西北工业大学：《控制工程导论》第四章 根轨迹法（4-3）广义根轨迹和零度根轨迹

控制工程论 讲授:卢京潮 作者:周雪琴、张淤才 出版:西北工业火学出版社

控制工程导论 讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社

控制工程导论 本次鹬程作业 4-7,8 N口 RTHWESTERN P口 LY TECHNICAL UNIVERS工TY

控制工程导论 本次课程作业(25) 4 — 7, 8

绘制根轨迹的法则 1根轨迹的起点和终点 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性 法则3实轴上的根轨迹 法则4根之和 ∑=C(n-m≥2) 法则5渐近线 Pi 、(2k+1z n- 6分离点 P 7与虚轴交点ReD(jio)]=lmD(ao)=0 8出射角/入射角Σ∠(s-p;)-∑∠(s-2;)=(2k+1)x N口RTH山 ESTERN F口 LY TECHNICAL UNIVERS工TY

绘制根轨迹的法则 法则 5 渐近线 n m p z n i m j i i a      1 1  n m k a      (2 1) 法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 根之和   n i i C 1  ( n  m  2 ) 法则 6 分离点        m j j n i i 1 d p 1 d z 1 1 法则 7 与虚轴交点 法则 8 出射角/入射角 (2k 1)π m j 1 ) j ) (s z n i 1 i (s p            ReD( j)  ImD( j)  0

控制工程导论 (第25讲) §4根轨迹法 §4.1概述 §4.2绘制根轨迹的基本法则 §4.3广义根轨迹和零度根轨迹 §4.4系统性能分析与估算 N口 RTHWESTERN P口 LY TECHNICAL UNIVERS工TY

控制工程导论 （第 25 讲） §4.1 概述 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹和零度根轨迹 §4.4 系统性能分析与估算 §4 根轨迹法

控制工程导论 (第25讲) §4根轨迹法 43广义根轨迹和零度根轨迹 N口 RTHWESTERN P口 LY TECHNICAL UNIVERS工TY

控制工程导论 （第 25 讲） §4.3 广义根轨迹和零度根轨迹 §4 根轨迹法

②两业x大 §4.3广义根轨迹和委度根轨迹(1) §4.3.1广义根轨迹一除K之外其他参数变化时系统的根轨迹 例2系统开环传递函数G(s) (s+a)/4 1,s2(+Da=0→∞变化,绘制根轨迹;ξ=1时,(s)=? 解.(1)D(s)=s+s2+s+a=0 4 构造“等效开环传递函数”G(s) s3+s2+s/4s(s+0.5) ①实轴根轨迹:[-∞,0] 0.5 ②渐近线:n=-1/3q=±60°,180° 2 ③分离点: d dd+0.5 0.5 整理得:3d+0.5=0→d=-1/6 an=4d|d+0.5=2/27 5 ④与虚轴交点:D(S)=3+s2+s/4+a/4=0 Re[dojo]=-a2+a/4=0 ln[D(o)=-03+o/4=01a=1

§4.3 广义根轨迹和零度根轨迹 (1) 例2 系统开环传递函数 0 4 1 4 1 ( ) 3 2 解. (1) D s  s  s  s  a  ② 渐近线：  1 3  a  60 , 180  a ① 实轴根轨迹：[-∞,0] ( 1) ( ) 4 ( ) 2    s s s a G s ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? ③ 分离点： 0 0.5 1 2    d d 整理得： 3d  0.5  0  d  1 6 ④ 与虚轴交点： §4.3.1 广义根轨迹 — 除 K*之外其他参数变化时系统的根轨迹 3 2 2 * ( 0.5) 4 4 4 ( )      s s a s s s a 构造 “ 等效开环传递函数 ”G s 4 0.5 2 27 2 ad  d d   Re ( ) 4 0 2 D j    a  Im ( ) 4 0 3 D j       1 2 a  1 ( ) 4 4 0 3 2 D s  s  s  s  a 

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹门1 解.(2)ξ=1时,对应于分离点d,a2/27 a/4 (s+a)a=27(s+2 s(S+0.5) G(s) s(S+1) s(S+1) 0.5 S+ (S+ ①(S)= 2 2 s(S+1)+,(s+ (S+:)(s+ 27 0.5 h(t h(t) h(t) 单调收敛 振荡收敛 振荡发散 d 0.5 动态 o%=0 性能 s 稳定性 稳定 不稳定 稳态 4A 误差 g ess=

§4.3.1 参数根轨迹（1） 解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ( ) 4 1 ( ) 2 2 27 2        s s s s s s a G s a ) 3 2 ) ( 6 1 ( ) 27 2 ( 4 1 ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( ) 2 2         F  s s s s s s s s 2 * ( 0.5) 4 ( )   s s a G s

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹(2) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 5(S+26 s(+D),10绘制根轴 解I.D(s)=T+s2+615s+15990=0 (s2+615+15990)(s+27.7)(S+587.7) G(s)= d190 877 27760 ①实轴上的根轨迹:[-∞,5877],[-277,0] 60040 ②出射角:2×0-30=(2k+1)兀 6=±60°,180 600 ReD(ja)=-a2+15990=0 ③虚轴交点: Q=√15990=12645 mD(jo)=-To+6150=0r=615/15990=0.0385 ④分离点 3 d1=-40.5,d2=-1190√ dd+27.7d+5877 解根: d+27.7d+587 整理得:d2+1231d+47970=0 =0.00055

§4.3.1 参数根轨迹（2） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) 615 15990 0 3 2 解 I . D s  Ts  s  s   ② 出射角： 2 0  3  (2k  1)   60 , 180 ① 实轴上的根轨迹：[-∞,-587.7], [-27.7,0] ( 1) 615( 26) ( ) 2    s Ts s G s , T=0→∞, 绘制根轨迹。 ④ 分离点： 587.7 1 27.7 3 1     d d d 整理得： 1231 47970 0 2 d  d   解根： 40.5, 1190 d1   d2   0.00055 27.7 587.7 3     d d d Td 3 3 2 * ( 27.7)( 587.7) 1 ( 615 15990) 1 ( ) s s S T s s s T G s       ③ 虚轴交点： Re ( ) 15990 0 2 D j     Im ( ) 615 0 3 D j  T      15990  126.45 T  615 15990  0.0385

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹(3) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 615(S+26) T=0-∞,绘制根轨迹。 (Ts+1) 解∏.D(s)=Ts:2+s2+615+15990=0 G2(s) (s+277)(s+5877)(S+1) 400 ①实轴根轨迹:[-∞,5877],[-277,0 ②分离点:d=-1190 d|-190 5877 -27760 l000 600400200 T=0.00055 ③虚轴交点:/0=12645 400 T=0.0358 -600 ④入射角:0=±60°,180

§4.3.1 参数根轨迹（3） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) 615 15990 0 3 2 解II . D s  Ts  s  s   ④ 入射角：   60 , 180 ① 实轴根轨迹：[-∞,-587.7], [-27.7,0] ( 1) 615( 26) ( ) 2    s Ts s G s , T=0→∞, 绘制根轨迹。 ② 分离点： d  1190 Td  0.00055 ( 27.7)( 587.7)( 1) ( ) 3 * 2     s s Ts G s ③ 虚轴交点：   126.45 T  0.0358  s

②两业x大 §4.3广义根轨迹 §4.32零度根轨迹一系统实质上处于正反馈时的根轨迹 KII(s-zi) G(SH(S K(S-x1)…(S-zm) (s-D1)(S-p2)…(s-pn) (s-p)→ G(s) 1-G(S)H(S) H(s) G(S)H(S) K(S-x1)…(S-zm) +1 (S-P1)(s-p2)…(S-pn) G()H(S)-p-“-m/xxs-z Ks-x1|…s =1一模值条件 S-p ∠G(s)H(3)=∑∠(s-x)-∑4(-)=2kx一相角条件

§4.3 广义根轨迹              n j j m i i n m s p K s z s p s p s p K s z s z G s H s 1 1 * 1 2 1 * ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 1 2 1 *              n j j m i i n m s p s z K s p s p s p K s z s z G s H s   — 模值条件 — 相角条件 §4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 *        n m s p s p s p K s z s z G s H s            n j j m i G s H s s zi s p 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s F s 