + Q，n = q + w ( ) ( ) ( ) = = − − = n i i m j j k s p K s z G s 1 1 1 （其中 * * K1 = KG K H ） 则 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = = = = = = − − + − − − − = + = Q k k f j j w l l q i i w l l f j G j k s p s p K s z s z K s z s p G G s 1 1 1 1 1 1 1 * 1 -（2） 比较（1）式和（2）式可见： 1）闭环系统根轨迹增益=开环前向通道根轨迹增益 * KG 。单位反馈时：闭 环根轨迹增益=开环根轨迹增益。 2）闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。单位反馈时，闭 环零点就是开环零点。 3）闭环零点与开环零、极点以及开环根轨迹增益 K1 有关。 ▲ 因此要想了解闭环极点，就必须从开环零、极点及 K1 入手，根据根轨迹 方程找。 三、根轨迹方程： 绘制根轨迹的实质还是寻找特征式 1+ GH = 0 的根，所以满足 G(s)H(s) = −1 的 s 值，都必定在根轨迹上，则根轨迹方程为： GH = −1 ，即 G (s) = −1 k
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法K,(s-z)1，由于GH是复数s的函数，故上式为一矢量方:.GH(s- p.)-程。幅（模）值方程，或Ks-p.s-z,而4(s-=)-(s-P,)=(2k+1)元—相角方程。（k=0,±1,±2.）j=l-若s平面上的点是闭环极点，则它与z，P，所组成的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与K，有关，而相角方程与K无关。所以满足相角方程的s值代入模值方程中，总能求得一个对应的K，，即s若满足相角方程，必定就满足模值方程。★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。这就表明：绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而模值方程用来确定根轨迹上各点对应的K,值。K,例2：单位反馈系统的G，=用根轨迹法在s平面上找到闭环极点。s(s +1)116.6063.4°135解：P,=0,P2=-1，没有零点，用试探法：1）在[0,1]间任取一点s,，用相角方程检验：4
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 4 ( ) ( ) 1 1 1 1 = − − − = = = n i i m j j s p K s z GH ，由于 GH 是复数 s 的函数，故上式为一矢量方 程。 1 1 1 1 = − − = = n i i m j j s p K s z —— 幅（模）值方程，或 = = − − = m j j n i i s z s p K 1 1 1 ； 而 ( ) ( ) (2 1) 1 1 − − − = + = = s z s p k n i i m j j —— 相角方程。（ k = 0,1,2, ） 若 s 平面上的点是闭环极点，则它与 j pi z , 所组成的相量必定满足上述两方 程，而且模值方程与 K1 有关，而相角方程与 K1 无关。所以满足相角方程的 s 值 代入模值方程中，总能求得一个对应的 K1 ，即 s 若满足相角方程，必定就满足 模值方程。 ★ 相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。 这就表明：绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而模值方程用来确定根轨 迹上各点对应的 K1 值。 例 2：单位反馈系统的 ( 1) 1 + = s s K Gk ，用根轨迹法在 s 平面上找到闭环极点。 解： p1 = 0, p2 = −1 ，没有零点，用试探法： 1）在 0,1 间任取一点 1 s ，用相角方程检验： j 1 1 1 1s 2 s 3 s 4 s 5 s 0 63.4 0 116.6 0 −135
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法ZG(s,)=-Z(s, - P,)-Z(s, - p,)=-180° -0° = -180°,.S,在根轨迹上。2）在[-1,-]间任取一点s2，ZG(s,)=-180°-180°=-360°，s2不在根轨迹上。3）在[0,0]间任取一点s3，ZG(s,)=0°+0°=0%，：.s3不在根轨迹上。4）在复平面上取一点s4=-0.5+j，ZG(s4)=-116.6°-63.4°=-180°.s.4在根轨迹上。5）取一点ss=-1-j,ZG(ss)=135°+90°=225%，ss不在根轨迹上。可见：此方法虽能找到闭环极点，但太繁，不实用，应用绘制法则。★由于根轨迹相角遵循180°+2k元，故称为180°根轨迹，相应的绘制法则也叫做180°根轨迹的绘制法则，或叫常规根轨迹及法则。84-2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数：根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即：分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m)或=开环零点数m(m>n)。二、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。若m>n，则有（m-n)条起始于无穷远处。证明：根轨迹的起点是指K，=0的根轨迹点，而终点是指K，→8o的根轨边点。K,II(s-z,).. D(s)- l(s- p,)+ K,(s-z,)= 0:GI(s- p.)1)当K,=0时，有s=P，：.K,=0时的闭环极点就是开环极点。5
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 5 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 G s1 = − s1 − p1 − s1 − p2 = −180 − 0 = −180 ， 1 s 在根轨迹上。 2）在 −1,− 间任取一点 2 s ， ( ) 0 0 0 G s2 = −180 −180 = −360 ， 2 s 不在根轨 迹上。 3）在 0, 间任取一点 3 s ， ( ) 0 0 0 G s3 = 0 + 0 = 0 ， 3 s 不在根轨迹上。 4）在复平面上取一点 s = −0.5 + j 4 ， ( ) 0 0 0 G s4 = −116.6 − 63.4 = −180 ， 4 s 在根轨迹上。 5）取一点 ( ) 0 0 0 s5 = −1− j,G s5 =135 + 90 = 225 ， 5 s 不在根轨迹上。 ▲ 可见：此方法虽能找到闭环极点，但太繁，不实用，应用绘制法则。 ★ 由于根轨迹相角遵循 180 2k 0 + ，故称为 180°根轨迹，相应的绘制法则也叫 做 180°根轨迹的绘制法则，或叫常规根轨迹及法则。 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数： 根轨迹在 s 平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即： 分支数=闭环极点数=开环极点数 n(n m) 或=开环零点数 m(m n)。 二、根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若 n m ，则有 (n − m) 条终止于无穷远处。 若 m n ，则有 (m − n) 条起始于无穷远处。 证明：根轨迹的起点是指 K1 = 0 的根轨迹点，而终点是指 K1 → 的根轨迹 点。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 = − + − = − − = = = = = m j j n i n i i i m j j k D s s p K s z s p K s z G 1）当 K1 = 0 时，有 , 0 s = pi K1 = 时的闭环极点就是开环极点
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法则根轨迹必起始于开环极点。(s-p)+(s-=,)=02）变一个方程：K, j=l当K，→80时，S=，，即终止于开环零点。s- p.3）又:K,=lim-=lim s""→0(n>mI1s-=)lj=l所以有（n-m)条终止于无穷远处。I1/s-z,l1=lim=4）又：= lim s"→00(m>n)Kis- p.li=l所以有（m-n）条起始于无穷远处。三、根轨迹对称于实轴：因为闭环极点不是实数就是共轭复数，不在实轴上就是在实轴两边对称分布，所以根轨迹必然对称于实轴。四、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零、极点数目之和应为奇数。因为共轭复数零、极点向根轨迹上的s点所引的相角相互抵消，而s左边的实数开环零、极点向s引的相角为0°，只有s右边的实数开环零、极点向s引的相角为180°，当个数为奇数时才能为±180°±2k元。五、根轨迹的渐近线：若n>m，当K→>8o时，有（n-m）条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近线决定：①渐近线与实轴正方向夹角：(2k +1)元[依次取k=0,±1,±2,..直到取到（n-m）个倾角];Pa=n-m②渐近线与实轴交点的坐标：6
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 6 则根轨迹必起始于开环极点。 2）变一个方程： ( ) ( ) 0 1 1 1 1 − + − = = = m j j n i i s p s z K 当 K1 → 时， j s = z ，即终止于开环零点。 3）又 s (n m) s z s p K n m s m j j n i i s = → − − = − → = = → lim lim 1 1 1 所以有 (n − m) 条终止于无穷远处。 4）又 s (m n) s p s z K m n s n i i m j j s = → − − = − → = = → lim lim 1 1 1 1 所以有 (m − n) 条起始于无穷远处。 三、根轨迹对称于实轴： 因为闭环极点不是实数就是共轭复数，不在实轴上就是在实轴两边对称分 布，所以根轨迹必然对称于实轴。 四、实轴上的根轨迹： 实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零、极点数目之和应为奇数。因为 共轭复数零、极点向根轨迹上的 s 点所引的相角相互抵消，而 s 左边的实数开环 零、极点向 s 引的相角为 0°，只有 s 右边的实数开环零、极点向 s 引的相角为 180°，当个数为奇数时才能为 180 2k 0 。 五、根轨迹的渐近线： 若 n>m，当 K→∞时，有（n-m）条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近 线决定： ① 渐近线与实轴正方向夹角： ( ) n m k a − + = 2 1 [依次取 k = 0,1,2, 直到取到（n-m）个倾角]； ② 渐近线与实轴交点的坐标：
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法2p.-2:-=a.n-mK,例1：已知G,=3s+1/s+5)，求渐近线。解：n=3,m=0,p=-1,p3=-5，3条趋于无穷远处：[k = 0,p。= 600(2k+)/元/k=1,。=180-1-5-2，Paa.33k=-1,。= -600842绘制根轨迹的基本法则六、根轨迹的汇合点、分离点及分离角：几条根轨迹在s平面上相遇又分开-----汇合点或分离点。若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远的极点);若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零点）；由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较少)。★分离点的计算：1、重根法：G,=KM)2, 则 D(s)= N(s)+ K,M(s)= 0N(s)重根时且有：D(s)=N(s)+K,M(s)=0.联立以上方程：K,=- )M(s)则有: N'(s)-M(s)=0= N(s)M(s)-N(6)M(s)=0, 可解得sa。M(s)2、极值法：在分离点s，的K，（d）值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或相反。7
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 7 n m p z m j j n i i a − − = =1 =1 例 1：已知 ( 1)( 5) 1 + + = s s s K Gk ，求渐近线。 解：n = 3,m = 0, p1 = −1, p3 = −5，3 条趋于无穷远处： 2 3 1 5 = − − − a = ， ( ) = − = − = = = = + = 0 0 0 1, 60 1, 180 0, 60 3 2 1 a a a a k k k k §4—2 绘制根轨迹的基本法则 六、根轨迹的汇合点、分离点及分离角： 几条根轨迹在 s 平面上相遇又分开-汇合点或分离点。 ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远 的极点）； ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零 点）； ▲由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较 少）。 ★分离点的计算： 1、重根法： ( ) N(s) K M s Gk 1 = ，则 D(s) = N(s)+ K1M (s) = 0 重根时且有： ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 ' ' D s = N s + K M s = ∴ 联立以上方程： ( ) M (s) N s K1 = − 则有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' ' ' − M s = N s M s − N s M s = M s N s N s ，可解得 d s 。 2、极值法：在分离点 d s 的 K (d ) 1 值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或 相反
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法: 1+ K,M(s)N(s)：应有K=0。.. K.N(s)dsM(s)_ N(s)M()-N()M(),即N(G)M(s)- N(s)M(s)=0,则dk,ds[M(s)]P可见：与重根法结果相同。"11[若m=0，则之_1-13、作图法：=01=sa-p=sa=sa-p（证明从略）说明：从以上公式求得的s。可能有多个，要舍去不在根轨迹上的点。±180°2.4、分离角的计算：0--相分离的根轨迹根数。kkK,(s + 4)K,(s + 4)例2：已知GH=求其分离点。(s + 2)(s + 3)s~+5s+6111解：a+8sg+14=0Sa+4Sa+2S,+32.586解得sd2=-5.414此时两个分离点都在根轨迹上，都要取。而9，=90°。K,例3：Gs(s +1)(s + 5)1则0→3d2+12s,+5=0Sa+1Sa +5SdSan = 0.473解得：[Sd2 =-3.527(舍)Sa2
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 8 ∴ 应有 0 1 = ds dK 。 ( ) ( ) 1 0 1 + = N s K M s ， ∴ ( ) M (s) N s K1 = − 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' ' 1 M s N s M s N s M s ds dK − = − ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' ' N s M s − N s M s = ， 可见：与重根法结果相同。 3、作图法： = = − = − m j d j n i d i 1 s p 1 s z 1 1 [若 m = 0 ，则 0 1 1 = − = n i d pi s ]。 （证明从略） ▲ 说明：从以上公式求得的 d s 可能有多个，要舍去不在根轨迹上的点。 4、分离角的计算： k k d ( 1800 = -相分离的根轨迹根数）。 例 2：已知 ( ) ( ) ( 2)( 3) 4 5 6 4 1 2 1 + + + = + + + = s s K s s s K s GH ，求其分离点。 解： 8 14 0 4 1 3 1 2 1 2 → + + = + = + + + d d d d d s s s s s 解得 = − = − 5.414 2.586 2 1 d d s s 此时两个分离点都在根轨迹上，都要取。而 0 d = 90 。 例 3： ( 1)( 5) 1 + + = s s s K Gk 则 0 5 1 1 1 1 = + = + + d d d s s s 3 12 5 0 2 → d + sd + = 解得： ( ) = − = − 3.527 舍 0.473 2 1 d d s s d 2 s -4 -3 -2 d1 s 0 j d 2 s d1 s -5 -1 0 j
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法七、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根土jの，系统处于临界稳定。1、将 s= jo 代入1+G(jo)H(jo)=0则有R,[1+G(jo)H(jo)]+I[1+G(jo)H(jo)]=0令R[1+G(jo)H(jo)]=0, I[1+G(jo)H(jo)]=0，解出の及对应的K。。K,6+1)6+2)K.(k=≤)例4: G,(s)=-2解：D(s)=s3+3s2+2s+K,=0D(jo)=(j) +3(jo) +2jo +K, =0-03 +20= 0→0 = 0,023 =±/2[-302 +K, =0→K, =6,: K。=32、用劳斯判据：253113K,s2上例：6 - K,0s'Es当s行等于0时，可能出现共轭虚根，令6-K，=0K，=6辅助方程：3s2+K=3s2+6=0.S12=±j/2即0=±/2。八、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）：1、起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角称为起始角。如右图所示系统：在靠近P2处取一点S，则有9
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 9 七、根轨迹与虚轴的交点： 根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方 程有纯虚根 j ，系统处于临界稳定。 1、将 s = j 代入 1+ G( j)H( j) = 0 则有 Re 1+ G( j)H( j)+ I m 1+ G( j)H( j) = 0 令 R 1+ G( j)H( j) = 0, e I 1+ G( j)H( j) = 0 m ，解出 及对应的 Kc 。 例 4： ( ) ( 1)( 2) 1 + + = s s s K G s k ，求 = 2 . K1 Kc K 解： ( ) 3 2 1 0 3 2 D s = s + s + s + K = ( ) ( ) 3( ) 2 1 0 3 2 D j = j + j + j + K = − + = → = = − + = → = = 3 0 6, 3 2 0 0, 2 1 1 2 1 2.3 3 K K Kc 2、用劳斯判据： 上例： 1 1 1 0 1 2 3 0 3 6 3 1 2 K K K s s s s − 当 1 s 行等于 0 时，可能出现共轭虚根，令 6 − K1 = 0, K1 = 6 辅助方程： 3 3 6 0, 1.2 2 2 2 s + K = s + = s = j 即 = 2 。 八、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）： 1、起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角称为 起始角。 如 右 图 所 示 系 统 ： 在 靠 近 2 p 处 取 一 点 1 s ，则有
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法Z(si -z)-Z(s - p)-Z(s - p2)-Z(si -ps)=(2k +1)元当s,无限靠近 p,时,则各开环零极点引向s,的向量变为引向p的向量，而Z(s,-P2)就是p2°即 p2 =(2k +1) + Z(p2 -z)- Z(p2 - p)-Z(p2 - p)故有： 0=(2k+1)元+≥Z(p-z,)-Z(p-p,)二2、终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角称为终止角。同理可得： ±=(2k +1)元+Z(=±-p,)-(= =2)j=lJ层A共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计算，一般为：0°,180°±90°±60°与180±45°与±135°等。K,(s +2)例5: G,(s)=s(s+3)(s2 +2s +2)解： P, =0,p, =-3,p34=-1± j,z, =-20p3=180°+ 45°135°-90°-26.6°=-26.60:. 0p4 = 26.60P26.60135045026.6°0-21900PXL0-1
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 10 ( ) ( ) 1 1 1 p1 s − z − s − − (s1 − p2 ) − (s1 − p3 ) = (2k +1) 当 1 s 无限靠近 2 p 时， 则各开环零极点引向 1 s 的向量变为引向 2 p 的向量，而 ( ) 1 p2 s − 就是 p2 。 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 p2 p1 p2 p3 k p z p = + + − − − − − 故有： ( ) ( ) ( ) = = = + + − − − n j k j k j n i pk k pk zj p p 1 1 2 1 2、终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角称为 终止角。 同理可得： ( ) ( ) ( ) = = = + + − − − m j k j k j n j zk k i k z p z z 1 1 2 1 共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，实数开环零极点不用计 算，一般为： 0 ,180 ,90 ,60 180 45 135 0 0 0 与 ， 与 等。 例 5： ( ) ( ) ( 3)( 2 2) 2 2 1 + + + + = s s s s K s G s k 解： 0, 3, 1 , 2 p1 = p2 = − p3.4 = − j z1 = − 0 0 0 0 0 0 p3 =180 + 45 −135 − 90 − 26.6 = −26.6 0 p4 = 26.6 j 3 p 0 4 -1 p -3 -2 0 135 0 − 26.6 0 45 0 26.6 0 90 2 j 1 p 2 p 3 p 0 z1 s1 ●