《自动控制原理》第三章控制系统的时域分析教学目的与要求：1、熟悉掌握一阶系统在单位阶跃输入作用下的性能指标的计算；2、理解二阶系统单位阶跃响应及其性能分析；3、理解高阶系统性能分析的方法；4、理解系统稳定性的基本概念及稳定性判据；5、理解稳态误差的概念及稳态误差的计算方法；教学重点：1、一阶系统性能分析；2、二阶系统性能分析；3、系统稳定性分析4、系统稳态误差的求取；教学难点：1、二阶系统性能分析；2、高阶系统性能分析；3、静态误差法求系统的稳态误差；教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：s3--1控制系统的时域性能指标一、线性定常系统的时域响应：分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。以RC网络为例：KR
《自动控制原理》 第三章 控制系统的时域分析 1 教学目的与要求： 1、熟悉掌握一阶系统在单位阶跃输入作用下的性能指标的计算； 2、理解二阶系统单位阶跃响应及其性能分析； 3、理解高阶系统性能分析的方法； 4、理解系统稳定性的基本概念及稳定性判据； 5、理解稳态误差的概念及稳态误差的计算方法； 教学重点： 1、一阶系统性能分析； 2、二阶系统性能分析； 3、系统稳定性分析； 4、系统稳态误差的求取； 教学难点： 1、二阶系统性能分析； 2、高阶系统性能分析； 3、静态误差法求系统的稳态误差； 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §3-1 控制系统的时域性能指标 一、线性定常系统的时域响应： 分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。 以 RC 网络为例： U C R i c u K
《自动控制原理》第三章时域分析法(1)若u.(0)=U。则有 u.(t)=U-Ue KC +U.e RC(2）若u.(0)=0,则有u(t)=U-UeRCc可见：不论哪种求解方法，也不论初始条件如何，均有：系统响应=稳态响应+暂态响应二、时域性能指标：系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就由稳态性能指标和暂态性能指标组成。（一）暂态性能指标：因为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂态性能一般也会令人满意。c(0)4CmC(o0)=10.5tatrtsp1.延迟时间ta：响应第一次达到稳态值c()的50%的时间。2．上升时间t,：响应第一次达到稳态值c()的时间。当无超调时，指响应从2
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 2 （1）若 0 uc (0) = U ， 则有 RC t RC t c u t U Ue U e − − = − + 0 ( ) （2）若 (0) = 0, c u 则有 RC t uc t U Ue − ( ) = − 可见：不论哪种求解方法，也不论初始条件如何，均有： 系统响应=稳态响应+暂态响应 二、时域性能指标： 系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性能描述，而暂态 响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就由稳态性能指标和暂态性能指标 组成。 （一）暂态性能指标： 因为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻的工作状态，如果系统在阶 跃信号输入下的暂态性能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂态性 能一般也会令人满意。 1．延迟时间 d t ：响应第一次达到稳态值 c() 的 50%的时间。 2．上升时间 r t ：响应第一次达到稳态值 c() 的时间。当无超调时，指响应从 ts c(t) max Cm p s tp r tr d td 0.5 t C()= 0
《自动控制原理》第三章时域分折法c(∞0)的10%—90%的时间。3.峰值时间t，：响应超过c(o)达到第一个峰值的时间。4.调节时间t,：在c(t)曲线的c(c)附近，取其±2%或±5%称为误差带，或叫允许误差，用△表示。t,是响应曲线c(0)达到并不再超出其误差带的最小时间。5：超调量%：响应的最大值Cmax超过c(）的百分数。即0% = mx=c(α) *100%。c()6.振荡次数μ：在t,内，c(t)偏离c(o)的振荡次数；或在t,内，c(t)曲线穿越c()的次数的。2 °（二）稳态性能指标：稳态误差e：对于单位反馈系统，当t→o时，系统响应的实际值与期望值（即输入量）之差：e=lim[r(t)-c(t)=lim e(t)。★上述各种性能指标中，t,,t,描述系统起始段的快慢；α%和u反映暂态过程振荡的剧烈程度；t，表示系统过渡过程的持续时间，总体上反映系统的快速性；e反映系统复现输入信号的最终精度。一般以%、t,和e评价系统响应的稳、快、准。83一2一阶系统的时域分析一阶系统一一由一阶微分方程描述的系统。如RC网络、发电机、液面控制系统等。C.云微分方程：Tdc+c()=r(l)dt3
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 3 c() 的 10%—90%的时间。 3．峰值时间 p t ：响应超过 c() 达到第一个峰值的时间。 4．调节时间 s t ：在 c(t) 曲线的 c() 附近，取其 2%或 5% 称为误差带，或叫 允许误差，用 表示。 s t 是响应曲线 c(t)达到并不再超出其误差带的最小时间。 5 ．超调量 % ：响应的最大值 max c 超 过 c() 的百分数。即 ( ) ( ) % max − = c c c *100%。 6．振荡次数 ：在 s t 内， c(t) 偏离 c() 的振荡次数；或在 s t 内， c(t) 曲线穿越 c() 的次数的 2 1 。 （二）稳态性能指标： 稳态误差 ss e ：对于单位反馈系统，当 t → 时，系统响应的实际值与期 望值（即输入量）之差： [ ( ) ( )] e lim r t c t t ss = − → ( ) lim e t t→ = 。 ★ 上述各种性能指标中， r p t ,t 描述系统起始段的快慢； % 和 反映暂态过程 振荡的剧烈程度； s t 表示系统过渡过程的持续时间，总体上反映系统的快速 性； ss e 反映系统复现输入信号的最终精度。一般以 %、 s t 和 ss e 评价系统响 应的稳、快、准。 §3—2 一阶系统的时域分析 一阶系统——由一阶微分方程描述的系统。如 RC 网络、发电机、液面控 制系统等。 微分方程： ( ) ( ) ( ) c t r t dt dc t T + = Ts S 1 r c -
《自动控制原理》第三章时域分折法11传函：(s)=G,(s)=Ts +1'Ts系统中只有一个参数T，一阶系统也叫惯性环节。、单位阶跃响应：111h(t)=1-c(s) =071s(Ts + 1)ss +T[t= T,h(T) = 0.632t= 2T,h(2T)=0.865t = 3T,h(3T) = 0.95(t= 4T,h(4T)= 0.98可见：h(t)单调上升、非振荡、非周期。"0.8650. 632--3T4TT2T1．T与h()有确定关系，是表征系统响应特征的唯一参数。1dh(t)1若以！2.初始速度：等速上升到1，所需时间正好为T。l/=0=-dtTTT1→tV→快速性好。3.t,和%均没有。t,=4T或t，=3T.4. ess =1-c(o0)=0。二．单位脉冲响应：111C(s) =g(t)=e712TTTs +1s+-T
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 4 传函： Ts G s Ts s k 1 ) 1 1 ( ) = + = ， （ 系统中只有一个参数 T ，一阶系统也 叫惯性环节。 一、单位阶跃响应： T t h t e T s s Ts s c s − = − + = − + = ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ， = = = = = = = = 4 , (4 ) 0.98 3 , (3 ) 0.95 2 , (2 ) 0.865 , ( ) 0.632 t T h T t T h T t T h T t T h T 可见： h(t) 单调上升、非振荡、非周期。 1．T 与 h(t) 有确定关系，是表征系统响应特征的唯一参数。 2．初始速度： dt T dh t t 1 | ( ) =0 = ，若以 T 1 等速上升到 1，所需时间正好为 T 。 3． p t 和 % 均没有。 t s = 4T或t s = 3T. T → t s → 快速性好。 4．e = 1− c() = 0 ss 。 二．单位脉冲响应： T t e T g t T s Ts T C s − = + = + = 1 , ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 t T 2T 3T 4T 0.632 0.865
《自动控制原理》第三章时域分折法g(0) 4IT2T4TT3T正好是单位阶跃响应的初始速度。1. g(0)=T1--dh(t)从h()和g()的表达式可以看出：=g()。即单位阶跃响应的Medt导数是单位脉冲响应。1dg(t)初始速度：若系统保持初始速度不变，当t=T时，2.lr=0=Tdt11T-21ar=0g(t) =三．单位斜坡响应：1TITC(s) =+1s?(Ts+1)s?ss+-Tc(t)=t-T+Te'T =c, +c,c(t) 4 r(t)104Ty3T2T27471.,是一个与r(t)=t同斜率但在时间上迟后一个T的斜坡函数。5
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 5 1． T g 1 (0) = 正好是单位阶跃响应的初始速度。 从 h(t) 和 g(t) 的表达式可以看出： ( ) ( ) 1 e g t dt T dh t T t = = − 。即单位阶跃响应的 导数是单位脉冲响应。 2．初始速度： 0 2 1 | ( ) dt T dg t t= = − 。若系统保持初始速度不变，当 t = T 时， | 0 1 1 ( ) 2 = − t t=T = T T g t 。 三．单位斜坡响应： s t T t c t t T Te c c T s T s T s Ts s C s = − + = + + = − + + = − ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 2 1． s c 是一个与 r(t) = t 同斜率但在时间上迟后一个 T 的斜坡函数。 g(t) T 1 0 T 2T 3T 4T t 4T 4T 3T 3T 2T 2T T T c(t) r(t) r(t) 0 t -T T Cs
《自动控制原理》第三章时域分析法dc(t)2.初始速度：=1-1=01-eT1.dt3. es = lim[r(t)-c(t)] = lim(T - Te ) = T★表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上仍有误差。1dc(t)2=1-e=h()，即单位斜坡响应的导数是单位阶4.对斜坡响应求导：dt跃响应。四、单位抛物线响应：T21T21T12-Tt+T?(1-e1C(s) =.. c(t) =153s22s(Ts +1)Ss+T故e = lim e(l) = lim[7t -T2 +T2e] = 00.. e(t) = r(t)-c(t)= Tt-T2(1-e-1.一阶系统不能跟踪抛物线信号。dc(t)2.对抛物线响应求导：=t-T+Te元=斜坡响应。dtdd 1p.1(0)1(t)-t. 1(t) =A:8(0)d32dtdt?d?d3d...g(t)=-h(t)C解(1)=C(t)dt?dt3dt★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任何阶线性系统，但不适于非线性系统。833二阶系统的时域分析定义一一由二阶微分方程描述的系统。如R-L-C网络、枢控电动机、动力系、两级RC串联等。cR0.G(s)=s(s+250.)6
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 6 2．初始速度： | 1 | 1 1 0 ( ) 0= − =0= − = − = t T t t e dt dc t 3．e lim[r(t) c(t)] t ss = − → lim( ) T t t T Te − → = − = T ★表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上 仍有误差。 4．对斜坡响应求导： 1 ( ) ( ) e h t dt dc t t t = − = − ，即单位斜坡响应的导数是单位阶 跃响应。 四、单位抛物线响应： T s T s T s T s Ts s C s 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 2 3 3 2 + = − + − + = ，∴ (1 ) 2 1 ( ) 2 2 T t c t t Tt T e − = − + − = − = − − = = − + = − → → − ( ) ( ) ( ) (1 ), lim ( ) lim[ ] 2 2 2 T t t t ss T t e t r t c t Tt T e 故e e t Tt T T e 1．一阶系统不能跟踪抛物线信号。 2．对抛物线响应求导： = − + = − T t t T Te dt dc(t) 斜坡响应。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) 2 1 . ( ) 1( ) 1( ) 3 3 2 2 2 3 3 2 2 C t dt d C t dt d h t dt d g t t t dt d t t dt d t dt d t = = 斜 = 抛 = = = ★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任何阶线性系统，但不适于非线 性系统。 §3—3 二阶系统的时域分析 定义——由二阶微分方程描述的系统。如 R − L −C 网络、枢控电动机、动 力系、两级 RC 串联等。 - R C ( 2 ) ( ) 2 n n s s G s + =
《自动控制原理》第三章时域分析法微分方程：c(t)+250,c(t)+0,c(t)=0,r(t)o.?传函：G()=+250,s+0特征方程：?+20,s+02=0[——阻尼比其中心一无阻尼自然角频率Q.特征根：S12=-50,±0,2-1①5=0:S12=±jom②5=1:S12=-0n③>1：两个不相等负实根00<5<1: S12 =-50, ±0, V52 -1、单位阶跃响应：o当取不同值时，阶跃响应也不相同。C(s)=$(s? +250,s+0.)()5=0:o,?1C(s)=s(s? +0,)Ss+0.h(t)=1-cos O,th(0)4可见：系统处于无阻尼状态，响应为等幅振荡的周期函数，频率为の，，故称の，为无阻尼自然角频率。而且：%=100%,t，=00,e=0--±1，实际中无法完成任务
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 7 微分方程： ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 c t c t c t r t + n +n =n 传函： 2 2 2 2 ( ) n n n s s G s + + = 特征方程： 2 0 2 2 s + n s +n = 其中 — —无阻尼自然角频率 — —阻尼比 n 特征根： 1 2 s1.2 = − n n − ① n = 0 : s1.2 = j ② n = 1: s1.2 = − ③ 1: 两个不相等负实根 ④ 0 1: 1 2 s1.2 = − n n − 一、单位阶跃响应： ( 2 ) ( ) 2 2 2 n n n s s s C s + + = 当 取不同值时，阶跃响应也不相同。 （一） = 0： C(s)= 2 2 2 2 2 1 ( ) n n n s s s s s + = − + h t t n ( ) = 1− cos 可 见：系统处于无阻尼状 态，响应为 等幅振荡的周期函数， 频率为 n ，故称 n 为无阻尼自然角频率。 而且： % = 100%, = , = 0 − − 1 s ss t e ，实际中无法完成任务。 0 −Wn Wn 0 0 1 2 t h(t) 0
《自动控制原理》第三章时域分析法(二) 5=1:0?1s+onOnC(s) =(s+0,)2s(s2+20,s+0,2)s(s+0,)21On(s+0,)?s+o.sh(t)=1-e--w,te-.h(t) 4可见：临界阻尼的单位阶跃响应为非周期单调上升过程。dh(t)变化率：=0,e- +0,'te-ed =0,'te-0ddtt=0时，变化率为0，t>0后变化率为正。5.8（△=±2%）或1,~4.74（△=±5%）；此而且：无%与t，，1~Qnon时s12=-0,。(三) ≤>1:?o.AAAC(s) =s(s? +260,$+0,)s(s-st)(s-S2)sS- StS-S20,?hn4其中A=lim=1$-0 s? +20,s+ 0.?0,?1A, = lim-→5t s(s- S2)2/52-1(5-/52-1)0?1A, = lim5-$2 s(s - s,)2/22-1(5+/52-1)8
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 8 （二） = 1： 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) n n n n n n n s s s s s s s C s + − + + = − + + = = 2 ( ) 1 1 n n n s s s + − + − t n t n n h t e te − − ( ) =1− − 可见：临界阻尼的单位阶跃响应为非周期单调上升过程。 变化率： t n t n t n n n n e te te dt dh t − − − = + = ( ) 2 2 t = 0 时，变化率为 0，t 0 后变化率为正。 而且：无 n p s t t 5.8 %与 ， . （△=±2%）或 n s t 4.74 （△=±5%）；此 时 n s1.2 = − 。 （三） 1: 2 2 1 0 1 1 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( )( ) ( ) s s A s s A s A s s s s s s s s C s n n n n − + − = + − − = + + = 其中 1 2 lim 2 2 2 0 0 = + + = → n n n s s s A 2 1( 1 ) 1 ( ) lim 2 2 2 2 1 1 − − − = − − = → s s s A n s s 2 1( 1 ) 1 ( ) lim 2 2 1 2 2 2 − + − = − = → s s s A n s s 1 0 h(t) t t h(t) 0
《自动控制原理》 第三章时域分折法11e-(5+/2-1)o,(5-22-1)h(t)=15+V52-1215-15-5-1此时 s12=-50, ±0,V52-11、可见：c(t)由两相指数函数组成：dh(t)1h(0)=1-1=0 ,h(0)=1,[1-1] = 0 。dt>22/92.曲线单调上升，无c%、t，。3.t,的近似计算：在>1尤其是>1时，(5+-1)>>(5-2-1)：.响应中两个指数项随着1的延长，后一项！..后一项只在t>0后的前期对响应有影响，求t时可忽略。则有0(s)~-=50,-0,V2-1S-st$+5o,-0,V?-150, -0,52-111.. C(s)=s(s+50,-0.V2-1)ss+50, -0.V5?-1. h(0)=1-e-(-VF-1)o. 。1的惯性环节。此时相当于T=(5-52-1)0n4(一般≥1.07)..1,~4T=(5 -V5?-1)0n5.8计算。当1<<1.07时，可用t，=On833二阶系统的时域分析(四)0<2<1:1.响应曲线：s+Conto1C(s) =(s+(0,)2 +(1-52)0,22(s+50,)2+0,2(1-52)e9
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 9 t t n n h t e e ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 2 1 1 1 1 [ 2 1 1 ( ) 1 − − − − + − + − − − − − = − 此时 1 2 s1.2 = −n n − 1、可见： c(t) 由两相指数函数组成； h(0)=1 -1=0 ，h( )=1， [1 1] 0 2 1 1 | ( ) 2 0 − = − = = t dt dh t 。 2. 曲线单调上升，无 %、 p t 。 3． s t 的近似计算： 在 1 尤其是 1 时， ( 1) ( 1) 2 2 + − − − ∴响应中两个指数项随着 t 的延长，后一项↓↓ ∴后一项只在 t 0 后的前期对响应有影响，求 s t 时可忽略。 则有 1 1 ( ) 2 2 1 1 + − − − − = − − n n n n s s s s s ∴ ( 1) 1 ( ) 2 2 + − − − − = n n n n s s C s 1 1 1 2 + − − = − s s n n ， ∴ t n h t e ( 1) 2 ( ) 1 − − − = − 。 此时相当于 n T ( 1) 1 2 − − = 的惯性环节。 t s 4T = n ( 1) 4 2 − − （一般 1.07 ） 当 n s t 5.8 1 1.07时，可用 = 计算。 §3—3 二阶系统的时域分析 （四） 0 1: 1．响应曲线： ( ) (1 ) ( ) (1 ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 + + − − + + − + = − n n n n n n s s s s C s
《自动控制原理》第三章时域分折法s+gOd(s+o)?+0J1-2 (s+o)+0dsinoat-e-ah(t)=1-e-"coswat/1-2设直角三角形：β=cos"5=sin/1-=tg--So-Sa.则h(t)=2-1cosoat+sinoatl1V92-1cosoat+sinoal/1-e-50sin(o,y12t+β)=1yi-2可见：,=1,h(0)=1-1=0,h(o0)=1e-Sat包络线：1±Vi-222．性能指标：T(1）t,：令h(t)=1,代入h(t)式中有_esin(Oat,+β)=0/1-￥0..sin(0at,+β)=0，则0at,+β=0,元,2元,3元,..210
《自动控制原理》 第三章 时域分析法 10 = 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 d d d s s s s − + + − + + + − t d d t h t e t t e − − − = − − sin 1 ( ) 1 cos 2 设直角三角形： 2 1 1 2 1 1 cos sin 1 − = = − = − − − tg 则 [ 1cos sin ] 1 ( ) 1 2 2 t t e h t d d t n − + − = − − ( 1cos sin ] 1 1 2 2 t t e d d t n − + − = − − sin( 1 ) 1 1 2 2 − + − = − − t e n t n 可见： c = 1 h(0) = 1−1 = 0 h() = 1 s ， ， 包络线： 2 1 1 − − t n e 2．性能指标： （1） r t ：令 h(t) = 1，代入h(t) 式中， 有 sin( ) 0 1 2 + = − − d r t t e n r ∴ 0 sin( ) 0 1 2 + = − − d r t t e n ， ， 则 d t r + = 0, ,2 ,3 , 0 1 2 1 1 − + − t n e 2 1 1 − − − t n e t