《自动控制原理》课程教学资源（教案讲义）第七章 离散控制系统的分析

《自动控制原理》第七章离散控制系统的分析教学目的和要求：1、基本概念。2、香农采样定理和零阶保持器。3、z变换与z反变换4、脉冲传递函数。5、线性离散系统的稳定性分析。6、线性离散系统的稳态误差分析。7、线性离散系统的暂态性能分析。教学重点1、z变换与z反变换的方法2、脉冲传递函数3、线性离散系统的稳定性分析4、线性离散系统的稳态误差分析5、线性离散系统的暂态性能分析教学难点1、z变换与z反变换的方法2、W变换和暂态性能分析教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：87-17离散控制系统概述离散控制系统是一种断续控制方式，最早出现于某些惯性很大或具有较大延迟特性的1

《自动控制原理》 第七章 离散控制系统的分析 1 教学目的和要求： 1、基本概念。 2、香农采样定理和零阶保持器。 3、z 变换与 z 反变换 4、脉冲传递函数。 5、线性离散系统的稳定性分析。 6、线性离散系统的稳态误差分析。 7、线性离散系统的暂态性能分析。 教学重点 1、z 变换与 z 反变换的方法 2、脉冲传递函数 3、线性离散系统的稳定性分析 4、线性离散系统的稳态误差分析 5、线性离散系统的暂态性能分析 教学难点 1、z 变换与 z 反变换的方法 2、W 变换和暂态性能分析 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §7－1 离散控制系统概述 离散控制系统是一种断续控制方式，最早出现于某些惯性很大或具有较大延迟特性的

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析控制系统中。给定炉温放大器与炉温燃料X炉子执行电机供应阀图7-1炉温自动控制系统原理方框图图7-1是工业用炉温自动控制系统的原理方框图。炉子是一个具有延迟特性的惯性环节，时间常数较大。炉温的误差信号经放大后驱动电动机去调整燃料阀门的开度以控制炉温。若系统的开环放大倍数很大，系统对误差信号将非常敏感，当炉温较低时，电动机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。由于炉子本身的时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超调，电动机将反方向旋转。根据同样的道理，又会造成炉温的反方向超调，从而引起炉温大幅度的振荡，甚至使系统不稳定。若系统的开环放大倍数取得很小，系统则很迟钝，只有当误差较大时，产生的控制作用才能克服电动机的“死区”而推动阀门动作。这样虽不引起振荡，但控制作用不及时，调节时间很长且误差较大。若采用离散控制系统，系统的原理方框图如图7-2所示，在误差信号和电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。当炉温出现误差时，该信号只有在开关闭合时才能使电动机旋转，进行炉温调节。当开关断开时，电动机立刻停下来，阀门位置固定，让炉温自动变化，直到下一次采样开关闭合，再根据炉温的误差进行调节。由于电动机时转时停，炉温大幅度超调现象将受到抑制，即使采用较大的开环放大倍数，系统仍能保持稳定。De(t) Ke放大器与给定炉温燃料炉温+X炉子执行电机供应阀T图7-2炉温离散控制系统原理方框图通过上例可以看出，在惯性很大或具有较大延迟特性的控制系统中，采用连续控制效果并不理想，而采用断续的离散控制方式反而取得较好的控制效果。c(t)r(t)oe(t)Xe(t)被控脉冲保持器对象控制器A采样开关图7-3离散控制系统原理方框图

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 2 控制系统中。 图 7-1 是工业用炉温自动控制系统的原理方框图。炉子是一个具有延迟特性的惯性环 节，时间常数较大。炉温的误差信号经放大后驱动电动机去调整燃料阀门的开度以控制炉 温。若系统的开环放大倍数很大，系统对误差信号将非常敏感，当炉温较低时，电动机将 迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。由于炉子本身的时间常数较大，炉温上升 很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超调， 电动机将反方向旋转。根据同样的道理，又会造成炉温的反方向超调，从而引起炉温大幅 度的振荡，甚至使系统不稳定。 若系统的开环放大倍数取得很小，系统则很迟钝，只有当误差较大时，产生的控制作 用才能克服电动机的“死区”而推动阀门动作。这样虽不引起振荡，但控制作用不及时， 调节时间很长且误差较大。 若采用离散控制系统，系统的原理方框图如图 7-2 所示，在误差信号和电动机之间加 一个采样开关，它周期性的闭合和断开。当炉温出现误差时，该信号只有在开关闭合时才 能使电动机旋转，进行炉温调节。当开关断开时，电动机立刻停下来，阀门位置固定，让 炉温自动变化，直到下一次采样开关闭合，再根据炉温的误差进行调节。由于电动机时转 时停，炉温大幅度超调现象将受到抑制，即使采用较大的开环放大倍数，系统仍能保持稳 定。 通过上例可以看出，在惯性很大或具有较大延迟特性的控制系统中，采用连续控制效 果并不理想，而采用断续的离散控制方式反而取得较好的控制效果。 图 7-1 炉温自动控制系统原理方框图 图 7-3 离散控制系统原理方框图 图 7-2 炉温离散控制系统原理方框图 T

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析图7-3所示为一个典型的离散控制系统原理方框图。系统由被控对象、采样开关、脉冲控制器和保持器等部分组成一个反馈控制系统。随着控制系统复杂性的增加，特别是随着数字计算机技术的发展，离散控制系统在控制精度、控制速度以及性价比等方面都比模拟控制系统表现出明显的优越性。图7-4所示为以数字计算机为核心组成的一个典型计算机控制系统原理方框图。e(0)1e'(t)给定信号ui(t)炉温数字ur(0)被控XA/DDIA控制器对象数字计算机测量元件图7-4计算机控制系统原理方框图由于计算机内部参与运算的信号必须是二进制编码的数字信号，因此计算机控制系统也称作数字控制系统。通常需先将连续误差信号e(t)经模数转换装置A/D进行采样编码，转换成计算机能够识别的数字信号e（)，该信号经数字控制器处理后形成离散控制信号u()，再经过数模转换装置D/A恢复成连续控制信号u()，作用于被控对象。由以上分析可知，采样就是通过采样开关的作用将连续信号变成脉冲序列的过程，图7-5所示周期采样方式。所谓周期采样，就是采样开关按一定的时间间隔开闭。该时间间te(t)te'(t)e(t) X e'(0)oTT图7-5周期采样隔称为采样周期，通常用T表示。除了周期采样以外，还有其他采样形式：①等周期同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。②等周期异步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。③多阶采样：各采样开关以不同的周期开闭。④随机采样：开关动作随机，没有周期性。3

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 3 图 7-3 所示为一个典型的离散控制系统原理方框图。系统由被控对象、采样开关、脉 冲控制器和保持器等部分组成一个反馈控制系统。 随着控制系统复杂性的增加，特别是随着数字计算机技术的发展，离散控制系统在控 制精度、控制速度以及性价比等方面都比模拟控制系统表现出明显的优越性。图 7-4 所示 为以数字计算机为核心组成的一个典型计算机控制系统原理方框图。 由于计算机内部参与运算的信号必须是二进制编码的数字信号，因此计算机控制系统 也称作数字控制系统。通常需先将连续误差信号 e(t) 经模数转换装置 A/D 进行采样编码， 转换成计算机能够识别的数字信号 ( ) * e t ，该信号经数字控制器处理后形成离散控制信号 ( ) * u t k ，再经过数模转换装置 D/A 恢复成连续控制信号 u (t) k ，作用于被控对象。 由以上分析可知，采样就是通过采样开关的作用将连续信号变成脉冲序列的过程，图 7-5 所示周期采样方式。所谓周期采样，就是采样开关按一定的时间间隔开闭。该时间间 隔称为采样周期，通常用 T 表示。 除了周期采样以外，还有其他采样形式： ①等周期同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。 ②等周期异步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。 ③多阶采样：各采样开关以不同的周期开闭。 ④随机采样：开关动作随机，没有周期性。 T 图 7-5 周期采样 图 7-4 计算机控制系统原理方框图

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析本书只讨论采样开关周期采样的情况。87一2信号的采样与保持将连续信号转变为脉冲信号需要使用采样器，也称采样开关：而为了控制连续式元部件，又需要使用保持器将脉冲信号转变为连续信号。为了定量研究采样系统，必须对信号的采样过程和保持（复现)过程用数学方法来加以描述。7.2.1采样过程的数学描述把连续信号变换成离散信号的过程，叫做采样过程。在理想的采样过程中，连续信号经采样开关的周期性采样后，得到的每个采样脉冲的强度等于连续信号在采样时刻的幅值。因此，理想采样开关可以视作一个脉冲调制器，采样过程可以看作一个单位脉冲序列8(0)被输入信号e(t)进行幅值调制的过程如图7-6所示。te(t)载波>8(t-nT)14(0)k =-00e*(t)e(t)i调制器调制：0T2T3T.1调幅脉冲信号！te'(t)T2131图7-6幅值调制过程其中，单位脉冲序列8()=s(t-nT)为载波信号，e(t)为调制信号。当t≥0时，输出信号可表示为e () = e()o,(1)= e() Zs(t- nT)(7-1)-n=0式（7-1）为理想采样过程的数学表达式。对于实际采样过程，将连续信号e(t)加到采样开关的输入端，采样开关每隔周期T秒4

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 4 本书只讨论采样开关周期采样的情况。 §7－2 信号的采样与保持 将连续信号转变为脉冲信号需要使用采样器，也称采样开关；而为了控制连续式元部 件，又需要使用保持器将脉冲信号转变为连续信号。为了定量研究采样系统，必须对信号 的采样过程和保持(复现)过程用数学方法来加以描述。 7.2.1 采样过程的数学描述 把连续信号变换成离散信号的过程，叫做采样过程。 在理想的采样过程中，连续信号经采样开关的周期性采样后，得到的每个采样脉冲的 强度等于连续信号在采样时刻的幅值。因此，理想采样开关可以视作一个脉冲调制器，采 样过程可以看作一个单位脉冲序列 (t)  T 被输入信号 e(t) 进行幅值调制的过程如图 7-6 所 示。 其中，单位脉冲序列  + =− = − n  T (t)  (t nT) 为载波信号， e(t) 为调制信号。 当 t  0 时，输出信号可表示为 ( ) = * e t e(t) (t) e(t)  T =  + = − 0 ( ) n  t nT （7-1） 式（7-1）为理想采样过程的数学表达式。 对于实际采样过程，将连续信号 e(t) 加到采样开关的输入端，采样开关每隔周期 T 秒 图 7-6 幅值调制过程

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析闭合一次，每次闭合持续时间为t，于是在采样开关的输出端得到宽度为t的调幅脉冲序列e（t），如图7-7所示。 e(t)te'(t)e(l) × e(0)T2T3T4TT图7-7实际采样过程由于采样开关闭合时间t很小，远远小于采样周期T，故e(t)在t时间内变化甚微，可以近似认为在该时间内采样值不变。所以et)可近似视为一个宽度为，高度为e(nT)的矩形脉冲序列，即e'(t)=e(nT)[1(t-nT)-1(t-nT -t)(7-2)n=0式中，[1(t-nT)-1(t-nT-t)]为两个单位阶跃函数之差，表示在nT时刻，一个高度为1,宽度为t的矩形脉冲。当t一→0时，该矩形窄脉冲可用nT时刻的一个冲量为t的8函数来近似表示(7-3)1(t-nT)-l(t-nT -t)= t·S(t -nT)将式（7-3）代入式（7-2），可得e'() = .Ze(nT)-8(-nT)(7-4)n=0针对具体的离散控制系统，对上式可作如下说明：如果采样信号e（)未经保持器直接加到后续系统中，则每个脉冲的强度，正比于闭合时间T，故后面系统的放大倍数将扩大才符合实际情况。若使原系统的总增益在采样前后保持不变，则需增加一个增益为(1/t)的放大器。如果采样信号e（)经保持器直接加到后续系统中，那就可不考虑脉宽对系统增益的影响，则采样信号可直接按理想采样开关输出的信号来处理。由于大多数的离散控制系统，特别是数字控制系统均属于这种情况，因此，通常将采样开关视作理想采样开关，而采样信号e（t)用式（7-1）来描述。考虑到8函数的特点，式（7-1）也可写作5

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 5 闭合一次，每次闭合持续时间为  ，于是在采样开关的输出端得到宽度为  的调幅脉冲 序列 ( ) * e t ，如图 7-7 所示。 由于采样开关闭合时间  很小，远远小于采样周期 T ，故 e(t) 在  时间内变化甚微， 可以近似认为在该时间内采样值不变。所以 ( ) * e t 可近似视为一个宽度为  ，高度为 e(nT) 的矩形脉冲序列，即 ( ) ( )[1( ) 1( )] 0 * =  − − − − + = e t e nT t nT t nT n （7-2） 式中， 1(t − nT) −1(t − nT − ) 为两个单位阶跃函数之差，表示在 nT 时刻，一个高度为 1， 宽度为  的矩形脉冲。当  →0 时，该矩形窄脉冲可用 nT 时刻的一个冲量为  的  函数 来近似表示 1(t − nT) −1(t − nT − ) =  (t − nT) （7-3） 将式（7-3）代入式（7-2），可得  + = =   − 0 * ( ) ( ) ( ) n e t  e nT  t nT （7-4） 针对具体的离散控制系统，对上式可作如下说明： 如果采样信号 ( ) * e t 未经保持器直接加到后续系统中，则每个脉冲的强度，正比于闭合 时间  ，故后面系统的放大倍数将扩大  才符合实际情况。若使原系统的总增益在采样前 后保持不变，则需增加一个增益为 (1/ ) 的放大器。 如果采样信号 ( ) * e t 经保持器直接加到后续系统中，那就可不考虑脉宽  对系统增益的 影响，则采样信号可直接按理想采样开关输出的信号来处理。由于大多数的离散控制系统， 特别是数字控制系统均属于这种情况，因此，通常将采样开关视作理想采样开关，而采样 信号 ( ) * e t 用式（7-1）来描述。 考虑到  函数的特点，式（7-1）也可写作 图 7-7 实际采样过程

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析e'(0) =e(0).s(t- nT)=e(nT)·8(t-nT)(7-5)7.2.2采样定理连续信号e(t)经采样后变为采样信号e（)，采样信号的信息不等于连续信号的全部信息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究两类信号之间的相互联系，这需要用频谱分析的方法。所谓频谱，实质是一个时间函数所含不同频率谐波成分的分布情况。因为单位脉冲序列8()是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数，并写成其复数形式r(t)- C,eino)(7-6)其中，0,=(2元/T)为采样角频率，T为采样周期，C,为傅立叶系数'T, o,(0)e-ine dt(7-7)Ch=由于在区间中，只在t=0时8,(1)才有值，且e-jno,|=0=1，则1r.0.0u-C,=(7-8)故有(7-9)Sr(t)由式（7-1）可得，采样信号Ee(t)eina,e (0) = e(0)8,(0) = (7-10)上式两边各进行拉氏变换，得E'(s)=ZE(s-jno,)(7-11)T 2又因为E(s)=L[e(t)]，令s=jQ，则E(jの)为e(t)的频率特性，「E(jの)|为e(t)的幅频特性或称频谱。一般说来，e()的频谱E(jの)是一个单一的连续频谱，其谐波分量中的最高频率のmax是无限大的，如图7-8(a)所示。但因为当の较大时，「E(jの)|将很小，故可认为のmx是有限值，e(t)的频谱E(jの)可近似如图7-8(b)所示。6

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 6   + = + = =  − =  − 0 0 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n e t e t  t nT e nT  t nT （7-5） 7.2.2 采样定理 连续信号 e(t) 经采样后变为采样信号 ( ) * e t ，采样信号的信息不等于连续信号的全部信 息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究两类信号之间的相 互联系，这需要用频谱分析的方法。所谓频谱，实质是一个时间函数所含不同频率谐波成 分的分布情况。 因为单位脉冲序列 (t)  T 是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数，并写成其复数形 式   =− = n n t T n s t C e   j ( ) （7-6） 其中， (2 /T) s =  为采样角频率， T 为采样周期， Cn 为傅立叶系数 − − = / 2 / 2 j ( ) 1 T T n t n T t e dt T C s  （7-7） 由于在       − 2 , 2 T T 区间中，只在 t = 0 时 (t)  T 才有值，且 n t s e − j  | 1 t=0 = ，则 T t dt T Cn T 1 ( ) 1 0 0 = =  + −  （7-8） 故有   =− = n n t T s e T t   1 j ( ) （7-9） 由式（7-1）可得，采样信号   =− = = n n t T s e t e T e t e t t   * j ( ) 1 ( ) ( ) ( ) （7-10） 上式两边各进行拉氏变换，得   =− = − n n s E s T E s ( j ) 1 ( ) *  （7-11） 又因为 E(s) = L[e(t)] ，令 s = j ，则 E(j) 为 e(t) 的频率特性，| E(j) |为 e(t) 的幅频 特性或称频谱。一般说来， e(t) 的频谱 E(j) 是一个单一的连续频谱，其谐波分量中的最 高频率  max 是无限大的，如图 7-8(a)所示。但因为当  较大时，| E(j) |将很小，故可 认为  max 是有限值， e(t) 的频谱 E(j) 可近似如图 7-8(b)所示

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析+E(j)E(j)]00maOmax(b)(a)图7-8连续信号e(t)的频谱(a）实际频谱：(b）近似频谱E*(jの)为e()的频率特性，Ejの)为e'()的频谱。由式（7-11）可得E'Go)=E(j-no,)=E[(@-no,)(7-12)可见，采样后的信号频谱由无数条频谱叠加而成，每一条频谱曲线是采样前信号e(t)的频谱EGo)平移nの，幅值下降六倍的结果。而且1E'(jo)=:E(jo+ jo,)+E(jo)+-Ejo- jo,)+..T.T令の=の+の代入式（7-12），展开得E(jo+jo,)+E(j0)+E'o+jo,)=...-Ej@- jo,)+...T1T= E'(io)更为一般地有(7-13)E(jo+ jno,)=E'i(o+no,)]=E(jo)n =0,±1,±2,...故E(の)是以为周期的周期函数，其频谱E(j)也是以の，为周期的周期函数，如图7-9所示。特别，当n=0时，EGo)的频谱分量一EGjの)称为主频谱，它就是连续信号e(t)频谱E(jo)的一倍。从图7-9可以看出，当=≥のmx时，各个频谱分量不重叠，通过滤波可以滤除E(jの)2中高于の.的频谱，剩下的频谱与E(j)形状相同，即可从采样信号e()中复现出原来的7

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 7 (j ) * E  为 e (t)  的频率特性， (j ) * E  为 e (t)  的频谱。由式（7-11）可得 [j( )] 1 (j j ) 1 (j ) * s n s n E n T E n T E        + =− + =− = − = − （7-12） 可见，采样后的信号频谱由无数条频谱叠加而成，每一条频谱曲线是采样前信号 e(t) 的频谱 E(j) 平移 s n ，幅值下降 T 1 倍的结果。而且 = + + + + (j − j ) + 1 (j ) 1 (j j ) 1 (j ) * s s s s s E T E T E T E       令  =  +s 代入式（7-12），展开得 (j ) (j j ) 1 (j ) 1 (j j ) 1 (j j ) * *         E E T E T E T E s s s s s s = + = + + + + − + 更为一般地有 E * (j + jns ) = E * [j( + ns )] = E * (j) n = 0,1,2,  （7-13） 故 (j ) * E  是以  s 为周期的周期函数，其频谱 E(j) 也是以  s 为周期的周期函数，如图 7-9 所示。 特别，当 n = 0 时， (j ) * E  的频谱分量 (j ) 1 E  T 称为主频谱，它就是连续信号 e(t) 频 谱 E(j) 的 T 1 倍。 从图 7-9 可以看出，当 max 2    s 时，各个频谱分量不重叠，通过滤波可以滤除 (j ) * E  中高于  max 的频谱，剩下的频谱与 E(j) 形状相同，即可从采样信号 ( ) * e t 中复现出原来的 (a) 实际频谱； (b) 近似频谱 图 7-8 连续信号 e(t) 的频谱 (a) (b)

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析连续信号e(t)：否则，Eiの)中各个频谱波形互相搭接，E(i)就无法通过滤波得到Ejo)，也就无法从e(t)中复现出e(t)。+ [E*(ja)]20,20s采样频率高?00305-20,es20,30,采样频率低图7-9采样信号e（t)的频谱由以上分析可以得到如下结论：可以从采样信号e(t)中完全复现连续信号e()的条件是：采样频率の.必须大于或等于输入采样开关的连续信号e(0)频谱中的最高频率の.的2倍，即(7-14)0,≥20mx这就是著名的香农（Shannon）采样定理。IG(j)!7.2.3零阶保持器由图7-9可知，当采样信号的频谱中各波形互不重叠时，可以用一个具有图7-10所示的幅频特性的理想低通滤波器无畸变地复现连续信号的频谱，只是各频谱分量都是原来的一0Omax0倍。然而，这样的理想低通滤A图7-10理想低通滤波器的幅频特性波器在实际中是无法实现的。工程中最常用、最简单的低通滤波器是零阶保持器。e(0)+e,(t)e'(t)er(t)零阶保持器8T9TT2T3T4T5T6T7T2T3T4T5T6T7T8图7-11零阶保持器的输入输出信号

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 8 连续信号 e(t) ；否则， (j ) * E  中各个频谱波形互相搭接， (j ) * E  就无法通过滤波得到 E(j) ，也就无法从 ( ) * e t 中复现出 e(t)。 由以上分析可以得到如下结论： 可以从采样信号 ( ) * e t 中完全复现连续信号 e(t) 的条件是：采样频率  s 必须大于或等 于输入采样开关的连续信号 e(t) 频谱中的最高频率  max 的 2 倍，即 max  s  2 （7-14） 这就是著名的香农（Shannon）采样定理。 7.2.3 零阶保持器 由图 7-9 可知，当采样信号的频谱中各波形互不 重叠时，可以用一个具有图 7-10 所示的幅频特性的理 想低通滤波器无畸变地复现连续信号的频谱，只是各 频谱分量都是原来的 T 1 倍。然而，这样的理想低通滤 波器在实际中是无法实现的。工程中最常用、最简单 的低通滤波器是零阶保持器。 图 7-10 理想低通滤波器的幅频特性 图 7-9 采样信号 ( ) * e t 的频谱 图 7-11 零阶保持器的输入输出信号 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ( ) * e t 零阶保持器 ( ) * e t e (t) h t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T e (t) h

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析零阶保持器将采样信号在每个采样时刻的采样值enT），一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号e(t)变成阶梯信号e,()，如图7-11所示。因为这种保持器的输出信号e，()在每一个采样周期内的值为常数，其导数为零，所以称之为零阶保持器。当零阶保持器输入信号为单位脉冲8（)时，其输出是幅值为1、持续时间为T的一个矩形脉冲gh()，即(7-15)gh(t) = 1(t) -1(t- T)对零阶保持器的单位脉冲响应g,()进行拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为G,(s)=L[g;(s)- 1_-e- _1-e*(7-16)s令s=iの，得到零阶保持器的频率特性为joT/2(ejaT/2-e-joT/21-e-je?sin(oT /2)joT/2(7-17)G,(jo)=oT/2jajo2元为采样角频率。式中，T为采样周期，の，T零阶保持器的幅频特性为[G,Go)= T. sin(αT/2)(7-18)OT/2零阶保持器的相频特性为OTPh(0)=-(7-19)2可见，当=0时, [G,G0)=lm7.eT/2=T，9,(0)=0 当=0,时， C,G)OT/2=T.sin=0, 而g(o,)=-元。元零阶保持器的幅频特性和相频特性如图7-12所示。tG,Go)@s20s30,@P (o)06元图7-12零阶保持器的幅频特性和相频特性

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 9 零阶保持器将采样信号在每个采样时刻的采样值 e(nT) ，一直保持到下一个采样时 刻，从而使采样信号 ( ) * e t 变成阶梯信号 e (t) h ，如图 7-11 所示。因为这种保持器的输出信 号 e (t) h 在每一个采样周期内的值为常数，其导数为零，所以称之为零阶保持器。 当零阶保持器输入信号为单位脉冲  (t) 时，其输出是幅值为 1、持续时间为 T 的一个 矩形脉冲 g (t) h ，即 g (t) 1(t) 1(t T) h = − − （7-15） 对零阶保持器的单位脉冲响应 g (t) h 进行拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为 Gh (s) = Lgh (s) = s e e s s Ts Ts − − − − = 1 1 1 （7-16） 令 s = j ，得到零阶保持器的频率特性为 j / 2 j j / 2 j / 2 j / 2 / 2 sin( / 2) j ( ) j 1 (j ) T T T T T h e T T T e e e e G           − − − − =   − = − = （7-17） 式中， T 为采样周期， T s   2 = 为采样角频率。 零阶保持器的幅频特性为 / 2 sin( / 2) (j ) T T Gh T    =  （7-18） 零阶保持器的相频特性为 2 ( ) T h    = − （7-19） 可见，当  = 0 时， (j0) Gh T T T = T  = → / 2 sin / 2 lim 0    ，  h (0) = 0 ；当  = s 时， (j) Gh 0 sin =  =   T ，而  h ( s ) = − 。 零阶保持器的幅频特性和相频特性如图 7-12 所示。 图 7-12 零阶保持器的幅频特性和相频特性 gointexin

《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析从幅频特性上看，零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器。零阶保持器除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过。因此，零阶保持器复现出的连续信号e,(t)与原信号e()是有差别的。同时，由于离散控制系统的连续部分也具有低通滤波特性，可将通过零阶保持器的绝大部分高频频谱滤掉，而且零阶保持器结构简单，在实际中得到了广泛的应用。但应注意到，从相频特性上看，零阶保持器产生正比于频率的相位滞后。因此零阶保持器的引入，将造成系统稳定性下降。若将零阶保持器传递函数按幂级数展开11-e-Ts-(1-1)=-[1-G,(s) =sSS(Ts)2 +.1 + Ts +2!若取级数的前两项，得T11G,(s)~-1+ Ts1+ Tss实现它的方法很多，可采用放大器和RC网络或有源网络来实现，如图7-13所示。RR2RC放大器OC :Ro增益为T山(b)(a)图7-13零阶保持器的实现(a)RC网络方式：(b)运算放大器方式s7-3z变换线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用变换来分析它的暂态性能及稳态性能。z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。7.3.1变换的定义连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)= LLf(t)=[f(t)e-" d连续信号f(t)经过采样后的离散信号f(t)为10

《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 10 从幅频特性上看，零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器。零阶保 持器除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过。因此，零阶保持器 复现出的连续信号 e (t) h 与原信号 e(t) 是有差别的。同时，由于离散控制系统的连续部分也 具有低通滤波特性，可将通过零阶保持器的绝大部分高频频谱滤掉，而且零阶保持器结构 简单，在实际中得到了广泛的应用。但应注意到，从相频特性上看，零阶保持器产生正比 于频率的相位滞后。因此零阶保持器的引入，将造成系统稳定性下降。 若将零阶保持器传递函数按幂级数展开 ] ( ) 2! 1 1 1 [1 1 ) 1 (1 1 1 ( ) + + 2 + = − = − − = − Ts Ts s s e s e G s Ts Ts h 若取级数的前两项，得 Ts T s Ts G s h + = +  − 1 ) 1 1 (1 1 ( ) 实现它的方法很多，可采用放大器和 RC 网络或有源网络来实现，如图 7-13 所示。 §7－3 z 变换 线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及 稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用 z 变换来分析它的 暂态性能及稳态性能。 z 变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导 出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3.1 z 变换的定义 连续信号 f (t) 的拉普拉斯变换为   − = = 0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 连续信号 f (t) 经过采样后的离散信号 ( ) * f t 为 (a) (b) 图 7-13 零阶保持器的实现 (a) RC 网络方式； (b) 运算放大器方式