《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型教学目的与要求：1、了解拉氏变换、拉氏反变换的定义及其变换的基本法则；2、掌握传递函数的相关概念；3、掌握结构图的基本概念及结构图的等效变换原则：4、了解信号流图的基本概念及其组成；5、理解梅森公式求取传递函数的方法：6、掌握闭环系统的各种传递函数概念及求取方法；7、理解脉冲响应函数的概念与应用；教学重点：1、拉氏变换法求解微分方程；2、传递函数的求取：3、信号流图与结构图之间的关系；教学难点：1、拉氏反变换；2、结构图的等效变换原则求取传递函数3、梅森公式求取传递函数；教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：82-1引言为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。模型一客观实际物体的表。如电机模型，机械零件模型等。几何模型一几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型）模拟模型一物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型。1
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 1 教学目的与要求： 1、了解拉氏变换、拉氏反变换的定义及其变换的基本法则； 2、掌握传递函数的相关概念； 3、掌握结构图的基本概念及结构图的等效变换原则； 4、了解信号流图的基本概念及其组成； 5、理解梅森公式求取传递函数的方法； 6、掌握闭环系统的各种传递函数概念及求取方法； 7、理解脉冲响应函数的概念与应用； 教学重点： 1、拉氏变换法求解微分方程； 2、传递函数的求取； 3、信号流图与结构图之间的关系； 教学难点： 1、拉氏反变换； 2、结构图的等效变换原则求取传递函数； 3、梅森公式求取传递函数； 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §2-1 引言 为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析， 掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达 出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。 模型—客观实际物体的表。如电机模型，机械零件模型等。 几何模型—几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型） 模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型
《自动控制原理》第二章制象统的教学模型数学模型一用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的关系的代数方程。静态数学模型一在静态条件下（即变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型一描述诸变量动态关系得数学表达式。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。82-2行微分方程一、线性元件的微分方程：列写方法：（1）确定元件的输入、输出变量。（2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。（3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。（4）标准化一一将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。例1．RC网络，u,为输入，u。为输出列微分方程。R解：R,+u。=u,，-Jidtu,=i=cdu.RCdu.(1)+u.=udtdt令T=RC为时间常数，则有du一阶微分方程。+u,=u,-dt例2.R-L-C电路，u,为输入，2u
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 2 数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间的关系的代数方程。 静态数学模型—在静态条件下（即变量各阶导数为 0），描述变量之间关系 的代数方程。 动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。 常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态 结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。 用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和 简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。 §2-2 微分方程 一、线性元件的微分方程： 列写方法： （1） 确定元件的输入、输出变量。 （2） 从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。 （3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 （4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各 项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。 例1． RC 网络， i u 为输入， c u 为输出列微分方程。 解： Ri + uc = ur ， = idt C uc 1 c r c c u u dt du RC dt du i = C ⎯→ + = (1) 令 T=RC 为时间常数，则有 c r c u u dt du T + = -一阶微分方程。 例 2．R-L-C 电路， i u 为输入， r u c u R C i R L r i u uc
《自动控制原理》第二章控制系统的教学模型u。为输出列微分方程。Idi解：+Ri+u=u,dtd'udi1du.lidtdtdtdt?Cd'udu+ RC故LC+u。=u,一二阶微分方程dt?dtL令T：T,=RC均为时间常数。Pd'ue +r, du.则有TT+u.=u,(2)dr?dt例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力F(t)作用时，系统将产生运动x()-位移。F(t)解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和m不平衡，则质量m将有加速度，并使速度和位移改变。+x(t)根据牛顿第二定律有：d?x「F()→弹簧恢复力F(t)-F()-F()= mdt2F(t)→阻尼器阻力7777777777假设弹簧是线形的，则F()=kx；假设阻尼器阻力与速度成正比则F()=rddt=md'x即mdx+Lddx+ x=.:. F(t) = kx --F(t) ---二阶微分dt?dtk dt?k dtk方程mT,K=1令T：k'Nk2/mk则有m2d'x+25Tdr(3)+x=KF(t)dt?dt比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。3
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 3 c u 为输出列微分方程。 解： c r Ri u u dt di L + + = = ⎯→ = dt du idt i C C u c c 1 ， 2 2 dt d u C dt di c = 故 c r c c u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 — 二阶微分方程 令 T RC R L T1 = , 2 = 均为时间常数。 则有 c r c c u u dt du T dt d u T T + 2 + = 2 2 1 2 （2） 例 3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力 F(t)作用时， 系统将产生运动 x(t)-位移。 解：在 F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和 不平衡，则质量 m 将有加速度，并使速度和位移改变。 根据牛顿第二定律有： → → − − = 阻尼器阻力 弹簧恢复力 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 2 1 2 F t F t dt d x F t F t F t m 假设弹簧是线形的，则 F (t) = kx 1 ； 假设阻尼器阻力与速度成正比， 则 dt dx F (t) = f 2 ， ∴ 2 2 ( ) dt d x m dt dx F t = kx − f = ，即 ( ) 1 2 2 F t k x dt dx k f dt d x k m + + = -二阶微分 方程 令 , 1 , 2 , k K mk f k m T = = = 则有 2 ( ) 2 2 2 x KF t dt dx T dt d x m + + = (3) 比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看， 两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系 统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究
《自动控制原理》第二章控制象统的教学模型例4.枢控他励直流电机，2元输入---u。，输出---。0=6030R.LVua负载 dia + E = a --(I)Ri.+L解：dtE=C,0及M=Cmi。，且电机轴上的动力学方程为：do+ fo = M-M。dt其中J-.-转动惯量，f.--粘性摩擦系数do..=M-M实际分析中常忽略阻尼力矩fo，dt..Cmi. =J do+Jdo.M+M.--(2)>i.:dtCm dtC.dia-J d'o.1 dM.则(3)dt"Cmdt?Cmdt将(2)、(3)式代入(1)式中有：L.J d'o,R.J doL. dM.RaM.+Co=uCmdt?CdtCmCmdt1即doR.J doL, dM.R.M+0=-uaC.C, dt?CmCmdtc.dtC.C.La令T=电枢回路的电磁时间常数R.R.JT.=电枢回路的机电时间常数C.C.4
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 4 例 4.枢控他励直流电机， 输入- a u ，输出- 。 = n = n 60 30 2 解： a a a a a E u dt di R i + L + = -(1) E = Ce 及 m a M = C i ，且电 机轴上的动力学方程为： M Mc f dt d J + = − 其中 J-转动惯量，f-粘性摩擦系数。 实际分析中常忽略阻尼力矩 f ， ∴ M Mc dt d J = − ∴ m c m m a c a C M dt d C J M i dt d C i = J + ⎯→ = + -(2) 则 dt dM dt C d C J dt di c m m a 1 2 2 = + -（3） 将(2)、(3)式代入(1)式中有： c m c a m a e a m a m a M C R dt dM C L C u dt d C R J dt d C L J + + = − − 2 2 即 c m e c a m a a m e a m e a M C C R dt dM C L u dt C d C R J dt d C C L J + + = − − 1 2 2 令 a a a R L T = -电枢回路的电磁时间常数 m e a m C C R J T = -电枢回路的机电时间常数 Ra E ua M 负载 La + - a i
控制象统的教学模型《自动控制原理》第二章1Tm为传递系数KA1d'odMdo+o=Ku.-Km(T.故有T.TmF+M.)dt?dtdt三.线性系统微分方程的列写：先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。例6、速度控制系统。R2功率负载放大Rug_uru,1．运放I：>u-(uur)=Ki(ug-u,)R,RR2R,du,R(RCdu,du,u,u22.运放II：+u,)=K,(t+C+u)>u2R,dtR4Rdtdt3．功放：u.=Kgu2d'adM.+T do+O=K,U.-K.(T.C+M)4.电机：T.Tmdt?dtdt5.测速机：u,=K,最后合并上述方程有：d'odo+T.T.+0dt?dtdu++0)-K.(T, dM.doc+M.)=KK,K,K,(+u)-KK,K,KK,(tdtdtdt5
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 5 J T K C K m m e u = , = 1 为传递系数 故有 ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K u K T dt d T dt d T T + + = − + 三.线性系统微分方程的列写： 先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。 例 6、速度控制系统。 1． 运放Ⅰ： ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 g f g f g f u u K u u R R u R u R u R u − = → = − = − 2． 运放Ⅱ： ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 3 4 2 4 1 2 3 1 u dt du u K dt du R c R R u R u dt du c R u + = → = + = + 3． 功放： 3 2 u K u a = 4． 电机： ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K U K T dt d T dt d T T + + = − + 5． 测速机： u f = K f 最后合并上述方程有： + + dt d T dt d TaTm 2 m 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 c c g u f m a g u M dt dM K T dt d u K K K K K dt du = K K K K + − + − + _ uf + + ug 功率 放大 T G G 负载 R1 R2 R3 R3 R4 _ _ + ua _ M R1 u1 C u2
《自动控制原理》第二章控制象统的教学模型令K=K,K,K,K,K=K,K,K,K,K,=K.K,则有：KdugKmdM.T.Tmd'o,T.+Ktdo+M.)+0+ug)(T(Tdt1+K。dt?dt1+ K。1+K。dt1+K。可见：の既与u。有关又与M。有关。①当u。为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统，M一般不变：dugT.Im d'oKTm+Kotdo+ug)+0(T1+K。dt?dt1+ K。1+kodt②当u.为常值，M，为变化量，系统为恒值调速系统：dM.KmT.Tm d'oT+K.t do(T.+M, )+0=1+K。dt?dtdt1+K。1+ko补充内容四、复习拉普拉斯变换的有关内容1、复数有关概念jo[S]（1）复数、复函数2s=o+jo复数1012aF(s)= F, + jF,复函数例： F(s)=$+2=0+2+joAFy[S]（2）复数模、相角IF[F(s) = /F2 + F2F,ZFZF(s)= arctg)F0Fx2314（3）复数的共轭F=F-jFy（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。6
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 6 令 K KuK K K K KuK K K K f K K f = = = 3 2 1 0 3 2 1 , 则有: + + + + + dt d K T K dt d K TaTm m 0 0 2 2 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 0 0 c c a m g g M dt dM T K K u dt du K K + + + − + = 可见： 既与 ug 有关又与 M c 有关。 ①当 ug 为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统, M c 一般不变： ( ) 1 1 0 1 0 0 2 2 0 g a m m g u dt du k K dt d K T K dt d K T T + + + = + + + + ②当 ug 为常值， M c 为变化量，系统为恒值调速系统： ( ) 1 1 0 1 0 0 2 2 0 c c a a m m m M dt dM T k K dt d K T K dt d K T T + + + = − + + + + 四、复习拉普拉斯变换的有关内容 补充内容 1、复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 s = + j 复函数 ( ) x y F s = F + jF 例： F(s) = s + 2 = + 2 + j （2）复数模、相角 ( ) ( ) x y 2 y 2 x F F F s arctg F s F F = = + （3）复数的共轭 ( ) x y F s = F − jF （4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析
《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型2、拉氏变换定义[f(t)像原F(s)= L[f(t)] = [~ f(t)-e-" dtF(s):像五、典型输入信号对于一个实际系统，其输入信号往往是比较复杂的，而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此，在研究控制系统的响应时，往往选择一些典型输入信号，并且以最不利的信号作为系统的输入信号，分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。据此评估系统在比较复杂信号作用下的性能。常采用的典型输入信号有以下几种。1.阶跃函数（位置函数）r(t) 4阶跃函数的数学表达式为A[A1≥0r(t) =0t<o(1-1)0它表示一个在t=0时出现的、幅值为A的阶跃变化函数，当A=1时，称为单位阶跃函数，记作r()=1(t)。因此，幅值为A的阶跃函数也可以表示为r(t) = A·1(0)(1-2)r(t)4单位阶跃函数的拉氏变换为R(s) = L[()] = S(1-3)2.斜坡函数（等速度函数）0图斜坡函数斜坡函数的数学表达式为[At1≥0r(t) =01<0(1-4)它表示一个从t=0时刻开始、随时间以恒定速度A增加的变化函数，当A=1时，称为单位斜坡函数，记作r(t)=t·1(t)。单位斜坡函数的拉氏变换为7
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 7 2、拉氏变换定义 F(s) Lf(t) f(t) e dt st 0 − = = ：像 ：像原 F(s) f(t) 五、典型输入信号 对于一个实际系统，其输入信号往往是比较复杂的，而系统的输出响应又 与输入信号类型有关。因此，在研究控制系统的响应时，往往选择一些典型输 入信号，并且以最不利的信号作为系统的输入信号，分析系统在此输入信号下 所得到的输出响应是否满足要求。据此评估系统在比较复杂信号作用下的性能。 常采用的典型输入信号有以下几种。 1．阶跃函数（位置函数） 阶跃函数的数学表达式为 = 0 0 0 ( ) t A t r t （1-1） 它表示一个在 t = 0 时出现的、幅值为 A 的阶跃 变化函数， 当 A = 1 时，称为单位阶跃函数，记作 r(t) = 1(t) 。因此，幅值为 A 的阶跃函数也可以表示为 r(t) = A1(t) （1-2） 单位阶跃函数的拉氏变换为 s R s L t 1 ( ) = [1( )] = （1-3） 2．斜坡函数（等速度函数） 斜坡函数的数学表达式为 = 0 0 0 ( ) t At t r t （1-4） 它表示一个从 t = 0 时刻开始、随时间以恒定速度 A 增加的变化函数，当 A = 1 时， 称为单位斜坡函数，记作 r(t) = t 1(t) 。 单位斜坡函数的拉氏变换为 r(t) 图 斜坡函数 0 A t 0 A t r(t)
《自动控制原理》第二章控制系统的教学模型R(s) = [r-1(0)= 52(1-5)斜坡函数也称为等速度函数，它等于阶跃函数对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃函数。r(0)43.抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数的数学表达式为1SAr3Bart≥0r(t) =0[ot△(1-8)00△(b)(a)其面积为A，如图（a）所示。图脉冲函数当A=1，△→0时称为单位脉冲函(a)>0 (b) =0数，记作(0)，如图（b）所示，即[0t#0(t) =(t)dt = 181=0(1-9)单位脉冲函数的拉氏变换为8
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 8 2 1 ( ) [ 1( )] s R s = L t t = （1-5） 斜坡函数也称为等速度函数，它等于阶跃函数对时间的积分，而它对时间的导 数就是阶跃函数。 3．抛物线函数（等加速度函数） 抛物线函数的数学表达式为 = 0 0 0 2 1 ( ) 2 t At t r t （1-6） 当 A = 1 时称为单位抛物线函数，记作 1( ) 2 1 ( ) 2 r t = t t 。 单位抛物线函数的拉氏变换为 3 2 1 1( )] 2 1 ( ) [ s R s = L t t = （1-7） 抛物线函数也称为加速度函数，它等于斜坡函数对时间的积分，而它对时间的 导数就是斜坡函数。 4．脉冲函数 脉冲函数的数学表达式为 = 0 0 Δ 0 Δ Δ ( ) Δ t t t A t 及 （1-8） 其面积为 A ，如图（a）所示。 当 A = 1， → 0 时称为单位脉冲函 数，记作 (t) ，如图（b）所示，即 = = 0 0 0 ( ) t t t 及 − (t)dt = 1 （1-9） 单位脉冲函数的拉氏变换为 2 2 1 At r(t) 图 抛物线函数 0 t 图 脉冲函数 (a) Δ 0 (b) Δ = 0 （a） （b） Δ A ( ) Δ t 0 t Δ 0 t (t)
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型R(s)=L[8()l=1(1-10)单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。5.正弦函数r(t)4正弦函数的数学表达式为Asinott≥00otr(t) =lot<0(1-11)式中，A为振幅；①为角频率。图正弦函数正弦函数为周期函数，如图所示，其拉氏变换为A·0R(s)= L|Asin ot)=$?+02(1-12)应该指出，对实际系统进行分析时，应根据系统的工作情况选择合适的典型输入信号。例如具有突变的性质，可选择阶跃函数作为典型输入信号：当系统的输入作用随时间增长而变化时，可选择斜坡函数作为典型输入信号：当系统输入具有周期性变化时，可选择正弦函数作为典型输入信号。重点六、拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质：L[af,(t)+bf,(t))=aF(s)+bF,(s)(2）微分定理：L[f(t)=s·F(s)-f(o)证明：左=jr(t)-e-*dt=je-"df(t)=[e*(0)] - jr(t)de*=[0-f (0)]+sj f (t)e-*dt= sF(s)-f(0)=右进一步: L[r() (t)|= s"F(s) -s*f(0) - s2f (0) -.-sf(a-2) (0) -f(-1) (0)零初始条件下有：L[r()(t)]=s"·F(s)例1：求L[8(t)]9
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 9 R(s) = L[ (t)] = 1 （1-10） 单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 5．正弦函数 正弦函数的数学表达式为 = 0 0 sin 0 ( ) t A t t r t （1-11） 式中， A 为振幅； 为角频率。 正弦函数为周期函数，如图所示，其拉氏变 换为 2 2 ( ) [ sin ] + = = s A R s L A t （1-12） 应该指出，对实际系统进行分析时，应根据系统的工作情况选择合适的典型输 入信号。例如具有突变的性质，可选择阶跃函数作为典型输入信号；当系统的 输入作用随时间增长而变化时，可选择斜坡函数作为典型输入信号；当系统输 入具有周期性变化时，可选择正弦函数作为典型输入信号。 六、拉氏变换的几个重要定理 重点 （1）线性性质： Laf (t) bf (t) aF (s) bF (s) 1 + 2 = 1 + 2 （2）微分定理： Lf(t) = s F(s)− f(0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st st 0 0 -st st 0 0 st 0 f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0 s f t e dt sF s f 0 − − − − = = = − = + = − = 证明：左 右 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n-2 n 1 n n-1 n-2 L f t s F s s f 0 s f 0 sf 0 f 0 − = − − − − − 进一步： 零初始条件下有： ( ) Lf (t) s F(s) n n = 例 1：求 L (t) r(t) 图正弦函数 0 A t
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型解：:8(t)=1'(t). [6()]= [r()] = s-—- (0-)=1- 0 =1例2：求L[cosot]0s解：cosot=[sin'ot]-s?+0?s? +0?00(3) 积分定理： L[r(t)atl-1 F()+=r(-)(0)（证略）零初始条件下有：L[rf(t)at]-}-F(s)进一步有：=F(s)+ r(-(0)+ f(-2(0)+ .+→f(-(0)(... (t)dt"-C例3：求L[t]=?解：·t={1(t)ut-[(]-+++4--1例4：求L2t2=[ tdt解：[+T（4）位移定理实位移定理：L[f(t-t)]=e-*.F(s)f0 t0解: f(t)=1(t)-1(t-1).F(6)-_-.e --(i-e-)S虚位移定理：L[e.f(t)=F(s-a）（证略）10
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 10 解： (t) = 1(t) ( ) ( ) (0 ) 1 0 1 s 1 L t = L1 t = s − = − = − 例 2：求 Lcost 解： 2 2 2 2 s s s s 1 L sin t 1 cos t + = + = = （3）积分定理： ( ) ( ) ( ) f (0) s 1 F s s 1 L f t dt -1 = + （证略） 零初始条件下有： ( ) F(s) s 1 L f t dt = 进一步有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (0) s 1 f 0 s 1 f 0 s 1 F s s 1 L f t dt 2 n n 1 1 n n n n − − − − = + + + + 例 3：求 L[t]=? 解： t 1(t)dt = ( ) t 0 2 s 1 t s 1 s 1 s 1 L t = L 1 t dt = + = = 例 4：求 2 t L 2 解： = tdt 2 t 2 3 t 0 2 2 2 s 1 2 t s 1 s 1 s 1 L tdt 2 t L = = + = = （4）位移定理 实位移定理： Lf(t - ) e F(s) s = − 例 5： ( ) F(s) 0 t 0 1 0 t 1 0 t 0 f t 求 = 解： f(t) = 1(t) −1(t −1) ( ) ( ) s s 1 e s 1 e s 1 s 1 F s − − = − = − 虚位移定理： Le f(t) F(s - a) at = （证略）