杭州电子科技大学：《大学物理》课程实验指导（基础物理）实验17 LRC串联电路

实验17LRC串联电路 【实验目的】 1堂握RC、RL和LRC串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法 2.用示波器观察RC、RL和LRC串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感 的电磁感应特性及振荡回路特点的理解和认识，理解电路时间常数π的物理意义： 3用实验的方法测量LRC电路的谐振须率，利用幅频曲线求出电路的品质因数Q值： 4进一步掌握示波器的使用方法： 【实验要求】 数 或RL组成串联电路 测最 当时间常数小于或大于方波的半周期 组成的串 程 、临界阻尼过程、过阻尼过程 注意方波的周期应远大于 LRC串联电路 的时党数. 3把正弦交流电U,输入到RC和RL组成的串联电路，测量电容和电阻两端的输出电压幅度 随U,的频率变化，分别测量10个频点。在同一时间轴下绘出幅频和相频的关系曲线，幅频 曲线的幅值用相对变化表示： 4.把正弦交流电U输入到LRC组成的串联电路时，测量各元件两端的输出电压幅度随U,的 项的关系曲线 会图要求同3.确定谐振率，计算品质因素，分别 【实验提示】 1.RC申联电路的暂态过程 在由电容C和电阻R组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程。图1为RC串 联电路。其中信号源用方波信号。在上半个周期内，方波电压+E,其对电容充电：在下半 个周期内，方波电压为零，电容对地放电。充电过程中回路方程为： RCdUc+Ue=E (1) d 由初始条件1=0时，U。=0,得解为 Uc=E(l-e 2) I,=R=Ee定 从Uc、UR二式可见，Uc是随时间t按指数函数规律增长，而电阻电压U.随时间t按指数 函数规律衰减，如图2中U-1、Uc-1及UR-1曲线所示

实验 17 LRC 串联电路 电阻、电容及电感是电路中的基本元件，由 RC、RL、LRC 构成的串联电路具有不同 的特性，包括暂态特性、稳态特性、谐振特性，它们在实际应用中都起着重要的作用。 【实验目的】 1.掌握 RC、RL 和 LRC 串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法； 2.用示波器观察 RC、RL 和 LRC 串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感 的电磁感应特性及振荡回路特点的理解和认识，理解电路时间常数 的物理意义； 3.用实验的方法测量 LRC 电路的谐振频率，利用幅频曲线求出电路的品质因数 Q 值； 4.进一步掌握示波器的使用方法； 【实验要求】 1.取不同参数的 RC 或 RL 组成串联电路，测量并描绘当时间常数小于或大于方波的半周期 时的电容或电感上的波形，计算时间常数并与理论值比较； 2.选择不同的 LRC 组成的串联电路，测量并描绘欠阻尼过程、临界阻尼过程、过阻尼过程 时电容上的波形，计算时间常数并与理论之比较。注意方波的周期应远大于 LRC 串联电路 的时间常数； 3.把正弦交流电Ui 输入到 RC 和 RL 组成的串联电路，测量电容和电阻两端的输出电压幅度 随Ui 的频率变化，分别测量 10 个频点。在同一时间轴下绘出幅频和相频的关系曲线，幅频 曲线的幅值用相对变化表示； 4.把正弦交流电Ui 输入到 LRC 组成的串联电路时，测量各元件两端的输出电压幅度随Ui 的 频率变化。绘出幅频和相频的关系曲线，绘图要求同 3.确定谐振频率，计算品质因素，分别 测量 20 个频点；取不同的电容两个进行测量并进行比较分析。 【实验提示】 1.RC 串联电路的暂态过程 在由电容 C 和电阻 R 组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程。图 1 为 RC 串 联电路。其中信号源用方波信号。在上半个周期内，方波电压+E，其对电容充电；在下半 个周期内，方波电压为零，电容对地放电。充电过程中回路方程为： C C dU RC UE dt   (1) 由初始条件t  0时， 0 UC  ，得解为 (1 ) t RC C t RC R UEe U iR Ee       (2) 从UC 、UR 二式可见，UC 是随时间 t 按指数函数规律增长，而电阻电压UR 随时间 t 按指数 函数规律衰减，如图 2 中U t  、U t C  及U t R  曲线所示

图1RC串联电路 在充放电过程中的回路过程为 RCd业+U。=0 ⊙ 由初始条件1=0时，U=E,得解为 Uc=Ee (4) Ug =iR=-Ee 从Uc、U二式可见，它们都是随时间t按指数函数规律衰减，式中的RC=t具有时间的 最纲，称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重要物理最。与时间常数π有关的 另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T,。表示在串联电路的充电过程中，电 容上的电压由0上升或下隆)至E2所需的时间。它同样反映了暂态过程的快慢程度，与x的 关系为： Ti2=rln2=0.693z (5) 图2RC串联电路充放电曲线 2.RL串联电路的舌态过程 将电感和电阻串联成的电路，与RC串联电路进行类似分析可得，L串联电路的时间 常数t及半衰期T2分别为： -a=0693r=0693 (6)】 儿电物态被的电路中，当适与开电时电上电清足的液分 LC4UE+RCdUc+Ue-E 2 dt 等式边同除以LC,并令 B=R/2L 0=LC

图 1 RC 串联电路 在充放电过程中的回路过程为 0 C C dU RC U dt   (3) 由初始条件t  0时，U E C  ，得解为 t RC C t RC R U Ee U iR Ee      (4) 从UC 、UR 二式可见，它们都是随时间 t 按指数函数规律衰减，式中的 RC  具有时间的 量纲，称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重要物理量。与时间常数 有关的 另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T1/2 。表示在串联电路的充电过程中，电 容上的电压由 0 上升(或下降)至 E/2 所需的时间。它同样反映了暂态过程的快慢程度，与 的 关系为： 1/2 T  ln 2 0.693   (5) 图 2 RC 串联电路充放电曲线 2.RL 串联电路的暂态过程 将电感和电阻串联成的电路，与 RC 串联电路进行类似分析可得，RL 串联电路的时间 常数 及半衰期T1/2 分别为： L R   ， 1/2 0.693 0.693 L T R    (6) 3.LRC 串联电路的暂态过程 在电感、电容和电阻串联成的电路中，当接通与断开电源时，电容上电压满足的微分 方程为： 2 2 C C C d U dU LC RC U E dt dt    (7) 等式边同除以 LC，并令 0 1 R L / 2 LC     (8)

则上式可化为 +200+ae=E (9 上式为一阻尼振荡方程，B为阻尼系数，为电路的個有频率。又由本过程的两个初始条 Uel=o:duc=o dt o (10) 所以上式最终解的形式取决于B和，的相对大小。下面就分三种情况给出结果： ()次阻尼 当B2-0时，称为过阻尼，其解为 eUB+7e"-(B-7e网 Uc=E-E 名 式中，7=VB-G。 (3)临界阻尼 当B-=0时，称为临界阻尼，其解为 Uc=E-E(1+Bt)e-A (13 当电路达到稳定后，突然撤去电源电动势(E0),电路的变化类似于充电过程。方程的 解也分为论 小的 方波源来代替 放电的条件是加阶越波且源内阻0，在实验中 我们可以用元内阻很 电路的时间常数就可以 上述三种情况下U。随时间t的变化如图3所示 欠阻尼 界阻居 图3LRC串联电路充、放电波形 4,RC、RL稳态电路 当把正弦交流电U,输入到RC(或RL)组成的串联电路时，电容或电阻两端的输出电压 U,的幅度及相位将随输入电压U,的频率而变化。在这样的回路中只要测得在不同输入频率 下的各元件的电压值，就可以得到幅频和相频的关系。 =g=g (14)

则上式可化为 2 2 2 2 0 0 2 C C C d U dU U E dt dt      (9) 上式为一阻尼振荡方程，  为阻尼系数，0 为电路的固有频率。又由本过程的两个初始条 件 0 0 0; 0 C C t t dU U dt     (10) 所以上式最终解的形式取决于  和0 的相对大小。下面就分三种情况给出结果： (1)欠阻尼 当 2 2 0    0 时，称为欠阻尼，其解为 (cos sin ) t U E Ee t t C         (11) 式中， 2 2      0 ，式(11)称为阻尼振荡解。 (2) 过阻尼 当 2 2 0    0 时，称为过阻尼，其解为 [( ) ( ) ] 2 tt t C E UE e e e r            (12) 式中， 2 2 0      。 (3)临界阻尼 当 2 2 0    0 时，称为临界阻尼，其解为 (1 ) t U E E te C      (13) 当电路达到稳定后，突然撤去电源电动势(E=0)，电路的变化类似于充电过程。方程的 解也分为三种情况。 以上讨论的充、放电的条件是加阶越波且源内阻=0。在实验中，我们可以用元内阻很 小的方波源来代替上述条件。只要方波的周期远大于电路的时间常数就可以。 上述三种情况下UC 随时间ｔ的变化如图 3 所示 图 3 LRC 串联电路充、放电波形 ４．RC、RL 稳态电路 当把正弦交流电Ui 输入到 RC(或 RL)组成的串联电路时，电容或电阻两端的输出电压 U0 的幅度及相位将随输入电压Ui 的频率而变化。在这样的回路中只要测得在不同输入频率 下的各元件的电压值，就可以得到幅频和相频的关系。 1 1 L R U L tg tg U R       (14)

1 (15) 5G振电路 示的是LRC串联电路。LRC串联电路的阻抗和相位差可通过矢量图的方法计算 因为通过各元件的电流是共同的。取电流矢量为水平基准，又由于各分电压与电流的相 差 0=0,9=π/2，g=-π/2 所以各元件的电压有效值为 Ug IZ IR,U IZ =I0L,Uc=IZc=I/0C (16) 总电压 =0+-F或U=R+(ol-C (17) 电路总阻抗为 Z=R+(OL-I (18) 电流与信号电压的位相差为 =i8- (19) R ◆ UL-Uc U p 0 0 图4LRC串联电路 2)谐振现象 从上述可知，当电压一定时，若电源频率满足 1 0,L 或a=元 (20) 则电路阻抗达到其极小值Z。=R,电路中，电流达到其极大值I=U/R,这种现象，称 为谐振现象，发生诺振时的频率称为振频率 f6-2πC (21) 利用上述关系式，可以得到串联谐振电路的阻抗工、电流I和位相差p=,一？随频率 变化的曲线，如图5所示，定性而言，由式(17)和(18)可以看出，低频时f0L, 容抗大于感抗，06，oL>1/oC,感抗大于容抗，p>0,此时总电压超前

1 1 1 ( ) C R U tg tg U CR       (15) 5.LRC 谐振电路 1)如图 4 所示的是 LRC 串联电路。LRC 串联电路的阻抗和相位差可通过矢量图的方法计算， 因为通过各元件的电流是共同的。取电流矢量 I 为水平基准，又由于各分电压与电流的相位 差为 0, / 2, / 2,  RL C       所以各元件的电压有效值为 , , / U IZ IR U IZ I L U IZ I C R LL CC        (16) 总电压 2 2 ( ) U U UU   R LC 或 2 2 1 U IR L ( ) C     (17) 电路总阻抗为 2 2 1 ZR L ( ) C     (18) 电流与信号电压的位相差为 1 1 1 L C R L U U C tg tg U R          (19) 图 4 LRC 串联电路 2) 谐振现象 从上述可知，当电压一定时，若电源频率满足 0 0 1 L C    或 0 1 LC   (20) 则电路阻抗达到其极小值 Z0  R ，电路中，电流达到其极大值 / mI U R ，这种现象，称 为谐振现象，发生谐振时的频率 0f 称为谐振频率 0 1 2 f  LC  (21) 利用上述关系式，可以得到串联谐振电路的阻抗 Z、电流 I 和位相差     u i 随频率 变化的曲线，如图 5 所示，定性而言，由式(17)和(18)可以看出，低频时 0 f  f , 1/C L  , 容抗大于感抗，  0 ，此时总电压落后于电流，整个电路呈电容性；谐振时，  0 ，整 个电路呈电阻性；高频时 0 f  f ，L C 1/ ，感抗大于容抗，  0 ，此时总电压超前

于电流，整个电路呈电感性。 3)谐振电路中的品质因数 aQ值的一种定义和电压分配 利用式I.=U/R,可以得到串联谐振电路中的电阻、电感和电容上的电压分别为 UR=I R=U U:=1Z1=ROL (22) Ue=I.Ze-RoC-U 谐振时电感上的电压U,与总电压U的比较，称为谐振电路的品质因数，用Q表示，即 Q=UL-Ol (23) U R 当总电压一定时，Q值越高，U,和U越大。Q值是一个标志谐振电路性能好坏的物理量。 0 -2 nfof: (a) (h) c 图5串联谐振电路的谐振曲线以及相位随频率的变化 b.谐振电路的频率选择性 谐振电路在无线电技术中最总要的应用是选择讯号。为了定量说明频率选择性的好坏 程度，通常规定在谐振峰两边1=(1/√2)1.处的频率宽度为通频带宽度△，如图5b)所 示，有 4f=5-f (24) 0==专 (25) 可以证明，谐振电路的通频带宽度△反比于谐振电路的Q值，即 (26) Q值越大，通频带宽度越小，谐振峰越尖锐。因此，Q值越大，谐振电路的频率选择性 就越好。 【实验仪器】 功常函数信号发生器、存储示波器、实验接线板、电阻、电容、电感、数字万用表、数字式 电容表、晶体管毫伏表等。 【问题与讨论】 1.在RC暂态过程中，固定方波的频率，而改变电阻的阻值，为什么会有不同的波形？而改 变方波的频率，会得到类似的波形吗？ 2.电容、电感均为储能元件，试从能量转换观点分析解释RLC阻尼振荡波形的原理及特点 3.在LRC暂态过程中，若方被的率很高或很低，能观察到阻尼振荡的波形吗？如何由阻

于电流，整个电路呈电感性。 3)谐振电路中的品质因数 a. Q 值的一种定义和电压分配 利用式 / mI U R ，可以得到串联谐振电路中的电阻、电感和电容上的电压分别为 0 0 1 R m L mL C mC L U IR U U U IZ L R U U IZ U R C         (22) 谐振时电感上的电压UL 与总电压U 的比较，称为谐振电路的品质因数，用 Q 表示，即 UL 0L Q U R    (23) 当总电压一定时，Q 值越高，UL 和UC 越大。Q 值是一个标志谐振电路性能好坏的物理量。 图 5 串联谐振电路的谐振曲线以及相位随频率的变化 b.谐振电路的频率选择性 谐振电路在无线电技术中最总要的应用是选择讯号。为了定量说明频率选择性的好坏 程度，通常规定在谐振峰两边 (1/ 2) m I  I 处的频率宽度为通频带宽度 f ，如图 5(b)所 示，有 2 1 f   f f (24) 1 2 () () 2 mI If If   (25) 可以证明，谐振电路的通频带宽度 f 反比于谐振电路的 Q 值，即 0f f Q   (26) Q 值越大，通频带宽度 f 越小，谐振峰越尖锐。因此，Q 值越大，谐振电路的频率选择性 就越好。 【实验仪器】 功率函数信号发生器、存储示波器、实验接线板、电阻、电容、电感、数字万用表、数字式 电容表、晶体管毫伏表等。 【问题与讨论】 1. 在 RC 暂态过程中，固定方波的频率，而改变电阻的阻值，为什么会有不同的波形?而改 变方波的频率，会得到类似的波形吗？ 2.电容、电感均为储能元件，试从能量转换观点分析解释 RLC 阻尼振荡波形的原理及特点； 3.在 LRC 暂态过程中，若方波的频率很高或很低，能观察到阻尼振荡的波形吗？如何由阻

尼振荡的波形来测最LRC电路的时间常数？ 4.在RC、RL电路中，当C或L的损耗电阻不能忽略不计时，能否用本实验测量电路中的 时间常数？ 5.根据LRC串联谐振的特点，在实验中如何判断电路达到了谐振 电压和相位关系如何？若将电容和电感接到示波器的X 【注音事项】 1应用各种仪器前，仔细查阅有关说明书和使用方法 2.各电路元件在测量时，接地点应于仪器的接地点一致

尼振荡的波形来测量 LRC 电路的时间常数？ 4.在 RC、RL 电路中，当 C 或 L 的损耗电阻不能忽略不计时，能否用本实验测量电路中的 时间常数？ 5.根据 LRC 串联谐振的特点，在实验中如何判断电路达到了谐振？ 6.串联谐振时，电路和电感上的瞬时电压和相位关系如何？若将电容和电感接到示波器的 X 和 Y 轴上，将看到什么现象？为什么？ 【注意事项】 1.应用各种仪器前，仔细查阅有关说明书和使用方法； 2.各电路元件在测量时，接地点应于仪器的接地点一致