第三课单自由度振动系统的强迫振动 ●主要内容： ■强迫振动的振源可分别作用在质量和基础上，学习三种。 ■第一类强迫振动：幅相频特性 ■第一类强迫振动：单位谐函数法 ■第二类强迫振动：偏心激励 ■第三类强迫振动：基础运动 ■随处可见的共振现象 ●1.1第一类强迫振动：幅相频特性： ■强迫振动提供系统持续振动的能量。 ■强迫振动的振源形式多样，但均可处理为简谐激励的叠加。 ■研究简谐形式下，三种激励特征的强迫振动是基础 ■求解有阻尼强迫振动的特解， ◆初始条件无关稳态振动太武断，进一步求解 ◆强迫振动的解由三部分组成，第三、四项造成拍频。 ■第一类强迫振动： ◆质量上作用个激励，希望质量运动不要过于剧烈。 ◆位移共振的频率，略小于固有频率。 ◆激励频率略大于固有频率，才有可能实现减振效果。 ◆阻尼越大，减振效果越好。 ◆品质因子定义共振程度，可测阻尼大小。 ◆相位突变恰在固有频率，这是验证共振的重要特征。 ●1.2单位谐函数法 ■本质是把正弦激励转为复激励，设复振幅解，求输出相应。 ■H(ω)是单位复激励下复响应，单位化是频响。 ■频率响应，包括幅频和相频响应，是系统对不同频率单位正
1 第三课 单自由度振动系统的强迫振动 主要内容： 强迫振动的振源可分别 强迫振动的振源可分别作用在质量和基础上 作用在质量和基础上 作用在质量和基础上，学习三种。 第一类强迫振动：幅相频特性 第一类强迫振动：单位谐函数法 第二类强迫振动：偏心激励 第三类强迫振动：基础运动 随处可见的共振现象 1.1 第一类强迫振动：幅相频特性： 强迫振动提供系统持续振动的能量。 强迫振动的振源形式多样，但均可处理为简谐激励的叠加。 研究简谐形式下，三种激励特征的强迫振动是基础。 求解有阻尼强迫振动的特解， 初始条件无关稳态振动太武断，进一步求解 强迫振动的解由三部分组成，第三、四项造成拍频。 第一类强迫振动： 质量上作用个激励，希望质量运动不要过于剧烈。 位移共振的频率，略小于固有频率。 激励频率略大于固有频率，才有可能实现减振效果。 阻尼越大，减振效果越好。 品质因子定义共振程度，可测阻尼大小。 相位突变恰在固有频率，这是验证共振的重要特征。 1.2 单位谐函数法 本质是把正弦激励转为复激励，设复振幅解，求输出相应。 H(ω)是单位复激励下复响应，单位化是频响。 频率响应，包括幅频和相频响应，是系统对不同频率单位正
弦激励的响应特征，表征了系统的振动特性。 ●1.3第二类强迫振动：偏心激励 ■质量上作用个偏心转子激励，希望质量运动不要过于剧烈。 ■低频不振，中频共振与阻尼有关，高频等幅振动与阻尼无关。 ■希望系统固有频率远高于激励频率，这样才可能减振。 ●14第三类强迫振动：基础运动 ■质量上作用个激励力，希望质量运动不要过于剧烈， ■求解过程见 ●1.5随处可见的共振现象 ■共振原理的浅显理解 ■耳膜没有固定的震频吗？
2 弦激励的响应特征，表征了系统的振动特性。 1.3 第二类强迫振动：偏心激励 质量上作用个偏心转子激励，希望质量运动不要过于剧烈。 低频不振，中频共振与阻尼有关，高频等幅振动与阻尼无关。 希望系统固有频率远高于激励频率，这样才可能减振。 1.4 第三类强迫振动：基础运动 质量上作用个激励力，希望质量运动不要过于剧烈。 求解过程见 1.5 随处可见的共振现象 共振原理的浅显理解 耳膜没有固定的震频吗？
●求解振动问题为什么假设正弦解 回顾单自由度无阻尼自由振动方程的求解，由于位移的二阶导数 +A*位移自身等于0。若要恒成立，必然是位移二阶导数与自身具有相 同的形式。从这一角度考虑假设解的形式为三角函数叠加，或者指数函 数形式。到有阻尼强迫振动时，也可以类似设想。前提，任何激励都可 分解成简谐函数的叠加，因此只研究简谐函数激励即可。此时，左边是 位移，速度和加速度项之和，要向左侧和右侧恒成立，必然位移的二阶 导和一阶导与自身有相同的形式，于是，仍然可以假设为三角函数叠加， 或者指数函数形式。 另一方面，什么叫线性系统？就是满足线性和叠加性的系统。既然 满足线性，那么我激励是正弦的，输出必然也是正弦的，不然怎么满足 线性？ 3
3 求解振动问题为什么假设正弦解 回顾单自由度无阻尼自由振动方程的求解，由于位移的二阶导数 +A*位移自身等于 0。若要恒成立，必然是位移二阶导数与自身具有相 同的形式。从这一角度考虑假设解的形式为三角函数叠加，或者指数函 数形式。到有阻尼强迫振动时，也可以类似设想。前提，任何激励都可 分解成简谐函数的叠加，因此只研究简谐函数激励即可。此时，左边是 位移，速度和加速度项之和，要向左侧和右侧恒成立，必然位移的二阶 导和一阶导与自身有相同的形式，于是，仍然可以假设为三角函数叠加， 或者指数函数形式。 另一方面，什么叫线性系统？就是满足线性和叠加性的系统。既然 满足线性，那么我激励是正弦的，输出必然也是正弦的，不然怎么满足 线性？
●求解有阻尼强迫振动的特解 (k-mw)X=F。cosp coX=Fosino ·平方，开根号，求振幅 (k-max=Fcos c2arx2=F2sin2o (k-max2+cax2=Fo'sin+Fcoso (k-mai)+cax2=F2 F X=k-mw扩+6a ·相除，求初相位 (k-ma)X=F cos cax=Fosin coX (k-ma)x=tano o=tan"(k-mo) ·进一步引入阻尼比等 X= √k-mwyP+c2a Fo/k h-5o Fo/k h-,a证-aa门swa亦石 F/k u m品m号m合m
4 求解有阻尼强迫振动的特解 2 0 0 ( ) cos sin k m X F c X F ω φ ω φ − = = 平方，开根号，求振幅 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 ( ) cos sin ( ) sin cos ( ) ( ) k m X F c X F k m X c X F F k m c X F F X k m c ω φ ω φ ω ω φ φ ω ω ω ω − = = − + = + − + = = − + 相除，求初相位 2 0 0 2 1 2 ( ) cos sin tan ( ) tan ( ) k m X F c X F c X k m X c k m ω φ ω φ ω φ ω ω φ ω − − = = = − = − 进一步引入阻尼比等 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 1 1 0 2 2 ( ) 2 (1 ) (1 ) 1 (2 2 1 2 (1 ) tan ( ) 2 2 tan tan tan ( ) ( ) 1 n n n n n n n n n n F X k m c F k F k c m k k F k F k F k c k m c m k m k m ω ω ω ζ ω ω ζ ω ω ω ω ζ ω ω λ ζλ ω ω ω ζ ω ω ω ω ω φ ω ζ ω ζ ω ω ζ ω ω ω ω ω − − − − = − + = = − + − + = = = − + − + − + = − = = = − − − （ ） ） ( ) 1 2 2 2 = tan 1 n ζλ ω λ − −
●初始条件无关稳态振动太武断 x=Ce-cos@+Ce sin+ X sin a 1-+(262 x(0)=x0(0)= o=C C=0 =-S@.Cesu cos@1-@Ce so sin@t+ -5@Cze-sin @+@Ce-s cos@1+- )osa XO Xo =-50C,+0C3+ V1-'+(2 C,=玉+@ Xo @@@,V-+2 x=xe-5 cos@1+- X -sin @x -+(2 +玉+细玉 @V1-）+(259
5 初始条件无关稳态振动太武断 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 e cos e sin sin 1 2 (0) (0) e cos e sin e sin e cos cos 1 2 1 2 n n n n n n t t d d t t t t n d d d t t n d d d n d X x C t C t t x x x x x C C x x C t C t X C t C t t X C C C ζω ζω ζω ζω ζω ζω ω ω ω λ ζλ ζω ω ω ω ω ζω ω ω ω ω λ ζλ ω ζω ω λ ζλ − − = − − = − − = + + − + = = = = = − − + − + + − + = − + + − + = ɺ ɺ ɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 2 1 2 e cos sin 1 2 e sin 1 2 n n n d d d t d n t d d d d x x X X x x t t x x X t ζω ζω ζω ω ω ω ω λ ζλ ω ω λ ζλ ζω ω ω ω ω ω λ ζλ − − + − − + = + − + + + − − + ɺ
●位移共振频率 ·要最大，求导 贵晒凯-所刘 1 =20-+2[-2a-+25(5列 =2-+(2T[-1++2] e0=0 ->1=02 ->1-+(265=+o7 ->-1+2+25=01=V1-2
6 位移共振频率 要最大，求导 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/2 2 2 2 2 2 2 3/2 2 2 2 2 3/2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d 1 d 1 2 d d d 1 2 1 1 2 2 2 1 22 2 2 2 1 2 1 2 d 0 d 0? 1 2 ? 1 2 0 1 2 y y let λ ζλ λ λ λ λ ζλ λ ζλ λ λ ζ ζλ λ λ ζλ λ ζ λ λ λ ζλ λ ζ λ ζ − − − = = − + − + − = − + − − + = − − + − + + = −− > = −− > − + = +∞ −− > − + + = = −
·品质因子及阻尼测量 B-+p网 ■找半功率点对应的频率比 √2 1 1 V-'+(2g24g1-2y+28 （1-222+(2502=8521-22++4522=85 24+(452-2)22+1-852=0 =-45-2±V452-2-40-85 2 2-1-252±V454-452+1-1+85 12=1-252±25V52+1 ·一般情况下阻尼比均远小于1，略去二阶项 12=1-252+25V52+H1≈1+25 元2=1-252-25V52+1=1-29 12-12=45 (-.ma-a. 02 ->4-@=25 1 >
7 品质因子及阻尼测量 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 β λ ζλ = − + 找半功率点对应的频率比 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max hpow max 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 2 = = 2 2 4 1 2 1 1 = = 4 8 1 2 1 2 1 2 =8 1 2 4 =8 4 2 +1 8 0 4 2 4 2 4 1 8 2 1 2 4 4 1 1+8 1 2 2 +1 β β β ζ ζ λ ζλ ζ ζ λ ζλ λ ζλ ζ λ λ ζ λ ζ λ ζ λ ζ ζ ζ ζ λ λ ζ ζ ζ ζ λ ζ ζ ζ = − + − + − + − + + + − − = − − ± − − − = = − ± − + − = − ± 一般情况下阻尼比均远小于 1，略去二阶项 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 max 1 2 1 2 +2 +1 1+2 1 2 2 +1 1 2 =4 2 = 4 2 1 2 n n n n n n n λ ζ ζ ζ ζ λ ζ ζ ζ ζ λ λ ζ ω ω ω ω ω ω ω ω ζ ω ω ω ω ω ω ζ ω ω ω β ζ ω ω ω = − ≈ = − − ≈ − − + − − − ≈ = − −− > = = = = − ∆
●第二类强迫振动：偏心激励 M优+cx+kx=ne@sin@t M++kx mew'sinat let x=Ae M and substitute into above -0'MAe+jac Aei +k Ae =mea'ec -@MA+jaxA+kA=me@ （-dM+joc+k)A=meo2 m mea 4-0M+jox+k ew -@+jo5c+o M me me -1+j+= A=- M M OM R -1+j2M@+1 @M2 me A M me 12 -1+j23+ 1=M-元2+j25孔+1
8 第二类强迫振动：偏心激励 2 Mx cx kx me t ɺɺ ɺ + + = ω sinω ( ) 2 j 2 j j j 2 j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 sin let e and substitute into above e j e e e j j j j 1 1 2 1 j 1 j t t t t t n n Mx cx kx me t x A M A cA k A me M A cA k A me M c k A me m e A me M M c k c M me me A M M c M M M me A M ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ζ ω ω ω ζ ζ ω ω λ ω λ + + = = − + + = − + + = − + + = = = − + + − + + = = − + + − + + == ɺɺ ɺ 2 2 2 1 j2 1 1 j2 me M λ ζ λ ζλ λ λ = − + + − + +
●第三类强迫振动：基础运动 求+250，+0x=25@n少+oiy let y()=e,x(=H(@)eiw and substitute into above -@'H(@)e+j@25@,H(@)e+@H(@)e=25j@@e+@e （-a+jo250.+)H(o)=25joo,+d 25j0+1 H(o)= 0. .1+j252 +j025+1 1-2+j257 (0J 0 0路
9 第三类强迫振动：基础运动 ( ) 2 2 j j c c 2 j j 2 j j 2 j 2 2 2 2 2 2 let ( ) e , ( ) ( )e and substitute into above - ( )e j 2 ( )e ( )e 2 j e e - j 2 ( ) 2 j 2 j 1 1 ( ) = - j 2 1 n n n n t t t t t t t n n n n n n n n n n n x x x y y y t x t H H H H H H ω ω ω ω ω ω ω ζω ω ζω ω ω ω ω ω ζω ω ω ω ζ ωω ω ω ω ζω ω ω ζ ωω ω ω ζ ω ω ω ω ζ ω ω + + = + = = + + = + + + = + + + = + + ɺɺ ɺ ɺ 2 j c 2 j2 1- j2 1 j2 ( ) e 1- j2 t x t ω ζλ λ ζλ ζλ λ ζλ + + = +
●共振原理的浅显理解 作者：比的原理 链接：htps:/www.zhihu.com/question/22250270/answer/33961791 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 共振(resonance)是物理学上的一个运用频率非常高的专业术语，是指一物 理系统在特定频率下，比其他频率以更大的振幅做振动的情形：这些特定频率 称之为共振频率。在共振频率下，很小的周期振动便可产生很大的振动，因为 系统储存了动能。当阻力很小时，共振频率大约与系统自然频率或称固有频率 相等，后者是自由振荡时的频率。自然中有许多地方有共振的现象。人类也在 其技术中利用或者试图避免共振现象。一些共振的例子比如有：乐器的音响共 振、太阳系一些类木行星的卫星之间的轨道共振、动物耳中基底膜的共振，电 路的共振等等。 我们考察一些宏观物体，比如荡秋千。假设一个人荡秋千，另一个人推， 推的人只需每次秋千到达最高点的时候施加一点力，就可以把秋千荡的很高。 我们说，这样就制造了一个周期性摆动（大约频率为0.5Hz)。但是，如果推的 人乱推，妄图打破秋千的固有频率，结果只能是废了好大力但是荡不起来。这 个事实告诉我们一个道理：只需周期性的施加一点力，就可以维持一个很大振 幅的振动。前提是：施加力的频率必须符合这个系统本来的振动频率。为什么？ 因为这个系统存在者两种能量的周期性转化：重力势能和动能的不断转化使这 个系统一直保有一个很高的能量值。输入的能量（推力）很好的存储在这个系 统里。 这就是共振的基本原理：当外部输入的频率符合系统本身的振动频率，系 统就能很好的储藏能量，保持一个很大幅度的振幅。 0
10 共振原理的浅显理解 作者：比的原理 链接：https://www.zhihu.com/question/22250270/answer/33961791 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 共振(resonance）是物理学上的一个运用频率非常高的专业术语，是指一物 理系统在特定频率下，比其他频率以更大的振幅做振动的情形；这些特定频率 称之为共振频率。在共振频率下，很小的周期振动便可产生很大的振动，因为 系统储存了动能。当阻力很小时，共振频率大约与系统自然频率或称固有频率 相等，后者是自由振荡时的频率。自然中有许多地方有共振的现象。人类也在 其技术中利用或者试图避免共振现象。一些共振的例子比如有：乐器的音响共 振、太阳系一些类木行星的卫星之间的轨道共振、动物耳中基底膜的共振，电 路的共振等等。 我们考察一些宏观物体，比如荡秋千。假设一个人荡秋千，另一个人推， 推的人只需每次秋千到达最高点的时候施加一点力，就可以把秋千荡的很高。 我们说，这样就制造了一个周期性摆动（大约频率为 0.5Hz）。但是，如果推的 人乱推，妄图打破秋千的固有频率，结果只能是废了好大力但是荡不起来。这 个事实告诉我们一个道理：只需周期性的施加一点力，就可以维持一个很大振 幅的振动。前提是：施加力的频率必须符合这个系统本来的振动频率。为什么？ 因为这个系统存在着两种能量的周期性转化：重力势能和动能的不断转化使这 个系统一直保有一个很高的能量值。输入的能量（推力）很好的存储在这个系 统里。 这就是共振的基本原理：当外部输入的频率符合系统本身的振动频率，系 统就能很好的储藏能量，保持一个很大幅度的振幅