《自动控制原理》第五章频域分折法-频率法教学目的与要求：1、掌握频率特性的定义和表示方法：2、掌握比例、积分、微分、惯性等环节的频率特性。3、熟练掌握系统开环频率特性的绘制方法：4、理解最小相位系统与非最小相位系统的区别与特征：5、正确理解奈氏判据的原理并能熟练运用奈氏判据在极坐标和对数坐标中判断各种系统的稳定性；6、正确理解闭环系统的频域性能指标与时域指标的关系；7、能根据图表对二阶系统频域性能指标进行计算，并对高阶系统进行估算。教学重点：1、频率特性的表示及绘制；2、奈氏判据的应用。教学难点：01、频率特性与传递函数之间的关系；2、奈氏判据的应用：3、闭环系统频域性能指标的计算及高阶系统性能的估算。教学时数：12学时：教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：35-1频率特性的基本概念一般来说，系统工作性能用时域特性度量为最好，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定。故引出了频率特性法，不用解方程，也不用求特征根，而是利用系统的频率响应图以及频率响应与时间响应之间的某些关系解决系统的设计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性分析闭环响应，它是一种图解法，非常形象直观。1
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 1 教学目的与要求： 1、掌握频率特性的定义和表示方法； 2、掌握比例、积分、微分、惯性等环节的频率特性。 3、熟练掌握系统开环频率特性的绘制方法； 4、理解最小相位系统与非最小相位系统的区别与特征； 5、正确理解奈氏判据的原理并能熟练运用奈氏判据在极坐标和对数坐标中 判断各种系统的稳定性； 6、正确理解闭环系统的频域性能指标与时域指标的关系； 7、能根据图表对二阶系统频域性能指标进行计算，并对高阶系统进行估算。 教学重点： 1、频率特性的表示及绘制； 2、奈氏判据的应用。 教学难点： 1、频率特性与传递函数之间的关系； 2、奈氏判据的应用； 3、闭环系统频域性能指标的计算及高阶系统性能的估算。 教学时数： 12 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §5-1 频率特性的基本概念 一般来说，系统工作性能用时域特性度量为最好，但高阶系统的时域特性 很难用分析法确定。故引出了频率特性法，不用解方程，也不用求特征根，而 是利用系统的频率响应图以及频率响应与时间响应之间的某些关系解决系统的 设计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性分析闭环响应，它是一种图解 法，非常形象直观
《自动控制原理》第五章 频域分析法-频率法R一、定义：O以RC网络为例：u1u,rde+u,=u, , G(s)=CTs +1dt1a当u,=Urmsinot时，件为0用拉且初始 条氏变换有,Um1Um10U.(s)= G(s)R(s)Ts +1s?+0?71(s-jo)(s+ jo)s +TBcAXs-jos+jos+1ToUmUrm0A= lim其中：1+0*2T$? +02S-TUrmUrm0-e-jig"oTB= lim1T12jV1+0?T2s→jo)(s+jo)(s +7UUrm10ejig"arC=limT2j-joVi+o?T?S-)(s- jo)S-UmToUrm1/1e-jg"or..U.(s)=1+0'T21VI+0T22js-jos+T1U.1ojig"orV1+w2T2 2js+jo-j(ot-ig"oT)ej(ot-g"oT)ToUUrmer..u.(t) =1+0°T22jV1+0?T2eJ-e-Jx<利用公式sinx=2j1UmOTUfer..u.(t)sin(ot-tg-oT)1+0T?/1+0°T22
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 2 一、定义： 以 RC 网络为例： T dt duc + u c = u r ，G(s) 1 1 + = Ts 当 u U t r = rm sin 时， 且 初 始 条 件 为 0 ， 用 拉 氏 变 换 有 ： 1 ( )( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 s j s j T s T U s U Ts U s G s R s rm rm c − + + = + + = = s j C s j B T s A + + − + + = 1 ， 其中： 1 2 2 2 2 1 lim [ ] T T U T s U A rm rm T s + = + = →− rm rm jtg T s j e j T U s j T s T U B 1 2 1 1 ] )( ) 1 ( lim [ 2 2 − − → + = + + = rm rm jtg T s j e j T U s j T s T U C 1 2 1 1 ] )( ) 1 ( lim [ 2 2 − + = − + − = →− s j e T j U T s T T U U s rm rm jtg T c + − + + + = − − 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 - s j e w T j Urm jtg T + + − 1 2 1 1 1 2 2 j e e T U e T T U u t j t tg T j t tg T T rm t rm c 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 − − − − − − − + + + = sin( ) 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 t tg T T U e T TU u t T tm t rm c − − − + + + = R ur C c u
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法当t→。时，暂态分量→0，所以有：Urmsin(ot -tg'oT)= U.. sin(ot +.)1V1+0?T2用有效值表示：u,()=V2U,sinot，u.(0)= /2U, sin(o t+g.)U,1即U。所以有：U。=与。有关，是。的U,VI+0"T2V1+0°T?函数。且 0。-0,=9。-00=9。=-1g"oT -一也与。有关，也是。的函数U.1A(0)=-为RC网络的幅频特性因此称）统称频U.Vi+o°T2(の)=-,=。=-g"oT--为RC网络的相频特性率特性。A(0)40.7145:20.320.240.2A012345TTTT1p(o)4512.3T←TTT0G45-45*63.5"-71.5°76°78.7°-90°可见：3
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 3 当 t → 时，暂态分量 → 0，所以有： ( ) sin( ) sin( ) 1 1 2 2 cm c rm c t t tg T U t T U u t − = + + = − → 用有效值表示： u t U t r ( ) = 2 r sin ， ( ) c c c u (t) = 2U sin t + 所以有： 2 2 1 T U U r c + = ， 即 2 2 1 1 U T U r c + = ——与 有关，是 的 函数。 且 c r c c tg T 1 0 − − = − = = − ——也与 有关，也是 的函数 因此称 = − = = − − − − − − + = = − 为 网络的相频特性 为 网络的幅频特性 tg T RC RC U T U A c r c r c 1 2 2 ( ) 1 1 ( ) 统称频 率特性。 可见： ω T 5 T 4 T 3 T 2 T 1 1 0.71 0.45 0.32 0.24 0.2 0 A(ω) 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 0 45 0 63.5 0 71.5 0 76 0 78.7 0 90 0 45 - - - - - - - ω ()
《自动控制原理》第五章频域分折法-频率法当U,的の较低时，U。和U,的幅值几乎相等，相角迟后也不大。当の个→U。且迟后个。当の→8时，U。→0，迟后→90。这与电路中分析电容的容抗随变化而变化时得出结论一致。在电路中，U,ur,u,均为向量，ü,=u+u，因为它们既有幅值又有相角。而频率特性同样既有幅值A(o)，又有相角p(o)，因此，在复平面上构成了一个完整的向量：11g-loI+jeT1+ joTV1+0T?1+joTURU.它完整的描述了RC网络在正弦输入下稳态输出时电压幅值和相角随正弦信号的频率变化的规律。用Gua)表示：G(o)=1+Jar=4(o)<elc)一般系统: r(t)=Rsin(ot+p,),则c(0)=sin(ot+.)即 R(jo)= RZP,C(jo)=CLp.则 Cl)=C =-%2(0。-0,)= A(o)<0(o)=G(jo)R(jo)R,R所以，频率特性是输出、输入正弦函数用向量表示时之比，表示线性系统稳态下输出、输入正弦信号间的数学关系。定义：频率特性一一指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。二、频率特性和传递函数的关系：若有r(0),c(),则有 G(s)=C),R(s)4
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 4 容抗随 变化而变化时得出结论一致。 且 迟后 。当 时， ， 迟后 。这与电路中分析电容的 当 的 较低时， 和 的幅值几乎相等，相角迟后也不大。当 → → → → c c 0 c 90 r c r c U U U U U 在电路中， Ur UR Uc Ur UR Uc 均为向量， = + , , ，因为它们既有幅值又有相 角。而频率特性同样既有幅值 A()，又有相角 () ，因此，在复平面上构成了 一个完整的向量： j T e j T e T j T j jtg T + = + = + + − − 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 它完整的描述了 RC 网络在正弦输入下稳态输出时电压幅值和相角随正弦 信号的频率变化的规律。用 G( j) 表示： () () = + = A j T G j 1 1 ( ) 一般系统： ( ) r r(t) = Rsin t + ， 则 ( ) ( ) c c t = sin t + 即 ( ) R r R j = ( ) C c C j = 则 ( ) ( ) () () ( ) A G j R C R C R j C j c r r c = − = = = ( ) 所以，频率特性是输出、输入正弦函数用向量表示时之比，表示线性系统 稳态下输出、输入正弦信号间的数学关系。 定义：频率特性——指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之 比对频率的关系特性。 二、频率特性和传递函数的关系： 若有 r(t),c(t)，则有 ( ) ( ) ( ) R s C s G s = ， • UR • UC • Ur • I
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法N(s)N(s)设G(s)=4D(s)(s- p.)(s- p,)..(s- p.)RoRo则R(s)=若r(0)= Rsin ot $2*0?(s- jo)(s+ jo)N(s)Ro:. C(s)= G(s)R(s) -(s- p)s- p.).(s- p,)(s- jo)(s+ jo)BB2C台s-p,s-jos+jo则c(0)="+Bejet+B,ei=1lim≥C,eP"→0，则有c,(0)=Bejan +B,e-jar对于稳定系统Ro=G(io)R.B, = lim G(s)-2js+jo→Ro=G(- jo)R.B, = lim G(s)-2.s-→jes-jo此时 G(jo)为复数。 :G(jo)=|G(jo)e/G(o), 假设G(jo)=A(a)e()则G(-jo)= 4(o)-nl0), 则 B=兴4(0)ev) ， B=-R A(o)e-10(0)2j2je [or+p(o)] - e-(or+(o)].. c (t)= R. A(o)= R. A(o)sin[ot + p(o))= CZp,(0)2j则有 A(o)%=G(jo)-正好是系统的幅频特性，R一正好是系统的相频特性。p(0)=ZG(jo)= P。-β,j=因此，有G(jo)‘G(s)s=j△说明：(1)频率特性只适用于线性定常系统，否则不能用拉氏变换，(2)上述理论在稳定前提下推出，如不稳定，则c,()不趋向于0，c(0)也不趋向于c,()，无法观察稳态响应。但理论上分析，系统的c,)总是可以分离出来的，5
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 5 设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) pn s p s p s N s D s N s G s − − − = = 1 2 若r(t) = Rsint ， ( ) ( )( ) 2 2 s j s j R s R R s − + = = 则 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 s j s j R s p s p s p N s C s G s R s − − − n − + = = s j B s j B s p C n i i i + + − + − = = 2 1 1 ( ) p t j t j t n i i c t C e B e B e i − = = + 1 + 2 1 则 。 对于稳定系统 lim 0 1 → = → n i p t i t i C e ， 则有 ( ) j t j t s c t B e B e − = 1 + 2 ( ) j G j R s j R B G s s j 2 1 lim ( ) 1 = + = → ， ( ) j G j R s j R B G s s j 2 1 lim ( ) 2 − = − − = → 此时 G( j) 为复数。 ( ) ( ) ( ) j G j G j G j e = ，假设 ( ) ( ) ( ) j G j = A e 则 ( ) ( ) ( ) j G j A e − − = ， 则 ( ) ( ) j A e j R B 2 1 = ， ( ) ( ) j A e j R B − = − 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( ) 2 ( ) c j t j t s R A t C j e e c t R A = + = − = + − + 则有 () G( j) R C A = ———正好是系统的幅频特性， ( ) ( ) c r = G j = − ——正好是系统的相频特性。 因此，有 ( ) G(s) j s s j G j ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ = = △ 说明： ⑴频率特性只适用于线性定常系统，否则不能用拉氏变换。 ⑵上述理论在稳定前提下推出，如不稳定，则 c (t) t 不趋向于 0，c(t) 也不趋向于 c (t) s ，无法观察稳态响应。但理论上分析，系统的 c (t) s 总是可以分离出来的
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法并不依赖于系统的稳定性。(3)由G(jo)=G(s)可知，它包含了全部动态的结构、参数及规律。虽然是一种稳态响应，但动态过程及其规律必在其中，故频率特性也是一种数模。三、正弦输入信号下。的计算：Ro在虚轴上不解析。所以，不能用终因为，当r(t)=Rsin ot时，R(s)?+0值定理求其e，此时可用频率特性法求。R例1.已知r@)=5sin2t,求e。11S+1解: @,(s)1S+21+Gk1+s+11+22V101+ jo..@.(jo)=2-tg-11Z(63.4-45)=0.79/18.4V2*+21g2+jo1..E(jo)=@.(jo)-R(jo)=0.79Z18.4°×5Z0°=3.95Z18.4g即e()=3.95sin(21+18.40)。 故有e=3.95。也可用e(t)=r()-c()先求C(jo)，但比较繁。四、频率特性的表示方法：（一）一般坐标特性曲线：A(o)和p()分开画，且横、纵坐标的刻度都是常用的线性刻度，例如上面RC网络的A(o)和β(o)曲线。4j（二）极坐标特性曲线：0. 51G(jo)= A(0)e j(a)以 A()为幅值,0=0g(o）为射角，在复平面上画出+の=0→8时的特性曲线。6
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 6 并不依赖于系统的稳定性。 ⑶由 G( j) = G(s) 可知，它包含了全部动态的结构、参数及规律。虽然是一种 稳态响应，但动态过程及其规律必在其中，故频率特性也是一种数模。 三、正弦输入信号下 ss e 的计算： 因为，当 r(t) = Rsint 时， 2 2 ( ) s + R R s 在虚轴上不解析。所以，不能用终 值定理求其 ss e ，此时可用频率特性法求。 例 1．已知 r(t) = 5sin 2t,求 ss e 。 解： ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = + = s s s G s k e ( ) − = − = + + = + + = − − (63.4 45 ) 0.79 18.4 4 10 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 tg tg j j j e E( j) = ( j) R( j) = 0.7918.4 50 = 3.9518.4 e 即 e(t) = 3.95sin(2t +18.4)。 故有 = 3.95 ss e 。 也可用e(t) = r(t)− c(t) 先求 C( j)，但比较繁。 四、频率特性的表示方法： （一）一般坐标特性曲线： A()和() 分开画，且横、纵坐标的刻度都是常用的线性刻度，例如上面 RC 网络的 A()和() 曲线。 （二）极坐标特性曲线： ( ) j G( j ) = A( )e 以 A() 为幅值， () 为射角，在复平面上画出 = 0 → 时的特性曲线。 R E 1 1 s + c - 0.5 1 0 j = 0 =
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法1-1g~0?例如：RC网络G(jo):V1+@°T2[A(0) =1(A() = 0此曲线也叫奈奎斯特曲线。0=00→00(0(0) = -900 : (p(0) = 00（三）对数频率特性曲线其横坐标表示@，按对数分度，单位一称[1ogの线性分度]。幅频中，表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位为分贝（db）纵坐标)表示: 2() = 20 1g 4()用2么(相频中，均匀分度，单位为度（°），仍用β（の）表示注意：轴不能取0，此曲线称为伯德图。4 L(0)或 (0)dbdeclogoO100. 10. 4410121倍频程（四）对数幅相特性曲线：将对数幅频特性和相频特性合并为一条曲线，横坐标为相频特性p(o)，纵坐标为对数幅频特性L(の），都为线性分数，の作为一个参变量标在曲线上相应点的旁边，此曲线称为尼柯尔斯图。85-2典型环节的频率特性A() A、典型环节的频率特性k（一）比例环节：0G(s)= kp(o)4G(jo)= k = kero000A
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 7 例如：RC 网络 jtg T e T G j 1 2 2 1 1 ( ) − − + = = = = (0) 0 (0) 1 0 A = − = → ( ) 90 ( ) 0 A ； 此曲线也叫奈奎斯特曲线。 （三）对数频率特性曲线： 其横坐标表示 ，按对数分度，单位—— 秒 1 [ log 线性分度]。 纵坐标 ( ) ( ) = 相频中，均匀分度，单位为度（ ），仍用 （ ）表示 用 表示： 幅频中，表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位为分贝（ ） . 20 lg A( ) db 注意： 轴不能取 0，此曲线称为伯德图。 （四）对数幅相特性曲线： 将对数幅频特性和相频特性合并为一条曲线，横坐标为相频特性 () ，纵 坐标为对数幅频特性 L() ，都为线性分数， 作为一个参变量标在曲线上相应 点的旁边，此曲线称为尼柯尔斯图。 §5-2 典型环节的频率特性 一、典型环节的频率特性 （一）比例环节： G(s) = k ( ) j0 G j = k = ke A() k 0 () 0 0 0 0.1 0.4 1 2 4 10 0 1 L()或 () db -1 1 倍 频程 dec log
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法1、一般坐标：4jA(o)=k一一与の无关，直线，不衰减kp(0)=0°——与无关，不迟后12、极坐标：G(jo)= kevoL(o)db4就是实轴上的一个点(k，jO)。20lgk3、对数坐标：00L(o)= 20lgk , g(o)= 00p(0)000（二）积分环节：A(0)1e~/900，G(jo)=-G(s)= sjoの1、一般坐标：00A(o)=二(双曲线)p(o)000①g(@)=-90(与0无关)2、极坐标：9001e~/900G(jo)= -400个A(0) = 00①0=0(p(0)= -90°微分A(0) = 00②0=8(g(∞)= -90°0T沿虚轴从无穷远处指向原点。积分3、对数坐标：1L(o)= 20lg=-20lg008
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 8 1、一般坐标： A() = k — —与无关，直线，不衰减 (0) = 0 — —与无关，不迟后 2、极坐标： ( ) j0 G j = ke 就是实轴上的一个点(k，j0)。 3、对数坐标： L() = 20lg k ，() = 0 （二）积分环节： ( ) s G s 1 = ， ( ) − = = 1 1 j90 e j G j 1、一般坐标： ( ) ( ) 1 双曲线 A = () = −90(与无关) 2、极坐标： ( ) − = 1 j90 G j e ① ( ) = − = = 0 90 (0) 0 A ② ( ) = − = = 90 ( ) 0 A 沿虚轴从无穷远处指向原点。 3、对数坐标： ( ) 20lg 1 L = 20lg = − 0 k j 20lg k 0 L() db () 0 0 A() 0 0 90 () 0 0 0 j 微分 积分
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法0= 0.1,L(@)=20db = 1, L(0) = 0dbL(o)db[@ =10,L(@)= -20db20[-20][+20]微分每十倍频程下降20db，是一条斜率00为[-20]的直线。g()=-90°与0无关。0. 110积分（三）微分环节：-20G(s)= s微分环节p(o)G(jo)= jo = 0e/90微分9001、一般坐标：10000. 1101A(）=0是一条45°直线积分 90°g(0)=90(与0无关)A(0)个2、极坐标：G(jo)= 0e/90从原点向虚轴正方向无限延伸，0Wp(o)与积分环节相加形成虚轴。9003、对数坐标：L(o)=20g0000@ = 0.1, L() = -20db一阶微分0 = 1, L(0) = 0dbLAd,[=20] @ = 10, L(の) = 20db100-0116p(o)=90°与无关.与积环互为镜像。-20 （四）惯性环节：[20]1惯性G(s) =-40Ts+1'11-60to-loG(jo):I+joTVI+o'Tp(w)101000.1-I71TT001、一般坐标：参考RC网络02、极坐标：参考RC网络3、对数坐标：L()=-20lgV1+α*T29
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 9 = = − = = = = L db L db L db 10, ( ) 20 1, ( ) 0 0.1, ( ) 20 每十倍频程下降 20db，是一条斜率 为[-20]的直线。 () = −90与无关。 （三）微分环节： 微分环节 ( ) ( ) = = = j90 G j j e G s s 1、一般坐标： A() = 是一条45直线 () = 90(与无关) 2、极坐标： ( ) = j90 G j e 从原点向虚轴正方向无限延伸， 与积分环节相加形成虚轴。 3、对数坐标： L() = 20lg = = = = = = − L db L db L db 10, ( ) 20 1, ( ) 0 0.1, ( ) 20 () = 90与无关.与积环互为镜像.。 （四）惯性环节： G(s) 1 1 + = Ts ， jtg T e j T T G j 1 2 2 1 1 1 1 ( ) − − + = + = 1、一般坐标：参考 RC 网络 2、极坐标：参考 RC 网络 3、对数坐标： ( ) 2 2 L = −20lg 1+ T () 0 90 0 0 A() 0 ω T 100 T 10 T 1 T 0.1 0 20 40 60 - - - − 20 + 20 惯性 一阶微分 L db T 0.1 T 1 T 10 T 100 (w) 0 − 90 − 45 微分 0 0.1 1 10 积分 L() db [-20] [+20] 20 -20 0 90 () 0 0 0 90 - 微分 积分 0.1 1 10
《自动控制原理》第五章频域分析法-频率法L=-0.04db1010T@=-5.701 L = -3db0(p=-45°T10[L=-20.04db0:Tp=-84.30100 {L=-40db0T(p=-89.40[L从0→-odb可见从0°→90°0.5.79且做p曲线对-45°奇对称。-84.3°=-90°-(-5.70)2★实用中采用渐近线：①当=时，即T>>时,L()=-20lgTT1,L= Odb0=T10则有：为[-20]直线,L =-20db0=100-40dbL0=T1故渐近线由两段组成，以=！为转折点，最大误差为3db，0:TT六变化，但(@)渐近线形状不变，只左右移动。转折频率。T改变时，の=2（五）一阶微分环节：A(0)44G(s)= Ts +13G(jo)=1+ joT=/1+α?T2ejg"or211、一般坐标：00p(0)A(0)=/1+α?T2 ——从1→89000(α)=tgT ——从0° → 90°2、极坐标：4500010
《自动控制原理》 第五章 频域分析法-频率法 10 = − = − = = − = − = = − = − = = − = − = 89.4 100 40 84.3 10 20.04 45 1 3 5.7 0.04 10 1 L db T L db T L db T L db T 可见 → → − 0 90 0 从 从 L db 且 故 ( )曲线对 − 奇对称 = − = − − − = − 45 84.3 90 ( 5.7 ) 10 5.7 0.1 T T 。 ★实用中采用渐近线： ① T L( ) db T 1 , 20lg1 0 1 当 时，即 时 = − = ② T L( ) T T 1 , 20lg 1 当 时，即 时 = − 则有： 为[ 20]直线 , 40 100 , 20 10 , 0 1 − = = − = = − = = L db T L db T L db T 故渐近线由两段组成，以 T 1 = 为转折点，最大误差为 3db， T 1 = —— 转折频率。T 改变时， T 1 = 变化，但 L() 渐近线形状不变，只左右移动。 （五）一阶微分环节： G(s) = Ts +1 jtg T G j j T T e 1 2 2 ( ) 1 1 − = + = + 1、一般坐标： ( ) = → = + → − 0 90 ( ) 1 1 1 2 2 — —从 — —从 tg T A T 2、极坐标： T 1 T T T T 2 3 4 5 0 1 2 3 4 A() 0 90 () 0 45 0