高等数学基础棋报愿 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数(x)的定义拔为(-，+)，则函数(x)-(-x)的图形关于()对称. 》y=x (国x轴 C)y轴 D)坐标原点 2当x→0时，变量()是无穷小量 w 間知x x C)e'-1 3设fx=e,则im f0+A)-f=（) Ar 02e e @4 2 =() 0x2) ou (D)xf(x'dx 5下列无穷限积分收敛的是(). Wf"e'dr 国e o厂 m广a 二、填空题〔每小题3分，共15分) 1函数y= 9- 的定义域是」 In(x-1) x-1x>0 2函数y■ 的间断点是 smxx≤0 3曲线fx)=V金+1在(1,2)处的切线斜率是」 1
1 高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1.设函数 f (x) 的定义域为 (−,+) ，则函数 f (x) − f (−x) 的图形关于（ ）对称． (A) y = x (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当 x →0 时，变量（ ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x sin x (C) e −1 x (D) 2 x x 3.设 x f (x) = e ，则 = + − → x f x f x (1 ) (1) lim 0 （ ）． (A) 2e (B) e (C) e 4 1 (D) e 2 1 4. = xf x x x ( )d d d 2 （ ）． (A) ( ) 2 xf x (B) f (x)dx 2 1 (C) ( ) 2 1 f x (D) xf(x )dx 2 5.下列无穷限积分收敛的是（ ）． (A) + 0 e dx x (B) + − 0 e dx x (C) + 1 d 1 x x (D) + 1 d 1 x x 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1.函数 ln( 1) 9 2 − − = x x y 的定义域是 ． 2.函数 − = sin 0 1 0 x x x x y 的间断点是 ． 3.曲线 f (x) = x +1 在 (1, 2) 处的切线斜率是 ．
4函数y=(x+)户+1的单调减少区间是」 5∫sn x)'dx= 三、计算题（每小题9分，共5分） 1.计算极限m sn 6x 0 sn 5x 2设y=如x+2 ,求y, 3设y=s功2e,求y, L设y=x)是由方程ycosx=e'确定的函数，求dy. 点计算不定积分「xc0s3d山r: 2+hxdx. 6计算定积分x 四、应用题（本题12分） 圆柱体上底的中心到下度的边沿的距离为，日当底半径与高分别为多少时，圆性体的 体积最大？ 五、证明题（本题4分） 当x>0到，证明不等式x>aanx, 2
2 4.函数 ( 1) 1 2 y = x + + 的单调减少区间是 ． 5. = (sin x) dx ． 三、计算题（每小题 9 分，共 54 分） 1.计算极限 x x x sin 5 sin 6 lim →0 ． 2.设 2 sin 2 x x y x + = ，求 y ． 3.设 x y sin e 2 = ，求 y ． 4.设 y = y(x) 是由方程 y y cos x = e 确定的函数，求 dy ． 5.计算不定积分 x cos 3xdx ． 6.计算定积分 e + 1 d 2 ln x x x ． 四、应用题（本题 12 分） 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的 体积最大？ 五、证明题（本题 4 分） 当 x 0 时，证明不等式 x arctan x ．
高等数学基础 机拟题答案 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.D 2C 3.B 4.A 5.B 二、填空题（每小题3分，木题共15分） 1.0,2U2,3到2x=032 4.(-,-1)反smx+c 三，计算圈（每小题6分，共54分） sn 6x sin 6x lim 1.解，m sn Ox lm 6.6x 6.66x6 sin 5x 5 sin 5.x 5 sin 5.x 5 m 5x 05x 2解：由导数四则运算法则得 y=偏x+2Yx-2smx+22_产c0sx+x22n2-2xsx-2x2 x005x+x2'n 2-2sinx-2 3解：y'=2e'sne'c0se'=e'sn2e") 4。解，等式两瑞求微分得 左瑞=d(ycosx)=yd(cosx)+cosy =-ysin xdY cosxdy 右端=de)=ey 由此得 -ysin xdx +cosxdy =e'dy 整理后得 =幼x ds cosx-e 及解：由分部积分法得 ∫xos3at=s3-sh3d =xs3x+,os3r+C 6解：由换元积分法阁
3 高等数学基础 模拟题答案 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1.D 2.C 3.B 4.A 5. B 二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1. (1, 2) (2, 3] 2. x = 0 3. 2 1 4. (−, −1) 5. sin x + c 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1. 解： 5 6 5 sin 5 lim 6 sin 6 lim 5 6 5 sin 5 6 sin 6 5 6 lim sin 5 sin 6 lim 0 0 0 0 = = = → → → → x x x x x x x x x x x x x x 2. 解：由导数四则运算法则得 4 2 2 4 2 (sin 2 ) 2 (sin 2 ) cos 2 ln 2 2 sin 2 2 x x x x x x x x x x x x y x x x x + − − = + − + = 3 1 cos 2 ln 2 2sin 2 x x x x x x x+ + − − = 3. 解： 2e sin e cose e sin( 2e ) x x x x x y = = 4. 解：等式两端求微分得 左端 = d( y cos x) = yd(cos x) + cos xdy = −y sin xdx + cos xdy 右端 y y y = d(e ) = e d 由此得 y x x x y y y − sin d + cos d = e d 整理后得 x x y x y y d cos e sin d − = 5. 解：由分部积分法得 x x x = x x − sin 3xdx 3 1 sin 3 3 1 cos3 d = x x + cos3x + c 9 1 sin 3 3 1 6. 解：由换元积分法得
2hr-e+h2+h动-a 四，应用题（本题12分》 解：如图所示，圆柱体高力与底半径r满足 2+r=P 柱体的体积公式为 V=ar'h 将r2=户-h2代入得 V=π(-h3h 求导得 ”=(-2h3+(2-h2》=-3动3) 令r=0将h=5, 并由此解出r= 51.即当底李轻r=61,喜h=51时， 3 3 圆柱体的体积最大 五，证明题（本思4分） 证明：设F闭-x一anx,则有F)=1-】=,产 “+x=+x图 当x>0时，F气x)>0,故F(x)单调增加，所以当x>0时有Fx)>F(O)=0,即 不等式x>arctan .x成立，证毕
4 = + + = + 3 2 e 1 e 1 d (2 ln )d(2 ln ) d 2 ln x x x u u x x 2 5 2 3 2 2 = = u 四、应用题（本题 12 分） 解：如图所示，圆柱体高 h 与底半径 r 满足 2 2 2 h + r = l 圆柱体的体积公式为 V r h 2 = π 将 2 2 2 r = l − h 代入得 V π(l h )h 2 2 = − 求导得 π( 2 ( )) π( 3 ) 2 2 2 2 2 V = − h + l − h = l − h 令 V = 0 得 h l 3 3 = ，并由此解出 r l 3 6 = ．即当底半径 r l 3 6 = ，高 h l 3 3 = 时， 圆柱体的体积最大． 五、证明题（本题 4 分） 证明：设 F(x) = x − arctan x ，则有 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 x x x F x + = + = − 当 x 0 时， F(x) 0 ，故 F(x) 单调增加，所以当 x 0 时有 F(x) F(0) = 0 ，即 不等式 x arctan x 成立，证毕． l