第二课单自由度振动系统的自由振动 ●主要内容： ■单自由度系统构成 ■无阻尼自由振动 ■能量法等效质量/等效刚度 ■有阻尼自由振动 ■质量/刚度/阻尼的工程应用 ●1.1单自由度系统构成： ■离散振动系统由理想质量/弹簧/阻尼离散单元构成 ■离散单元之间由弹簧/阻尼相互连接构成整个振动系统 ■离散系统的自由度数决定了振动方程的数目 ◆判断自由度数不看质量、不看正方向，看独立坐标数目 ◆图1虽多根弹簧，感觉只是刚度大，对质量块建方程 ◆图2、3可以xy,不独立，所以只需对质量用角度建方程 ◆图4两个正方向，但对应力，是单自由度）、能量法
1 第二课 单自由度振动系统的自由振动 主要内容： 单自由度系统构成 无阻尼自由振动 能量法/等效质量/等效刚度 有阻尼自由振动 质量/刚度/阻尼的工程应用 1.1 单自由度系统构成： 离散振动系统由理想质量/弹簧/阻尼离散单元构成 离散单元之间由弹簧/阻尼相互连接构成整个振动系统 离散系统的自由度数决定了振动方程的数目 判断自由度数不看质量、不看正方向，看独立坐标数目 图 1 虽多根弹簧，感觉只是刚度大，对质量块建方程 图 2、3 可以 x/y,不独立，所以只需对质量用角度建方程 图 4 两个正方向，但对应力，是单自由度 图 5 两个质量，但无相对运动，还是单自由度 参数关系 直线和扭转振动，做惯性/恢复性/阻尼的力和力矩分析 确定力/力矩和独立坐标的函数关系 自变量一一对应，参数不一一对应，对应的意义也不同 振动的本质： 惯性、恢复性相互作用 运动至平衡位置，力为 0，惯性作用造成运动超越 引深：除了阻尼，以外还可变质量、变刚度减振 建立振动微分方程，关键：不断练习习题，强化力学功底 方法：力平衡（牛二、达朗伯）、能量法
◆牛二律：物体受合外力作用产生加速度，方向和合外力相 同，大小正比于合外力大小与惯性质量成反比。 ◆达朗伯原理：作用于物体的外力与动力的反作用之和等于 零。 ●1.2无阻尼自由振动 ■建立方程：平衡位置->正方向->惯性和惯性力->得方程 ■微分方程求解、特征方程两个称谓 ●13能量法/等效质量/等效刚度 ■能量法适用于能量无耗散系统 ■弹簧串联，牛三律>力相同，位移相加，力位移>刚度 ◆牛三律：两个物体之间的作用力和反作用力，总是同时在 同一条直线上，大小相等，方向相反 ■弹簧并联，位移相同，力相加，力/位移>刚度 ■弹簧不是图形上的弹簧，根据力的串并联定弹簧的串并联 ■讲例1，重点在推导，势能包括重力和弹性势能 ■讲例2，重点在推导，以及弹簧的等效质量问题 ■讲例3，重点在转动部分的动能解释 ■讲例4，重点在等效质量和等效刚度的比值关系 ■弹簧的刚度≠等效刚度！ ■对象的质量等效质量！ ■阻尼器阻尼+等效阻尼！
2 牛二律：物体受合外力作用产生加速度，方向和合外力相 同，大小正比于合外力大小与惯性质量成反比。 达朗伯原理：作用于物体的外力与动力的反作用之和等于 零。 1.2 无阻尼自由振动 建立方程：平衡位置->正方向->惯性和惯性力->得方程 微分方程求解 振动特征： 结构决定振动频率，单自由度的自由振动有唯一频率 初始条件（激励）和结构特征（固有频率）决定运动特征 由此才定义了固有频率、特征方程两个称谓 1.3 能量法/等效质量/等效刚度 能量法适用于能量无耗散系统 弹簧串联，牛三律->力相同，位移相加，力/位移->刚度 牛三律：两个物体之间的作用力和反作用力，总是同时在 同一条直线上，大小相等，方向相反 弹簧并联，位移相同，力相加，力/位移->刚度 弹簧不是图形上的弹簧，根据力的串并联定弹簧的串并联 讲例 1，重点在推导，势能包括重力和弹性势能 讲例 2，重点在推导，以及弹簧的等效质量问题 讲例 3，重点在转动部分的动能解释 讲例 4，重点在等效质量和等效刚度的比值关系 弹簧的刚度≠等效刚度！ 对象的质量≠等效质量！ 阻尼器阻尼≠等效阻尼！
●1.4有阻尼自由振动 ■阻尼来自：摩擦、电磁、粘弹（迟损）、辐射 ◆粘阻模型在方程中解耦便捷，表达简洁得到应用 ◆阻尼的类型很多，多通过实验确定函数特征，可能量等效 ■引入阻尼比？临阻是固有属性，阻尼比反映相对系统大小 ◆小阻尼：周期略增大，振幅按几何级数衰减，阻尼怎么测？ ◆临界阻尼：指数衰减*线性增加，最终还是衰减 ◆过阻尼情况：两项都指数衰减 ◆临界阻尼：定义了极限情况，该阻尼以下系统能够振动 ●1.5质量/刚度/阻尼的工程应用 ■不想振动传进去/出来，大吨位隔振基础。一方面，固有频率 特别低，且自由振动情况下只能按照固有频率振动：另外， 外界冲击产生的初始位移和速度必然很小，地基振动微弱： 最终，地基的低频微幅振动对高固有频率的振动系统的影响 极小。 ■汽车弹簧和减震器作用
3 1.4 有阻尼自由振动 阻尼来自：摩擦、电磁、粘弹（迟损）、辐射 粘阻模型在方程中解耦便捷，表达简洁得到应用 阻尼的类型很多，多通过实验确定函数特征，可能量等效 引入阻尼比？临阻是固有属性，阻尼比反映相对系统大小 小阻尼：周期略增大,振幅按几何级数衰减,阻尼怎么测？ 临界阻尼：指数衰减*线性增加，最终还是衰减 过阻尼情况：两项都指数衰减 临界阻尼：定义了极限情况，该阻尼以下系统能够振动 1.5 质量/刚度/阻尼的工程应用 不想振动传进去/出来，大吨位隔振基础。一方面，固有频率 特别低，且自由振动情况下只能按照固有频率振动；另外， 外界冲击产生的初始位移和速度必然很小，地基振动微弱； 最终，地基的低频微幅振动对高固有频率的振动系统的影响 极小。 汽车弹簧和减震器作用
●右图的理解 0国小理解<支格材料1) 理新1：这是个单自由度正足一由发3流？ mT络弹莹南侧有位州王，生年佩力 有：F:k以为) 对于m统上有长.C从掉要恤发力，和但尼功：1 下有珠装地其力，可从建名望 咳：亚心++k6-)】 的利收：很位M向下豆用X,k,长，的阿上佩 即么是k,(,)还是上，(-×)之 %动；k本k魅特暖（同州，力有）%如头长 函从多花红成受 m说=k4儿计CX-X) 这就完31 销3，天如了正向，内物上，弟血负号！日！遥心！ 湿解2：起果证解式二面肉戒子长，印x山有-阮生M, 例对到程： m,龙k(X) m,展兰极小，应有m,必，=0 7-k,(x)90. 以k,下不找质是人，X,气为具英同胆功，无相d三功 品人，不同4×必丝有力作用，所￡m,0 下=-kC0-为） 这才完了1
4 右图的理解
●达朗贝尔原理一动力学虚位移原理 达朗贝尔原理(DAlembert's principle)是求解约束系统动力学问题的一个 普遍原理，由法国数学家和物理学家J达朗贝尔于1743年提出。 达朗贝尔原理与牛顿第二定律相似，但其发展在于可以把动力学问题转化 为静力学问题处理，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学 的创立打下了基础。 达朗贝尔原理阐明，对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过 符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和等于零。或者说，作用于一个物体 的外力与动力的反作用之和等于零。受约束的非自由质点受有主动力F及约束 力FN,如果再加上虚构的惯性力F=一ma,则下式成立：F+FN+FI-O。即在质 点运动的任一时刻，主动力、约束力与惯性力构成平衡力系。 从数学上看，达朗贝尔原理只是牛顿第二运动定律的移项，但原理中却含 有深刻的意义。这就是通过加惯性力的办法将动力学问题转化为静力学问题。 亦即所有动力学中的定理通过引入惯性力的概念转化成静力学中的平衡关系， 而且求解过程中可充分使用静力学的各种解题技巧。一些动力学现象亦可从静 力学的观点作出简洁的解释。这就形成了求解动力学的静力学方法，简称动静 法。这种方法在工程技术中获得了广泛的应用。此外，在分析力学中，将被称 为静力学普遍方程的虚功原理与达朗贝尔原理相结合，就得到动力学普遍方程， 它是处理非自由质点系的最基本方程，是分析动力学的基础
5 达朗贝尔原理—动力学虚位移原理 —动力学虚位移原理 达朗贝尔原理（D'Alembert's principle）是求解约束系统动力学问题的一个 普遍原理，由法国数学家和物理学家 J.达朗贝尔于 1743 年提出。 达朗贝尔原理与牛顿第二定律相似，但其发展在于可以把动力学问题转化 把动力学问题转化 为静力学问题处理，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学 为静力学问题处理 的创立打下了基础。 达朗贝尔原理阐明， 达朗贝尔原理阐明，对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力 所有惯性力或施加的外力 所有惯性力或施加的外力，经过 符合约束条件的虚位移， 符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和等于零 所作的虚功的总和等于零 所作的虚功的总和等于零。或者说，作用于一个物体 作用于一个物体 的外力与动力的反作用之和等于零。 的外力与动力的反作用之和等于零。受约束的非自由质点受有主动力 F 及约束 力 FN，如果再加上虚构的惯性力 FI=－ma，则下式成立：F+FN+FI=0。即在质 点运动的任一时刻，主动力、约束力与惯性力构成平衡力系。 从数学上看，达朗贝尔原理只是牛顿第二运动定律的移项，但原理中却含 有深刻的意义。这就是通过加惯性力的办法将动力学问题转化为静力学问题 这就是通过加惯性力的办法将动力学问题转化为静力学问题 这就是通过加惯性力的办法将动力学问题转化为静力学问题。 亦即所有动力学中的定理通过引入惯性力的概念转化成静力学中的平衡关系， 亦即所有动力学中的定理通过引入惯性力的概念转化成静力学中的平衡关系， 而且求解过程中可充分使用静力学的各种解题技巧。一些动力学现象亦可从静 而且求解过程中可充分使用静力学的各种解题技巧 力学的观点作出简洁的解释。这就形成了求解动力学的静力学方法，简称动静 法。这种方法在工程技术中获得了广泛的应用。此外，在分析力学中，将被称 为静力学普遍方程的虚功原理与达朗贝尔原理相结合，就得到动力学普遍方程， 它是处理非自由质点系的最基本方程，是分析动力学的基础
●二阶常系数齐次线性微分方程 第八节常系数齐次线性微分方程 无讨论二阶客系数齐次线性微分方程的解法，群把二阶方程的解法推广到 中，如果yy的系数P(x、Q(r)均为常数，即（1)式成为 py 次性微分方程如果PQ不全为 由上节讨论可知，要找微分方程(2)的通解，可以先求出它的两个解为。 如米头席数，即与为线性无关，那么=C+C为肤是方程2)的酒 当，为君数时，指数雨数y”和它的各阶守数福 于指数函数有这个转点，因此我们用y一：“米会试 (r3+r+g)e"=0 由于。”0.所以 由此可见，只要，满足代数方程(3，两数y=心~就是微分方程(2)的解，我 的数及常数项好依次是 转征方程(3)的两个队r,r2可以用公式 出，它们有三种不问的情君： 们当P-4>0时，7是两个不相等的实根 n-pP40n=p-=44 )当-4幻-n时，是两个相等的实根。 r1=r2=-2: 其中 ▣=-多，=492 ew如+j-(a+w 6
6 二阶常系数齐次线性微分方程
相吃地，做分方程(2)的适解也有三种不同的情形，分别时论如下 作征方程有两个不相第的实国 由上黄的诗论知道了=心是微分方程红)的月个解，并且瓷 ”不是常数，因此微分方程(2)的通解为 这时，只得到微分方程(2)的一个解 为了得出微分方程(2)的通解，还需求出另一个解为，并且要求兰不是富 设(x),即为(x).下面来求() 将为求导，得 鼻和代人微分方程(2)，得 从而微分方程(2)的通解为 )特征方程有一对共复 形式为了得出实值数形式，我们先利 改写为 于值与为之间政共畅关系因，取它们的和除以2就得到 还是数分方程2)的解且兰一二是一不是指数，所以微分方程2的 解为 C,) ，2) 的适教给要智我分方82的转任为程 3 特任方程P+加+g-0的两个根，微分方程了中为十四=0的通解 7
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。什么是共振？ 书还上关于共振给出的定义为 系统受到外界激励产生的应表现为大恒喷的振动，此时外界励频幸与系统的国有振动率相 护清非常城诉 当结构的阳 度的振动，共振时，的振动常层，这将导数不可预样的行为. 结构的西有频车有很多阶，阶限什么有关系呢？在理解阶之前，要先理架与阶紧应相连的名 个转动白由度，一个连续体实际上有无穷多个白由度，有限元分析时烤连续的无穷多个自由度 蓝商前成为离的有限多个白由度的问题，此时，结构的白由度也就有限了，因此，一个白由度 阶固有率，像弹簧一质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。两白由魔系统有 最低阶固有须率，经常称为基频，跟结构的材质有关，材料科的质量或左度越大，结构的基须低 当中，越低阶回有领，热容易玻外界激起来，因而，虽然结构有无穷李阶回有频丰，但 用传器测量响应将与激动有关，同时会给出这些领率，就是激励所包含的频率成分，激励频 立是位于这个工作须范围之外，为了找到共振频，需题应用克励。 下图显示为一个测点的频，大的蜂值位于在250附近，在中增加一个单光标，精确的共振易 这装这
8 什么是共振？
有频率又分为无阳尼周有率和有阳尼同有，通常在振动教材中都会定义无阻尼有领率和 阻已固有频率，无姐它固车对应的是厦质量的平方根，有阻尼固有频率为无姐尼的固有 乘以(1阻尼比平方)的平方根，书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也 ,在没有特殊说明的情况下都是指有阳尼因有频率，因为现实中的构都是有阳尼的 率是指有阻尼面有须率，另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不 ,现实中的结构 比都小于10%，因此，阻尼对结构的国方频车的彩响是非常小的
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。惯性思维害死人 细杆OA可绕水平轴O转 动，如图所示，在静平衡时成 水平。杆端锤的质量为m,杆 与弹簧的质量均略去不计。 四棕奥小场动纵分程 m为+k0s0 对丝一下得了 m对>m9)→-儿9 05ka9 -rapc0今中+0=0 ®卓取杆士桌分 本 mg=kst 司：级链纠从力维吃3？ m对十k为=0 波错啊7 |6柜 园本履到八是平街程（达的顶从内境功生力） 此区内力知平街 J6-iM=a -Ltkar单a0→9+车P=o
10 惯性思维害死人