物理实验教程—近代物理实验 实验66永磁体磁场分布特性的有限元法模拟 在电磁学研究领域中，经典的理论分析方法只能求解简单问题的解析解，难以解决复 杂的电磁学问题。随着计算数学方法和计算机科学技术的进步，从20世纪60年代开始 电磁学的数值计算方法快速发展，逐渐形成了计算电磁学(computational electromagnetics,CEM)这一研究方法。在电磁学理论，数值方法和计算技术基础上建立 起来的计算电磁学已经广泛应用于研究电磁学理论和工程的复杂问题。在电磁学理论研 究方面，计算电磁学可为复杂理论研究提供高效的求解方法和可视化的计算结果，便于分 析、理解和认识电磁现象和作用规律。在电磁学工程研究方面，计算电磁学可解决复杂电 磁场工程的建模、仿真、优化和设计等问题。因此，计算电磁学在现代电磁理论和工程研 究中发挥着越来越重要的作用。 计算电磁学发展了多种数值计算方法，其中最成熟、最常用的三种方法为时域有限差 分法(finite-difference time-domain method,FDTD),有限元法(finite element method, FEM)和矩景法(method of moments,MoM)。时域有限差分法属于求解微分方程的时域 方法，采用时间步迭代法求解电磁场，具有内存消耗小、计算速度快和计算精度低的特点 主要适用于精细结构不多的电大尺寸问题的数值分析，特别适用于宽带问题的计算求解 有限元法属于求解微分方程的频域方法，采用微分矩阵法进行数值计算，需要同时求解和存 储整个区域内的电磁场，具有无条件稳定性、易求解复杂结构、计算精度高、内存消耗大、计 算速度慢的特点，主要适用于复杂结构的窄带问题的精确求解。矩量法属于求解积分方程 的频域方法，采用格林函数作为基函数求解电磁场，具有无条件收敛性、内存消耗小、计算精 度高、计算速度慢的特点，主要适用于含有精细结构的电小尺寸问题的精确求解。 通过本实验重点学习计算电磁学有限元法的基本原理，学会静磁场问题有限元法数 值模拟分析的实现方法和技术。 【实验目的】 (1)理解计算电磁学的基本概念和电磁场的基本数学模型。 (2)掌握计算电磁学有限元法数值分析的基本方法。 (3)掌握静磁场问题有限元法数值模拟的基本原理。 (4)学会用有限元法模拟计算水磁体磁场分布的基本方法和技术。 (⑤)学会永磁体磁场模拟计算结果的可视化处理分析方法。 【预习要求】 (1)什么是计算电磁学？电磁场的基本数学模型包括哪些方程？ (2)计算电磁学的基本思相是什么？ (3)有限元法数值计算的基本原理是什么？ (4)马蹄形永磁体磁场分布问题的物理模型和数学模型各是什么？ (⑤)用有限元法数值模拟水磁体磁场分布问题的基本流程有哪些 -332-
— ３３２ — 实验６Ｇ６ 永磁体磁场分布特性的有限元法模拟 在电磁学研究领域中,经典的理论分析方法只能求解简单问题的解析解,难以解决复 杂的电磁学问题.随着计算数学方法和计算机科学技术的进步,从２０世纪６０年代开始 电磁 学 的 数 值 计 算 方 法 快 速 发 展,逐 渐 形 成 了 计 算 电 磁 学 (computational electromagnetics,CEM)这一研究方法.在电磁学理论、数值方法和计算技术基础上建立 起来的计算电磁学已经广泛应用于研究电磁学理论和工程的复杂问题.在电磁学理论研 究方面,计算电磁学可为复杂理论研究提供高效的求解方法和可视化的计算结果,便于分 析、理解和认识电磁现象和作用规律.在电磁学工程研究方面,计算电磁学可解决复杂电 磁场工程的建模、仿真、优化和设计等问题.因此,计算电磁学在现代电磁理论和工程研 究中发挥着越来越重要的作用. 计算电磁学发展了多种数值计算方法,其中最成熟、最常用的三种方法为时域有限差 分法(finiteＧdifferencetimeＧdomain method,FDTD)、有限元法(finiteelementmethod, FEM)和矩量法(methodofmoments,MoM).时域有限差分法属于求解微分方程的时域 方法,采用时间步迭代法求解电磁场,具有内存消耗小、计算速度快和计算精度低的特点, 主要适用于精细结构不多的电大尺寸问题的数值分析,特别适用于宽带问题的计算求解. 有限元法属于求解微分方程的频域方法,采用微分矩阵法进行数值计算,需要同时求解和存 储整个区域内的电磁场,具有无条件稳定性、易求解复杂结构、计算精度高、内存消耗大、计 算速度慢的特点,主要适用于复杂结构的窄带问题的精确求解.矩量法属于求解积分方程 的频域方法,采用格林函数作为基函数求解电磁场,具有无条件收敛性、内存消耗小、计算精 度高、计算速度慢的特点,主要适用于含有精细结构的电小尺寸问题的精确求解. 通过本实验重点学习计算电磁学有限元法的基本原理,学会静磁场问题有限元法数 值模拟分析的实现方法和技术. 【实验目的】 (１)理解计算电磁学的基本概念和电磁场的基本数学模型. (２)掌握计算电磁学有限元法数值分析的基本方法. (３)掌握静磁场问题有限元法数值模拟的基本原理. (４)学会用有限元法模拟计算永磁体磁场分布的基本方法和技术. (５)学会永磁体磁场模拟计算结果的可视化处理分析方法. 【预习要求】 (１)什么是计算电磁学? 电磁场的基本数学模型包括哪些方程? (２)计算电磁学的基本思想是什么? (３)有限元法数值计算的基本原理是什么? (４)马蹄形永磁体磁场分布问题的物理模型和数学模型各是什么? (５)用有限元法数值模拟永磁体磁场分布问题的基本流程有哪些?
0 计算机模拟实验第6章 【实验原理】 一、电磁场求解的基本数学模型 电磁场的求解是电磁学理论研究和工程应用的基础。根据电磁学基本理论，在给定 求解区域、介质材料和激励源特性的条件下，计算出电磁场的场量在空间随时间的分布 可深入理解和分析电磁场的变化规律。宏观电磁现象的基本规律可表示为麦克斯韦方程 组(Maxwel'sequations),即 VXE-B (6-6-1) 7·D=0 v·B=0 式中，四个场矢量分别为电场强度E、磁感应强度B、电位移D和磁场强度H,两个源量分 别为电流密度矢量J和电荷密度ρ，t表示时间，V表示矢量微分算子(Del算子)。电磁场 场量之间的本构关系(constitutive relations)为： D-EE B=pH (6-6-2) J=YE 式中，介质的电磁参量分别为介电常数c、磁导率红和电导常y。 麦克斯韦方程组描述了场源（电荷和电流）激发电磁场的一般规律，而从全面分析电 磁场问题的需要出发，还常引用一个表征时变电荷与全电流密度之间关系的电流连续性 方程(current continuity equation),即电荷守恒定律(conservation law of charge): J+器=0 (6-6-3】 电磁场对电荷与电流的作用规律可表示为洛仑兹力公式(Lorentz force law),即 f=g(E十pXB (6-6-4) 式中，9和v分别为电荷电量和运动速度。 式(6-6-1)所示的麦克斯韦方程组是一个多重耦合、多变量的场矢量微分方程组， 般难以直接求解。为了处理场矢量的多重耦合问题，在均匀、各向同性、线性介质条件下， 由式(6-6-1)和式(6-6-2)可推导出在无源区域单一场矢量H,E,B和D所满足的齐次波 动方程为： ∂H 32H H-e-0 E-w器-e票-0 (6-6-5) -w-m-0 vD- -333-
— ３３３ — 【实验原理】 一、电磁场求解的基本数学模型 电磁场的求解是电磁学理论研究和工程应用的基础.根据电磁学基本理论,在给定 求解区域、介质材料和激励源特性的条件下,计算出电磁场的场量在空间随时间的分布, 可深入理解和分析电磁场的变化规律.宏观电磁现象的基本规律可表示为麦克斯韦方程 组(Maxwellsequations),即 Ñ×E＝－ ∂B ∂t Ñ×H＝J＋ ∂D ∂t ÑD＝ρ ÑB＝０ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï (６Ｇ６Ｇ１) 式中,四个场矢量分别为电场强度E、磁感应强度B、电位移D 和磁场强度H,两个源量分 别为电流密度矢量J 和电荷密度ρ,t表示时间,Ñ表示矢量微分算子(Del算子).电磁场 场量之间的本构关系(constitutiverelations)为: D＝εE B＝μH J＝γE ì î í ï ï ïï (６Ｇ６Ｇ２) 式中,介质的电磁参量分别为介电常数ε、磁导率μ 和电导率γ. 麦克斯韦方程组描述了场源(电荷和电流)激发电磁场的一般规律,而从全面分析电 磁场问题的需要出发,还常引用一个表征时变电荷与全电流密度之间关系的电流连续性 方程(currentcontinuityequation),即电荷守恒定律(conservationlawofcharge): ÑJ＋ ∂ρ ∂t ＝０ (６Ｇ６Ｇ３) 电磁场对电荷与电流的作用规律可表示为洛仑兹力公式(Lorentzforcelaw),即 f＝q(E＋v×B) (６Ｇ６Ｇ４) 式中,q 和v分别为电荷电量和运动速度. 式(６Ｇ６Ｇ１)所示的麦克斯韦方程组是一个多重耦合、多变量的场矢量微分方程组,一 般难以直接求解.为了处理场矢量的多重耦合问题,在均匀、各向同性、线性介质条件下, 由式(６Ｇ６Ｇ１)和式(６Ｇ６Ｇ２)可推导出在无源区域单一场矢量 H,E,B 和D 所满足的齐次波 动方程为: Ñ２H－μγ ∂H ∂t －με ∂２H ∂t２ ＝０ Ñ２E－μγ ∂E ∂t －με ∂２E ∂t２ ＝０ Ñ２B－μγ ∂B ∂t －με ∂２B ∂t２ ＝０ Ñ２D－μγ ∂D ∂t －με ∂２D ∂t２ ＝０ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï (６Ｇ６Ｇ５)
物理实验教程 一近代物理实 即使如此，单一场矢量的微分方程还对应若三个分量所措述的三个标量微分方程，即 在任一场点上待求的自由度有三个，在数值求解中计算量一般是非常大的。 为了有效地减少待求自由度，提高电磁场数值计算的效率，在计算电磁学中通常引入 和应用各种位函数来等价描述电磁场的基本规律。根据式(6-6-1)所示的麦克斯韦方程 组中B的散度方程和E的旋度方程，以及任意矢量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均 恒等于零，可引入矢量磁位A和标量电位，二者与场矢量B和E的关系为： B=VXA A E=-V- (6-6-6) 在均匀、各向同性、线性的绝缘介质条件下，取矢量磁位(magnetic vector potential) 和标量电位(electric scalar potential)的关系满足洛仑兹规范化条件(L.orenz gauge condi- ion),即 A+=0 (6-6-7) 由式(6-6-6)、式(6-6-7)以及式(6-6-1)~式(6-6-3)可推导出A和9满足的非齐次波 动方程为： (6-6-8) vr-m 式(6-6-8)称为达朗贝尔方程(D'Alembert'sequation)。洛仑兹规范化条件和达朗贝 尔方程一起构成了与麦克斯韦方程组等价的一个方程组。在静态场条件下，达朗贝尔方 程简化为泊松方程(Poisson's equation),无源静态场时则变为拉普拉斯方程(Laplace'sc quation) 基于场矢量的麦克斯韦方程组和位函数的波动方程给出了电磁场基本规律的共性数 学描述，属于数学模型中的泛定方程，即控制方程。但是，对于一个实际物理问题的求解 还必须给出描述所求解电磁场问题个性的数学方程，即定解条件。定解条件包括初始条 件和边界条件。控制方程和定解条件组成的完整数学模型对应于求解电磁场的一个实际 物理问题，在数学上就是一个有唯一稳定解的偏微分方程定解问题。 二、计算电磁学有限元法数值分析的基本方法 在计算电磁学中，以变分原理为基础的有限元法数值求解的基本思想是：将待求的偏 微分方程问题转化为相应的泛函变分问题，将连续的计算场域划分为互不重叠的有限个 离散单元，再将泛函变分问题离散为多元函数极值问题：通过求解函数极值问题的多元代 数方程组，获得待求偏微分方程问题的近似数值解。计算电磁学有限元法数值分析的基 本流程包括， (1)根据电磁学问题，建立简化的物理模型： (2)根据电磁学基本理论，结合物理模型，建立由控制方程和定解条件组成的数学 模型； (3)根据变分原理和数学模型，建立相应的泛函变分方程，将待求的偏微分方程定解 334
— ３３４ — 即使如此,单一场矢量的微分方程还对应着三个分量所描述的三个标量微分方程,即 在任一场点上待求的自由度有三个,在数值求解中计算量一般是非常大的. 为了有效地减少待求自由度,提高电磁场数值计算的效率,在计算电磁学中通常引入 和应用各种位函数来等价描述电磁场的基本规律.根据式(６Ｇ６Ｇ１)所示的麦克斯韦方程 组中B 的散度方程和E 的旋度方程,以及任意矢量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均 恒等于零,可引入矢量磁位A 和标量电位φ,二者与场矢量B 和E 的关系为: B＝Ñ×A E＝－Ñφ－ ∂A ∂t ì î í ïï ïï (６Ｇ６Ｇ６) 在均匀、各向同性、线性的绝缘介质条件下,取矢量磁位(magneticvectorpotential) 和标量电位(electricscalarpotential)的关系满足洛仑兹规范化条件(LorenzgaugecondiＧ tion),即 ÑA＋εμ ∂φ ∂t ＝０ (６Ｇ６Ｇ７) 由式(６Ｇ６Ｇ６)、式(６Ｇ６Ｇ７)以及式(６Ｇ６Ｇ１)~式(６Ｇ６Ｇ３)可推导出A 和φ 满足的非齐次波 动方程为: Ñ２A－με ∂２A ∂t２ ＝－μJ Ñ２φ－με ∂２φ ∂t２ ＝－ ρ ε ì î í ï ï ï ï (６Ｇ６Ｇ８) 式(６Ｇ６Ｇ８)称为达朗贝尔方程(DAlembertsequation).洛仑兹规范化条件和达朗贝 尔方程一起构成了与麦克斯韦方程组等价的一个方程组.在静态场条件下,达朗贝尔方 程简化为泊松方程(Poissonsequation),无源静态场时则变为拉普拉斯方程(LaplaceseＧ quation). 基于场矢量的麦克斯韦方程组和位函数的波动方程给出了电磁场基本规律的共性数 学描述,属于数学模型中的泛定方程,即控制方程.但是,对于一个实际物理问题的求解, 还必须给出描述所求解电磁场问题个性的数学方程,即定解条件.定解条件包括初始条 件和边界条件.控制方程和定解条件组成的完整数学模型对应于求解电磁场的一个实际 物理问题,在数学上就是一个有唯一稳定解的偏微分方程定解问题. 二、计算电磁学有限元法数值分析的基本方法 在计算电磁学中,以变分原理为基础的有限元法数值求解的基本思想是:将待求的偏 微分方程问题转化为相应的泛函变分问题,将连续的计算场域划分为互不重叠的有限个 离散单元,再将泛函变分问题离散为多元函数极值问题;通过求解函数极值问题的多元代 数方程组,获得待求偏微分方程问题的近似数值解.计算电磁学有限元法数值分析的基 本流程包括: (１)根据电磁学问题,建立简化的物理模型; (２)根据电磁学基本理论,结合物理模型,建立由控制方程和定解条件组成的数学 模型; (３)根据变分原理和数学模型,建立相应的泛函变分方程,将待求的偏微分方程定解
0 计算机模拟实验第6章 问题转换为等价的变分问题， (4)将场区域离散化，即将求解的场区域分制成有限个单元的集合： (⑤)选取单元基函数，离散泛函变分方程，建立有限元数值模型，即一组联立的代数 方程，一般称为有限元方程： (6)选取适当的数值计算方法，处理强制边界条件，求解有限元方程 (?)根据数值计算结果求解相关参数，绘制所需的物理量关系图像和曲线，分析总结 物理量的变化规律。 随着计算电磁学在科学研究和工程设计中的广泛应用，人们开发了许多商业的和开 源的电磁仿真分析软件。常用的以有限元法为主的商业软件有ANSYS,MSC, ABAQUS,COMSOL等，开源软件有FEniCS,Elmer FEM,FreeFEM等。电磁仿真分析 软件具有强大的数值计算功能以及前处理和后处理功能，可高效，方使地实现电磁学问题 的数值模拟分析。 三、永磁体磁场特性有限元法数值模拟的基本原理 水磁体作为一种重要的磁性材料，在电机工程、汽车工业、航空航天、信息通信、智能 测控、生物工程等领域有着广泛的应用。在水磁体的工程应用中准确掌握其磁场分布规 律是实现应用系统高性能优化设计的基础。但是，在工程问题中水磁体的磁场分布与磁 性材料、几何结构、空间介质、环境条件等特性密切相关，影响因素具有多样性和复杂性， 掌握其规律常需要采用计算电磁学方法来求解和分析。 1.物理模型与数学模型 本实验采用有限元法数值模拟研究空气中马蹄形水磁体的磁场分布问题，物理模型 如图6-6-1所示。根据对称性分析可知，在空间直角坐标系中马蹄形水磁体关于xy平面 对称、x平面反对称。因此，为了减少计算工作量，可选取整体几何结构对称性的1/4作 为模拟研究对象。 图6-6-1马蹄形水磁体磁场分布问题的物理模型 水磁体的磁场是静态无源场，由式(6-6-1)可推导出永磁体磁场的基本场方程为 (VXH=0 (6-6-9) 又·B=0 根据VXH-0可引入标量磁位函数(magnetic scalar potential)g。,使： 335
— ３３５ — 问题转换为等价的变分问题; (４)将场区域离散化,即将求解的场区域分割成有限个单元的集合; (５)选取单元基函数,离散泛函变分方程,建立有限元数值模型,即一组联立的代数 方程,一般称为有限元方程; (６)选取适当的数值计算方法,处理强制边界条件,求解有限元方程; (７)根据数值计算结果求解相关参数,绘制所需的物理量关系图像和曲线,分析总结 物理量的变化规律. 随着计算电磁学在科学研究和工程设计中的广泛应用,人们开发了许多商业的和开 源的电 磁 仿 真 分 析 软 件. 常 用 的 以 有 限 元 法 为 主 的 商 业 软 件 有 ANSYS,MSC, ABAQUS,COMSOL等,开源软件有 FEniCS,ElmerFEM,FreeFEM 等.电磁仿真分析 软件具有强大的数值计算功能以及前处理和后处理功能,可高效、方便地实现电磁学问题 的数值模拟分析. 三、永磁体磁场特性有限元法数值模拟的基本原理 永磁体作为一种重要的磁性材料,在电机工程、汽车工业、航空航天、信息通信、智能 测控、生物工程等领域有着广泛的应用.在永磁体的工程应用中准确掌握其磁场分布规 律是实现应用系统高性能优化设计的基础.但是,在工程问题中永磁体的磁场分布与磁 性材料、几何结构、空间介质、环境条件等特性密切相关,影响因素具有多样性和复杂性, 掌握其规律常需要采用计算电磁学方法来求解和分析. １．物理模型与数学模型 本实验采用有限元法数值模拟研究空气中马蹄形永磁体的磁场分布问题,物理模型 如图６Ｇ６Ｇ１所示.根据对称性分析可知,在空间直角坐标系中马蹄形永磁体关于xy 平面 对称、xz 平面反对称.因此,为了减少计算工作量,可选取整体几何结构对称性的１/４作 为模拟研究对象. 图６Ｇ６Ｇ１ 马蹄形永磁体磁场分布问题的物理模型 永磁体的磁场是静态无源场,由式(６Ｇ６Ｇ１)可推导出永磁体磁场的基本场方程为: Ñ×H＝０ {ÑB＝０ (６Ｇ６Ｇ９) 根据Ñ×H＝０可引入标量磁位函数(magneticscalarpotential)φm ,使:
物理实验教程 —近代物理实验 H=一Vga -6-10) 由式(6-6-2)、式(6-6-9)和式(6-6-10)可推导出标量磁位m满足拉普拉斯方程，即 72m=0 (6-6-11) 图6-6-1所示的马蹄形永磁体在x和yz平面边界上磁场与边界垂直，边界条件表 示为标量陵位恒定，可取标量曦位等于零，即零磁位边界条件：在xv平面边界上磁场与 边界相切，边界条件可用磁绝缘条件来描述，即标量磁位的法向导数等于零。因此，马蹄 形水磁体磁场分布定解问题的数学模型可表示为： 2g。=0 9m,=0 (6-6-12) =0 式中，1为x之和y:平面上的边界，s:为xy平面上的边界 2.等价的泛函变分问题 根据泛函变分原理(variational principle),可推导出标量磁位gm满足的拉普拉斯方 程式(6-6-11)对应的泛函变分方程为： FLg-(z.y.]-g[)°+)+(）门]dd-mim (6-6-13 式中，F[Pm(x,y,z)门为标量磁位函数。的泛函，3为任意给定的微小量实参数，min表 示最小值，V表示求解区域。式(6-6-13)有最小值，对应泛函变分应等于零，即 式中，6表示求函数的变分。 变分原理的应用使第二类边界条件(Neumann boundary condition)和第三类边界条 件(Robin boundary condition)在变分问题里已经包含在泛函达到极值的要求之中。求解 问题中不同介质分界面上的第二类和第三类边界条件在有限元法中自然满足，不需要另 行处理，因此只需要处理第一类边界条件(Dirichlet boundary condition),即必须在满足 第一类边界条件的函数中寻求变分问题的极值函数解。在有限元法中自然满足的第二类 和第三类边界条件常称为自然边界条件，需要处理的第一类边界条件则称为强制边界条 件。因此，式(6-6-12)所描述的马蹄形永磁体磁场的定解问题对应的等价变分问题可表 示为： c小-[)‘+)'+)]dyd-mm 9a1n=0 (6-6-15) 式(6-6-15)将式(6-6-12)所表示的微分方程定解问题转换为泛函变分求极值问题，即 在边界条件下求解满足泛函变分表达式(6-6-14)的标量磁位函数9=。 3。求解场区域离散化与有限元方程 在离散化变分方程(6-6-13)之前，需要先将连续的求解场区域分割为有限个离散单 336
— ３３６ — H＝－Ñφm (６Ｇ６Ｇ１０) 由式(６Ｇ６Ｇ２)、式(６Ｇ６Ｇ９)和式(６Ｇ６Ｇ１０)可推导出标量磁位φm 满足拉普拉斯方程,即 Ñ２φm ＝０ (６Ｇ６Ｇ１１) 图６Ｇ６Ｇ１所示的马蹄形永磁体在xz 和yz 平面边界上磁场与边界垂直,边界条件表 示为标量磁位恒定,可取标量磁位等于零,即零磁位边界条件;在xy 平面边界上磁场与 边界相切,边界条件可用磁绝缘条件来描述,即标量磁位的法向导数等于零.因此,马蹄 形永磁体磁场分布定解问题的数学模型可表示为: Ñ２φm ＝０ φm s１ ＝０ ∂φm ∂z s２ ＝０ ì î í ï ï ï ï ïï (６Ｇ６Ｇ１２) 式中,s１为xz 和yz 平面上的边界,s２为xy 平面上的边界. ２．等价的泛函变分问题 根据泛函变分原理(variationalprinciple),可推导出标量磁位φm 满足的拉普拉斯方 程式(６Ｇ６Ｇ１１)对应的泛函变分方程为: F[φm(x,y,z)]＝∫V β ２ ∂φm ∂x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂y æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂z æ è ç ö ø ÷ ２ é ë ê ê ù û ú údxdydz＝min (６Ｇ６Ｇ１３) 式中,F[φm(x,y,z)]为标量磁位函数φm 的泛函,β为任意给定的微小量实参数,min表 示最小值,V 表示求解区域.式(６Ｇ６Ｇ１３)有最小值,对应泛函变分应等于零,即 δ{F[φm(x,y,z)]}＝δ∫V β ２ ∂φm ∂x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂y æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂z æ è ç ö ø ÷ ２ é ë ê ê ù û ú { údxdydz} ＝０ (６Ｇ６Ｇ１４) 式中,δ 表示求函数的变分. 变分原理的应用使第二类边界条件(Neumannboundarycondition)和第三类边界条 件(Robinboundarycondition)在变分问题里已经包含在泛函达到极值的要求之中.求解 问题中不同介质分界面上的第二类和第三类边界条件在有限元法中自然满足,不需要另 行处理,因此只需要处理第一类边界条件(Dirichletboundarycondition),即必须在满足 第一类边界条件的函数中寻求变分问题的极值函数解.在有限元法中自然满足的第二类 和第三类边界条件常称为自然边界条件,需要处理的第一类边界条件则称为强制边界条 件.因此,式(６Ｇ６Ｇ１２)所描述的马蹄形永磁体磁场的定解问题对应的等价变分问题可表 示为: F[φm(x,y,z)]＝∫V β ２ ∂φm ∂x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂y æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ∂φm ∂z æ è ç ö ø ÷ ２ é ë ê ê ù û ú údxdydz＝min φm s１ ＝０ ì î í ï ï ïï (６Ｇ６Ｇ１５) 式(６Ｇ６Ｇ１５)将式(６Ｇ６Ｇ１２)所表示的微分方程定解问题转换为泛函变分求极值问题,即 在边界条件下求解满足泛函变分表达式(６Ｇ６Ｇ１４)的标量磁位函数φm . ３．求解场区域离散化与有限元方程 在离散化变分方程(６Ｇ６Ｇ１３)之前,需要先将连续的求解场区域分割为有限个离散单
计算机模拟实验第6章 元体的集合，即场区域离散化。离散单元体的形状原则上是任意的，一般取三角形、四边 形、四面体、六面体等有规则的形体。场区域离散化需要确定单元体的类型、形状、大小 布置、节点和数量，应注意的事项一般有：不同单元要在边界处相连，既不能相互分开，又 不能相互重叠：各单元只能在顶点处相交：各单元节点编号顺序应一致，常按逆时针方向 从最小节点号开始编号。场区域离散化一般可按照需求由有限元软件的前处理程序自动 完成。 场区域离散化后，建立有限元方程的基本思路是：先建立各单元的泛函变分表达式， 即单元特征式，再合成为所有单元的整体有限元方程，即代数方程组。 (1)单元特征式的建立。 设场区域离散为”个有限单元，在第个单元上根据所取单元体的形状，给出单元节 点坐标，选取适当的插值函数表示单元上待求标量磁位函数，即 p5=∑a0,(p)（e=1,2,.,ni=1,2,.,k) (6-6-16) 式中，i和k分别为第：个单元上的第i个节点和节点数量，e,(p)为单元上任一点p的 插值函数，：为待定系数。选取插值函数后，单元节点上标量磁位就可表示为由插值函 数确定的代数方程，即 -an.(p:) is-anw (p:) (6-6-17) ) 式中，插值函数，已经选定，单元节点p,的坐标也已知，但各节点标量磁位和待定 系数：是未知的。因此，插值函数的待定系数可用单元节点上标量磁位来表示为： u.-Cupi a-cwp (6-6-18) a.-cwgi 式中，C:为与坐标有关的系数，j表示节点坐标编号。由式(6-6-16)和式(6-6-18)可知，单 元上待求标量磁位函数与节点上标量磁位的关系可表示为： =Diee=1,2.nij=1.2.,k (6-6-19) 式中，D:为只与坐标和单元形状有关的特征量，称为单元形函数。每个单元形函数具有 337
— ３３７ — 元体的集合,即场区域离散化.离散单元体的形状原则上是任意的,一般取三角形、四边 形、四面体、六面体等有规则的形体.场区域离散化需要确定单元体的类型、形状、大小、 布置、节点和数量,应注意的事项一般有:不同单元要在边界处相连,既不能相互分开,又 不能相互重叠;各单元只能在顶点处相交;各单元节点编号顺序应一致,常按逆时针方向 从最小节点号开始编号.场区域离散化一般可按照需求由有限元软件的前处理程序自动 完成. 场区域离散化后,建立有限元方程的基本思路是:先建立各单元的泛函变分表达式, 即单元特征式,再合成为所有单元的整体有限元方程,即代数方程组. (１)单元特征式的建立. 设场区域离散为n 个有限单元,在第e个单元上根据所取单元体的形状,给出单元节 点坐标,选取适当的插值函数表示单元上待求标量磁位函数,即 φ e m ＝∑ k i＝１ aiwi(p) (e＝１,２,,n;i＝１,２,,k) (６Ｇ６Ｇ１６) 式中,i和k 分别为第e个单元上的第i个节点和节点数量,wi(p)为单元上任一点p 的 插值函数,ai 为待定系数.选取插值函数后,单元节点上标量磁位就可表示为由插值函 数确定的代数方程,即 φ e m１ ＝∑ k i＝１ aiwi(p１) φ e m２ ＝∑ k i＝１ aiwi(p２) ⋮ φ e mk ＝∑ k i＝１ aiwi(pk) ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï (６Ｇ６Ｇ１７) 式中,插值函数wi 已经选定,单元节点pi 的坐标也已知,但各节点标量磁位φ e mi和待定 系数ai 是未知的.因此,插值函数的待定系数可用单元节点上标量磁位来表示为: a１ ＝∑ k i＝１ C１iφ e mi a２ ＝∑ k i＝１ C２iφ e mi ⋮ ak ＝∑ k i＝１ Ckiφ e mi ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï (６Ｇ６Ｇ１８) 式中,Cji为与坐标有关的系数,j表示节点坐标编号.由式(６Ｇ６Ｇ１６)和式(６Ｇ６Ｇ１８)可知,单 元上待求标量磁位函数与节点上标量磁位的关系可表示为: φ e m ＝∑ k i＝１ De iφ e mj (e＝１,２,,n;i,j＝１,２,,k) (６Ｇ６Ｇ１９) 式中,De i 为只与坐标和单元形状有关的特征量,称为单元形函数.每个单元形函数具有
物理实验教程 一近代物理实验 的基本性质为 D:(p)=D(p),pEe单元 (6-6-20) b任e单元 Di(p)-1.i-j (6-6-21) 0,i≠j (2)有限元方程的建立。 根据式(6-6-13)和式(6-6-19)可表示出每个单元上对应的标量磁位泛函表达式为： F-F[] (6-6-22〉 将各单元上泛函合起来可表示出总体的泛函表达式为： F[g]-2F-2F[] (6-6-23) 为了求解对应的变分问题，由式(6-6-14)和式(6-622)可得： 6F[e]=aF=26F[e]=0 (6-6-24) 由于离散的插值函数为有限多个，故泛函极值问题可转换为多元函数极值问题。根 据多元函数极值理论，由式(6-6-23)可得： 5-2[g]-2- dg (6-6-25) 式中只有在单元节点上才不为0，各单元都有依于本单元节点上标量磁位值 的 ,并且可表示为矩阵表达式，即 aF(K)() (6-6-26) 式中，(K)为在单元上的系数矩阵。式(6-6-26)称为单元特征式。在单元特征式的基 础上可整理出式(6-6-25)对应的代数方程组，即有限元方程为： （9m】 K)9 -0 (6-6-27) 式中，i和j表示求解区域总体节点坐标编号，k为节点总数量，(K)为总体的系数矩阵。 4.有限元方程的求解与强制边界条件处理 求解代数方程组有许多方法，如高斯消元法、改进的平方根法，超松弛迭代法等。通 过求解有限元方程(6-6-27)可获得做分方程定解问题式(6-6-12)的数值解。无论选率那 一种方法求解都需要处理强制边界条件，即第一类边界条件。强制边界条件的处理方法 因求解代数方程组的方法而异。在用迭代法求解时，处理强制边界条件的方法比较简单 即凡遇到边界节点所对应的方程均不进行迭代运算，使该节点的标量磁位值始终为给定 的第一类边界条件值。 -338
— ３３８ — 的基本性质为: De i(p)＝ De i(p), p∈e单元 {０, p∉e单元 (６Ｇ６Ｇ２０) De i(pj)＝ １, i＝j {０, i≠j (６Ｇ６Ｇ２１) (２)有限元方程的建立. 根据式(６Ｇ６Ｇ１３)和式(６Ｇ６Ｇ１９)可表示出每个单元上对应的标量磁位泛函表达式为: Fe ＝F[φ e m] (６Ｇ６Ｇ２２) 将各单元上泛函合起来可表示出总体的泛函表达式为: F[φm]＝∑ n e＝１ Fe ＝∑ n e＝１ F[φ e m] (６Ｇ６Ｇ２３) 为了求解对应的变分问题,由式(６Ｇ６Ｇ１４)和式(６Ｇ６Ｇ２２)可得: δF[φm]＝∑ n e＝１ δFe ＝∑ n e＝１ δF[φ e m]＝０ (６Ｇ６Ｇ２４) 由于离散的插值函数为有限多个,故泛函极值问题可转换为多元函数极值问题.根 据多元函数极值理论,由式(６Ｇ６Ｇ２３)可得: ∂F[φm] ∂φmi ＝∑ n e＝１ ∂Fe ∂φmi é ë ê ê ù û ú ú ＝∑ n e＝１ ∂F[φ e m] ∂φmi { } ＝０ (６Ｇ６Ｇ２５) 式中, ∂Fe ∂φmi 只有在单元节点上才不为０,各单元都有依赖于本单元节点上标量磁位值φ e mi 的 ∂Fe ∂φmi ,并且可表示为矩阵表达式,即 ∂Fe ∂φmi ＝(Ke ij)(φ e m) (６Ｇ６Ｇ２６) 式中,(Ke ij)为在e单元上的系数矩阵.式(６Ｇ６Ｇ２６)称为单元特征式.在单元特征式的基 础上可整理出式(６Ｇ６Ｇ２５)对应的代数方程组,即有限元方程为: (Kij) φm１ φm２ ⋮ φmk æ è ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷÷ ＝０ (６Ｇ６Ｇ２７) 式中,i和j表示求解区域总体节点坐标编号,k 为节点总数量,(Kij)为总体的系数矩阵. ４．有限元方程的求解与强制边界条件处理 求解代数方程组有许多方法,如高斯消元法、改进的平方根法、超松弛迭代法等.通 过求解有限元方程(６Ｇ６Ｇ２７)可获得微分方程定解问题式(６Ｇ６Ｇ１２)的数值解.无论选择哪 一种方法求解都需要处理强制边界条件,即第一类边界条件.强制边界条件的处理方法 因求解代数方程组的方法而异.在用迭代法求解时,处理强制边界条件的方法比较简单, 即凡遇到边界节点所对应的方程均不进行迭代运算,使该节点的标量磁位值始终为给定 的第一类边界条件值
0 计算机模拟实验第6章 【实验内容】 一、基础性实验内容 (1)根据实验原理中马蹄形永磁体的物理模型，选定几何结构、电磁材料和边界条件 的特性参数，采用有限元法计算空间磁场分布，分析变化特征。 (2)在物理模型和特性参数保持不变的条件下，选取不同的单元形状和大小，离散化 求解场区域，研究单元形状和大小对磁场分布计算的影响，优化最佳的空间离散化方案。 (3)在最佳的空间离散化方案基础上，研究永磁体和空间介质的电磁材料参数对马 蹄形永磁体磁场分布特性的影响。 二、设计性实验内容 在结合现有模拟计算条件的基础上，采用有限元法模拟分析赫姆霍兹线圈的磁场分 布特征，探究线圈形状、半径，距离、励磁电流等因素对赫姆霍兹线圈磁场分布的影响，并 与理论计算结果对比分析。 【注意事项】 (1)有限元法数值分析的计算规模一般比较大，为了减小计算工作量，应先分析求解 问题的物理模型是否具备对称性，选取相应的对称部分进行数值建模和计算分析，以便大 大减小计算模型，缩短计算时间，提高收敛速度。 (2)在有限元法建模和分析中经常会涉及各种坐标系的概念，应清楚地理解这些坐 标系的概念和功用。常见的坐标系包括总体坐标系、局部坐标系、节点坐标系、单元坐标 系、结果坐标系等，其中总体坐标系和局部坐标系又可选取直角坐标系、柱坐标系或球坐 标系。 (3)有限单元体的划分是有限元法数值计算的关键，应综合考虑分析目的、结果精度 和计算效率的需求，合理选取单元体的类型，形状、大小，阶次，在相对合理的计算规模和 效率下获得求解问题的精确结果。 (4)有限元法数值分析的效果深受单元网格密度的影响，应根据分析处理对象不同 部位的实际要求，设置不同的单元网格密度，在几何变形、物理突变、材料变化、复杂边界 等地方适当加密单元网格，既提高计算的准确性，又保证计算的高效率 (⑤)尽管有限元法分析计算时只需要处理强制边界条件，但边界条件的合理选取对 获得正确的计算结果起着决定性作用，应重视选取和定义恰当的边界条件，特别要注意施 加对称边界条件和反对称边界条件的合理性。 (6)采用有限元法分析复杂电陵问题时，涉及的物理量类型和数量一般较多，在输入 各物理量参数时应注意保持物理量量纲的协调一致。 【思考与讨论】 (1)阐述计算电磁学有限元法数值分析的基本流程 (2)电磁场有限元法数值分析中微分方程定解问题、泛函变分问题和多元函数极值 问题三者之间有什么关系和差别？ (3)对于有源静电场标量电位函数的泊松方程问题，如何用有限元法离散化建立数 值模型？ -339—
— ３３９ — 【实验内容】 一、基础性实验内容 (１)根据实验原理中马蹄形永磁体的物理模型,选定几何结构、电磁材料和边界条件 的特性参数,采用有限元法计算空间磁场分布,分析变化特征. (２)在物理模型和特性参数保持不变的条件下,选取不同的单元形状和大小,离散化 求解场区域,研究单元形状和大小对磁场分布计算的影响,优化最佳的空间离散化方案. (３)在最佳的空间离散化方案基础上,研究永磁体和空间介质的电磁材料参数对马 蹄形永磁体磁场分布特性的影响. 二、设计性实验内容 在结合现有模拟计算条件的基础上,采用有限元法模拟分析赫姆霍兹线圈的磁场分 布特征,探究线圈形状、半径、距离、励磁电流等因素对赫姆霍兹线圈磁场分布的影响,并 与理论计算结果对比分析. 【注意事项】 (１)有限元法数值分析的计算规模一般比较大,为了减小计算工作量,应先分析求解 问题的物理模型是否具备对称性,选取相应的对称部分进行数值建模和计算分析,以便大 大减小计算模型,缩短计算时间,提高收敛速度. (２)在有限元法建模和分析中经常会涉及各种坐标系的概念,应清楚地理解这些坐 标系的概念和功用.常见的坐标系包括总体坐标系、局部坐标系、节点坐标系、单元坐标 系、结果坐标系等,其中总体坐标系和局部坐标系又可选取直角坐标系、柱坐标系或球坐 标系. (３)有限单元体的划分是有限元法数值计算的关键,应综合考虑分析目的、结果精度 和计算效率的需求,合理选取单元体的类型、形状、大小、阶次,在相对合理的计算规模和 效率下获得求解问题的精确结果. (４)有限元法数值分析的效果深受单元网格密度的影响,应根据分析处理对象不同 部位的实际要求,设置不同的单元网格密度,在几何变形、物理突变、材料变化、复杂边界 等地方适当加密单元网格,既提高计算的准确性,又保证计算的高效率. (５)尽管有限元法分析计算时只需要处理强制边界条件,但边界条件的合理选取对 获得正确的计算结果起着决定性作用,应重视选取和定义恰当的边界条件,特别要注意施 加对称边界条件和反对称边界条件的合理性. (６)采用有限元法分析复杂电磁问题时,涉及的物理量类型和数量一般较多,在输入 各物理量参数时应注意保持物理量量纲的协调一致. 【思考与讨论】 (１)阐述计算电磁学有限元法数值分析的基本流程. (２)电磁场有限元法数值分析中微分方程定解问题、泛函变分问题和多元函数极值 问题三者之间有什么关系和差别? (３)对于有源静电场标量电位函数的泊松方程问题,如何用有限元法离散化建立数 值模型?
物理实验教程一近代物理实验. (4)试结合马蹄形永磁体磁场的有限元法数值模拟，分析讨论有限单元体的形状和 大小对计算结果有哪些影响？ (5)试结合有限元法模拟实验结果，分析讨论马蹄形永磁体的磁场分布有哪些特征？ 【参考文献】 [1]单志勇.电磁场理论与计算[M们.北京：化学工业出版社，2019. [2]李朗如.工程电磁场数值计算理论分析[门.北京：中国电力出版社，2019. [3]金建铭.计算电磁学[M们.2版.北京：电子工业出版社，2018. [4幻盛新庆.计算电磁学要论[M们.北京：科学出版社，2018. [5]吕英华.计算电磁学的数值方法[M们.北京：清华大学出版社，2006. [6]王长清.现代计算电磁学基础[M门.北京：北京大学出版社，2005. 实验6-7液滴撞击壁面的有限体积法模拟 现代流体力学的研究方法有理论分析、实验研究和数值计算三种。从17世纪到19 世纪，流体力学理论在实验的基础上得到了极大的丰富和发展，人们建立了描述流体运动 的Navier-Stokes方程(N-S方程)。但是，N-S方程是非线性方程，实际流体流动非常复 杂，仅有极少数的问题可从理论上直接求出解析解或摄动解。另外，实验流体力学在经过 一段时间的发展后也受到了成本高、场地有限等因素的限制。因此，伴随着计算机科学与 技术的进步，第三种流体力学研究方法一计算流体力学(computational fluid dynamics, CFD)发展起来。计算流体力学是从20世纪50年代开始发展起来的一门交叉学科，涉及 流体力学、计算机科学与技术、偏微分方程理论、计算几何学、数值分析等。计算流体力学 的理论预测研究是在简单的几何模型下通过数值计算来发现流体流动的一些基本物理规 律和现象或者发展更好的数值计算方法。计算流体力学的工程预测研究则是通过直接构 建工程实际物理模型，开展流体流动数值模拟预测，为解决工程问题提供依据。计算流体 力学不仅可作为研究工具，而且可作为设计工具，在航空航天、船舶海洋、土木建筑、化工 冶金、工业制造、能源经济、环境保护、食品加工、生物医学、运动健康等各领域都有着广泛 的应用。 计算流体力学的数值计算方法主要包括有限差分法(finite difference method, FDM)、有限元法(finite element method,FEM)和有限体积法(finite volume method, FVM)等。通过本实验重点学习计算流体力学的基本理论模型以及有限体积法数值计算 的基本原理，学会多相流体流动数值模拟的OpenFOAM实现方法和技术。 【实验目的】 (1)理解计算流体力学的基本方法和数学模型。 (2)理解流体体积法追踪界面的基本原理。 —340-
— ３４０ — (４)试结合马蹄形永磁体磁场的有限元法数值模拟,分析讨论有限单元体的形状和 大小对计算结果有哪些影响? (５)试结合有限元法模拟实验结果,分析讨论马蹄形永磁体的磁场分布有哪些特征? 【参考文献】 [１] 单志勇．电磁场理论与计算[M]．北京:化学工业出版社,２０１９． [２] 李朗如．工程电磁场数值计算理论分析[M]．北京:中国电力出版社,２０１９． [３] 金建铭．计算电磁学[M]．２版．北京:电子工业出版社,２０１８． [４] 盛新庆．计算电磁学要论[M]．北京:科学出版社,２０１８． [５] 吕英华．计算电磁学的数值方法[M]．北京:清华大学出版社,２００６． [６] 王长清．现代计算电磁学基础[M]．北京:北京大学出版社,２００５． 实验６Ｇ７ 液滴撞击壁面的有限体积法模拟 现代流体力学的研究方法有理论分析、实验研究和数值计算三种.从１７世纪到１９ 世纪,流体力学理论在实验的基础上得到了极大的丰富和发展,人们建立了描述流体运动 的 NavierＧStokes方程(NＧS方程).但是,NＧS方程是非线性方程,实际流体流动非常复 杂,仅有极少数的问题可从理论上直接求出解析解或摄动解.另外,实验流体力学在经过 一段时间的发展后也受到了成本高、场地有限等因素的限制.因此,伴随着计算机科学与 技术的进步,第三种流体力学研究方法———计算流体力学(computationalfluiddynamics, CFD)发展起来.计算流体力学是从２０世纪５０年代开始发展起来的一门交叉学科,涉及 流体力学、计算机科学与技术、偏微分方程理论、计算几何学、数值分析等.计算流体力学 的理论预测研究是在简单的几何模型下通过数值计算来发现流体流动的一些基本物理规 律和现象或者发展更好的数值计算方法.计算流体力学的工程预测研究则是通过直接构 建工程实际物理模型,开展流体流动数值模拟预测,为解决工程问题提供依据.计算流体 力学不仅可作为研究工具,而且可作为设计工具,在航空航天、船舶海洋、土木建筑、化工 冶金、工业制造、能源经济、环境保护、食品加工、生物医学、运动健康等各领域都有着广泛 的应用. 计算流 体 力 学 的 数 值 计 算 方 法 主 要 包 括 有 限 差 分 法 (finitedifference method, FDM)、有限元 法 (finiteelementmethod,FEM)和 有 限 体 积 法 (finitevolumemethod, FVM)等.通过本实验重点学习计算流体力学的基本理论模型以及有限体积法数值计算 的基本原理,学会多相流体流动数值模拟的 OpenFOAM 实现方法和技术. 【实验目的】 (１)理解计算流体力学的基本方法和数学模型. (２)理解流体体积法追踪界面的基本原理