冷轧薄板的板形调整——板形理论的非线性分割模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.04.011 北京铜铁学陕学报 1982年第4期 冷轧薄板的板形调整 1 板形理论的非线性分割模型 力学教研室乔端 压力加工教研室陈肖梅刘宝珩 摘 要 在四辊轧机上用液压弯辊装置控制冷轧薄板板形是一有效的方法。本文在对目 前国内外己有的理论计算模型进行分析研究的基础上，采用分割模型的受力分析， 考虑到摩擦、轧辊压扁、材料加工硬化、内应力、宽展等因素对轧制压力及板形的 影响，提出了板形计算的非线性分割模型。计算结果与实验结果进行了比较。通过 计算得到一系列工艺参数，可供现场生产中板形调整作参考。 符号说明 中 从辊边到轧辊第ⅰ个分割单元间的距离。 Y 工作辊与支承辊公共母线上任一点处的垂直位移。 工作辊与支承辊间单位长度上的接触压力。 q 工作辊与板材间单位宽度上的轧制压力。 q 无张力时板材单位宽度上的轧制压力。 平均单位轧制压力。 αb、a,支承辊与工作辊的影响系数。 Y(i)工作辊与支承辊表面间在位置x(i)处的间距。 D 轧辊直径。 Z(i) 轧辊表面在位置x()处的局部接触变形。 B 轧件的宽度。 1 辊身长度。 L 压下螺丝中心线之间的距离。 11 辊颈长度。 W 总轧制负荷。 J 液压弯辊力（减少板材凸度所加力为止）。 P 总压下力（包括轧制负荷和心批力)。 S 轧机弹性曲线之斜率。 M 机架刚度（不包括轧辊）。 h(i)、H(i)在位置x(i)处的出口和l入口板厚之半。 101

北 京 铜 铁 举 院 学 报 年第 期 冷 轧 薄 板 的 板 形 调 整 —板 形 理 论 的 非线 性分 割模型 力 学 教 研 室 养 端 压 力加 工 教 研 室 陈 肖梅 刘 宝晰 摘 要 符号说 明 从辊边到轧辊 第 个 分割单元 间的 距 离 。 工 作辊与支承辊公共母线 上任一点处的垂直位 移 。 工 作辊与 支承辊 间 单位长度上的接触压 力 。 工 作辊 与板材 间单位宽度上的轧制压 力 。 尹 无 张 力时板材 单位 宽度 上的 轧制压力 。 平均单位 轧制压力 。 、 。 支承辊 与工作辊的影响 系数 。 工 作辊 与支承 辊表面 间在位置 处的 间距 。 轧辊直径 。 轧辊表面 在位置 处的局 部接触变形 。 轧件的宽度 。 辊 身长度 。 压 下螺 丝 中心 线之 间的 距 离 。 ， 辊颈 长度 。 总轧制负荷 。 液压弯辊力 减少 板材 凸度所 加 力为止 。 总压下 力 包括 轧 制 负荷和 今辊 力 。 轧机弹性 曲线之 斜 率 。 机 架 刚度 不 包括 轧 辊 。 、 在位置 处的 出 口 不日入 ‘ 板厚之半 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1982．04．011

r(i) 轧制中的板材压下率。r(i)=1-h(i)/H(i)。 G 轧辊的刚性位移。 C(i) 在位置x(i)处当轧辊间没有材料时辊缝之半。 o.(i)、oa(i)作用于位置x(i)处板材的前、后张应力。 E 拉压弹性模量。 泊桑比。 A、B,轧制压力与压下率的分段线性关系中的斜率和截距。 Φ 乘数因子。 号 张力因子。 平 宽展因子。 U、V·辊间压力与轧辊压扁线性关系中的斜率和截距。 f 工作辊与板材间的摩擦系数。 1: 工作辊与板材接触压扁弧长。 h 平均板厚。五=±(H+h)。 os。、0。!在入口和出口处轧材之拉伸屈服应力。 K 变形区中轧材的平均平面变形抗力。 σ、σ、σz沿轧制、板宽、压下方向的板材内应力。 n 平均内应力。0m=于(ox+0y+gz)。 b、W、P脚注分别指支承辊、工作辊和板材。 一、前言 关于板形控制的问题，即板带材横向板厚分布和平坦度的控制问题的研究，近些年来在 国外是很活跃的，国内也有所开展。在四辊轧机上，用液压弯辊装置控制板形的理论研究业 已形成弹簧模型(M.D.Stone)、分割模型(K.N.Shohet)和综合模型（户泽康寿） 三大类。 由M.D.Stone【1提出的弹簧模型把工作辊看作是弹性基础梁。在工作辊与支承辊之 间，以及工作辊与板材之间，引进两个弹簧系数k:和k2,解析求解轧辊的弹性挠曲，从而 求出沿板宽方向的压力分布、板厚分布等。盐崎宏行【2]假设轧制压力沿板宽均匀分布。铃木 弘【)本城恒)假设轧制压力分布为二次曲线。连家创【]提出工作辊与支承辊间的压力分布 为二次曲线和四次曲线的假设。由于轧制压力沿板宽分布所作的各种假设与松浦佑次【】本 村贡【川等人的实测结果不甚符合，所以，弹簧模型不够理想。 K.N.Shohet【]于1968年提出分割模型。其基本思想是将连续分布的轧制压力、轧 辊间的接触压力及轧辊变形等离散化。以力作为未知量，根据变形谐调方程和力平衡方程解 出轧制压力分布、辊间压力分布及工作辊刚性位移。此模型对辊间压力分布和轧制压力分布 不作任何假设，对于以它们为未知数的线性方程组用矩阵法迭代求解。从理论上讲，当分割 得越细时，则越趋于载荷连续分布的解。但是，在线性方程组的联立推导中引用了两个线性关 系的假设：1)认为工作辊与支承辊之间的压扁在整个接触范围内与接触压力成线性关系， 2)单位宽度上的轧制压力与在无张力轧制下的压下率成线性关系。由于这两个假设的根据 不够充分，因此误差较大。另外，对于张力对轧制压力的影响引用了H essenberg-Sims 102

轧 制 中的板材压下率 。 一 。 轧辊的 刚性位 移 。 在位置 处当轧辊间没有材料时 辊缝之半 。 ， 、 。 作用 于位置 处板材的前 、 后 张应 。 拉压弹性模量 。 泊桑 比 。 、 轧制压力与压下率的分段线性关系 中的斜率和 截距 。 中 乘数因 子 。 七 张力因子 。 甲 宽展 因子 。 、 辊间压力与轧辊压扁线性关系 中的 斜率和截距 。 工 作辊与板材 间的摩擦系数 。 了 工 作辊与板材接触压扁弧长 。 平均板厚 。 万二 女 。 。 、 在入 口 和 出 口 处轧材之 拉伸屈 服应 力 。 变形 区 中轧材的 平均平面 变形 抗 力 。 、 ，、 。 沿轧制 、 板宽 、 压下方 向的板材 内应力 。 平均 内应力 。 含 ， 。 、 、 脚注分别 指 支承辊 、 工 作辊和 板材 。 一 、 前 一立 一 ‘ 口 ‘，砂 关于 板形控制的 问题 ， 即板带材横向 板厚分布和 平坦 度的 控制 问题 的研究 ， 近些年来 在 国外是很 活跃 的 ， 国 内也有所开展 。 在 四 辊轧机上 ， 用 液压弯辊装置 控制板形 的 理论研究业 已形成弹赞模 型 、 分 割模 型 和综 合模 型 户泽康寿 三大类 。 由 。 ’ 提出的弹簧模型 把工 作辊看作是弹性基础梁 。 在工作辊与支承辊之 间 ， 以 及工作辊与板材之 间 ， 引进 两个弹 簧系数 和 ， 解析求解轧辊的弹性挠 曲 ， 从而 求 出沿板宽方 向的压力分布 、 板 厚分布等 。 盐 崎宏 行 ’ 假设轧制压力沿板宽均匀分布 。 铃木 弘 本城恒 「‘ 〕 假设轧制压 力分布为二次 曲线 。 连 家创 〕 提 出工 作辊与 支承辊间的压力分布 为二次曲线和 四 次 曲线的假设 。 由于轧 制压 力沿板宽分布所 作的 各种假设 与松 浦佑次 “ 本 村贡 等人 的实测 结果 不甚符合 ， 所 以 ， 弹簧模型 不够理 想 。 于 年提 出分割模型 。 其 基本思 想是将连 续分布的 轧制压 力 、 轧 辊间的 接触压 力及轧辊变形 等 离散 化 。 以 力作为未知 量 ， 根据 变形 谐调方程和 力平衡方程解 出轧制压力分布 、 辊间压力分布及工 作辊刚性位移 。 此 模 型 对辊间压 力分布和 轧 制压 力分布 不作任何假设 对于 以 它们为未知 数的 线 性方 程 组用 矩 阵 法迭 代求解 。 从理 论 上讲 ， 当分割 得越细时 ， 则越 趋于 载荷连 续 分布的解 。 但是 ， 在线性方 程组 的 联立推 导 中引用 了 两个线性关 系的假设 认为工 作辊与支承辊之 间的压扁 在 整个接触 范围 内与 接触 压 力成 线性关系， 单位 宽度上的轧 制压 力与在无 张力轧 制 下的压 下率成线性关 系 。 由于这 两个假设 的 根据 不够充分 因此误 差较大 。 另外 ， 对 于 张 力对轧 制压 力的影 响 引用 了 一

t)方程，是比较粗糙的。上田长正【11对Shohet模型稍加改进，提出了较详细的计算公 式，但仍然是解线性方程组，中岛浩卫【1！对HC-轧机左右不对称的情况简化为等价的二辊轧 机，采用分割模型。总的来讲，继Shoht提出分割模型后，在这方面继续研究并应用于生 产实践中的较少，主要是计算出来的数值与实测数值有一定偏差。 户泽康寿[1】采用分割模型，又在考虑工作辊与支承辊的接触压扁中采用了弹性基础梁 的假设，在由轧辊的变形求压力分布的分析中，综合地使用了弹簧模型和分割模型，因此可 称为综合模型。其解题方法仍是用矩阵法求解线性方程组。 我们认为Shoheti的力学模型是可取的。在对其假设进行分析的基础上，考虑到冷轧板 材的加工硬化、轧辊压扁、摩擦、张力、宽展等因素对轧制压力的影响，根据力平衡方程、 变形谐调条件等，建立非线性方程组，用直接迭代法求解。并将计算结果与实验测定进行比 较，从而提出在四辊轧机上各种板带产品轧制时的主要工艺参数，作为现场生产的参考。 4 二、非线性分割模型的基本原理 1.分割模型及Shohet线性方程组 四辊轧机在工作辊间施加弯辊力时，轧辊的受力简图如图所示，称为JWW弯辊方式（本 文只讨论这种弯辊方式)。采用Shoheti的分割法，将轧辊半长分为m等分，而板材半宽分 为等分。在板材每一段的中心作用着集中轧制压力q△x,而在工作辊与支承辊间每一段的 中心作用着集中接触压力p△x。接触压力的第段与轧制压力的第i'段重合，并有i=i'+k (图2)。 图1四辊轧机轧辊受力筒图 图2轧辊分割简图 (JWW弯辊方式) 弯曲轧辊的目的是改变工作辊的弹性变形，从而使辊缝形状和板形得到改变。轧辊的变形 包括轧辊的挠曲和表面的压扁。为了估算辊缝的形状，必须知道使轧辊变形的负荷，而且， 如要计算板材的轧后厚度，必须知道工作辊的刚性位移。根据工作辊的力平衡条件导出平衡 方程： ∑P△x- ∑Φ，91dx=克 (1) j= j=1 103

“ 方程 是比较粗糙的 。 上 田长正 ’ 。 】 对 模型 稍加 改进 ， 提 出了较详细的计算公 式 ，但仍 然是解 线性方 程 组 。 中岛浩卫 ” 对 一轧机 左右不对称 的情况 简 化为等价的二辊轧 机 ， 采用 分割模型 。 总的来讲 ， 继 提出分割模型 后 ， 在这方面 继 续研究 并应用 于生 产 实践 中的 较 少 ， 主 要 是计算出来 的 数值 与实测数值有一定偏 差 。 户 泽康寿 ’ 采用 分割模型 ， 又在考虑工 作辊与 支承辊的接触压扁 中采用 了弹性 基础 梁 的假设 ， 在 由轧 辊的 变形 求压 力分布的 分析中 ， 综 合地 使 用 了弹 簧模型 和 分割模型 ， 因此 可 称 为综 合模型 。 其 解题方 法仍是 用矩 阵法求解线性方 程组 。 我们认为 的 力学模型 是可取 的 。 在 对其 假设进 行 分析 的 基础 上 ， 考虑 到 冷轧 板 材 的加工 硬 化 、 轧辊压扁 、 摩擦 、 张力 、 宽展 等 因素对轧 制压力的 影响 ， 根据 力平衡方 程 、 变形谐 调 条件等 ， 建立非线性方 程组 ， 用直接迭 代法求解 。 并将 计算结果 与实验 测定 进 行 比 较 ， 从而提出在 四 辊轧机 上 各种 板带产 品轧 制 时 的主 要工 艺 参数 ， 作为现场生产的 参考 。 二 、 非线 性分 割模型 的基本原理 分 创挑型 及 线性方程 组 四 辊轧机在工 作辊 间施加弯辊力时 ， 轧辊的受 力简图如 图所示 ， 称为 弯辊方式 本 文只 讨论这种 弯辊方式 。 采用 的 分割 法 ， 将轧 辊半长分为 等分 而板材半宽分 为 等 分 。 在 板材每一段 的 中心 作用着 集中轧制压力 △ ， 而在工 作辊与 支承 辊间每一段 的 中心作用 着集中接触压 力 △ 。 接触压力的 第 段 与轧制压 力的 第 了 段重 合 ， 并有 二 产 图 。 辛一下 叫 尸耳二共忿盯日 吝 馨燕函三，嗯书 ‘ 卜才浦， 目 二只 “ 「一 一 了， 喇 卜钊 样片 盯厂一门具 匕 门」 “ ’ ‘六叼 ， 切 ‘ 图 四 辊 轧机 轧辊 受力简 图 图 轧辊分 割 简 图 弯辊方 式 弯 曲轧辊的 目的是 改 变工 作辊的弹性变形 ， 从 而使 辊缝 形状 和 板形得 到 改变 。 轧辊的 变形 包括 轧辊的挠 曲和 表面 的压 扁 。 为 了估算辊缝 的形状 ， 必须知道 使轧辊变形 的负荷 ， 而且 ， 如要计算板材的轧后 厚度 ， 必 须知道工 作辊的 刚性位 移 。 根据工 作辊的 力平衡 条件导 出平衡 方 程 乏 ，△ 乏 二 。 一 告

从工作辊与支承辊之间的变形一致性导出谐调方程： m n ∑ pai1△x+ ∑中1q1a1△x-Up,-M∑中19，Ax+G, j=1 j=1 1=1 =Y(i)+MJ+S+V (2) 从工作辊与板材之间的变形一致性导出另一谐调方程： m m [ q1a1wAx-∑ 2Kq(i) H(i)-G.] 中191ai1w△X-2K-0p(i)-0(i)A, j=1 j=1 =,[c0-H()A去B] (3) 其中pj、qj、Gm为(m+n+1)个未知数。(1)式只有一个方程，(2)式有m个方 程，(3)式有n个方程，所以共有(m+n+1)个方程。而o.(i)为n个未知数。为了求 解关于P、·q、Gw的线性方程组，取o(i)的迭代初值为0，通过选代法求解。这就是Sho- hct线性分割模型的主要思想和基本方程[1。 2.分割模型中的非线性关系 在Shohct线性分割模型中，假设工作辊与支承辊间的接触压力与轧辊的压扁量Z(i) 成线性关系，却 Z(i)=Up(i)+V (4) 根据Fopplet的弹性解【13)，对于材料相同的工作辊与支承辊，在单位宽度上的接触压力p(i) 作用下，由于辊面的压扁变形而引起的二辊中心线的接近量为 乙=2(1-v2) π上 (号+1a2+1n2) b (5) 其中 DiDw b=2.15V是b4b. 由此可见Z~P之间并不是线性关系。对于不同的P,算出其Z,得到Z~P关系曲线（图 3)。如果把Z一P关系近似为直线关系，它 给计算带来的误差是微小的。 Z 非线性关系 任线性分割模型中，还假设了轧制压力与 (mm) 线挫近似 0.40 压下料成线性关系，即 q(i)=Ar(i)+B 0.30 这一假设不免过于粗糙，因为在轧制过程中， 0.20 轧制压力不仅与压下率有关，而且与材料的硬 0.10 化、摩擦、轧辊弹性压扁等诸因素有关。为了 轧辊材质钢 综合考虑这些因素的影响，引用适合于冷轧薄 20 406080100 P(kg/mm) 板的Stone公式11。同时l用李庚唐的压 弧长计算显式。考虑到板材的加工硬 冈31~q关系曲线 化，得到新的4'(i)与r(i)的关系。当轧制工 业纯铝板时，进口板厚为H=4.9mm的情况下，及轧制不锈钢1Cr1 NioTi,进口板厚为 H=1·3mm的情况下，计算得到不同压下率的轧制压力曲线如图4所示。 104

从工 作辊与支承 辊之 间的 变形一致性导出谐调方程 乏 ‘ ，△ 艺。 ， ， ‘ ， △ 一 ， 一 艺。 ， ，△ ， 从工 作辊与板材之 间的 变形一致性导 出另一谐 调方程 ‘ 。 ， 〔乏 ， · △ 一 乏 ， 】 ， ‘ ，， △ 一 ， 一 一 · 「 ， 〕 中 ， 七 一 一 一 飞 一 才 其 中 、 、 为 个未 知 数 。 式 只 有 一 个 方 程 ， 式 有 个方 程 ， 式 有 个方 程 ， 所 以共有 个方程 。 而 ， 为 个未知 数 。 为 了求 解关于 、 、 ， 的 线性方 程组 ， 取 口 ， 的迭代初值为。 通过迭代法求解 。 这就是 。 一 线性分 割模 型 的主要 思 想和 基 本方 程 〔 。 分 创摸型 中的非钱 性关 系 在 线性分割模型 中 ， 假设工 作辊与 支承 辊间的 接触压 力与轧辊的压扁量 成线性关系 ， 即 根据 。 的弹性解 ‘ ， 对于材料 相 同的工 作辊与支承 辊 ， 在单位宽度上的接触压力 作用 下 ， 由于辊面 的压扁 变形 而 引起的二辊中心线 的 接近量 为 二 一 兀 匕 其中 · ‘ 丫着 。 ， 、 戈 一 ， ‘ 万一 ’ 一石一 。 由此可见 之 间并不 是线性关系 。 对 于 不 同的 ， 算出 其 ， 得 到 关系 曲线 图 。 如果把 关系近 以为直 线关 系 ， 它 给计算带来 的误 差是微 小的 。 在线性分割模型 中 ， 还假设 了轧制压 力与 压 下率成 线性关系 ， 即 ， ， 这一 假设 不免过于 粗糙 ， 因为在轧制过 程 中 ， 轧 制压 力不仅 与压 下率有关 ， 而且与材料 的 硬 化 、 摩擦 、 轧 辊弹性压扁等诸 因素有关 。 为 了 综 合考虑这些 因素的影响 ， 引用适合 于 冷轧薄 板的 公式 ’ ‘ 。 同时 引用 李庚唐 的压 扁 弧 长 计算显 式 ’ “ 。 考虑 到 板材的 加 工 硬 化 ， 得 到 新 的 与 的 关 系 。 当轧 制工 业 纯 铝 板 时 ， 进 口 板厚为 的情 况下 ， 。 非线性关系 线性近似 。 。 尹 声‘ 轧辊材质 钢 ， 图 关 系 曲线 及轧 制 不 锈钢 。 。 ， 进 口 板 厚 为 · 的情 况下 ， 计算得 到 不 同压 下 率 的轧 制压 力曲线如 图 所示

由图4可见q'~r之间并不是直线关系，而是一条曲线。(6)式中的A又是q'的函 数，B,=0。由于轧制过程板材呈不均匀变形，在塑性变形过程中力与变形之间为非线性关 q'(kg/mm) q'(kg/mm) 2800F 不锈钢 240 工业纯绍AI 2400F 1Cr18Ni9Ti 200 2000F 160 1G00F 120 1200 80 800 40 400 102030405060Y(%) 102030405060Y(%) (a) (b) 图4q'r关系曲线 系。所以工作辊与板材之间的变形谐调方程（个）实际上并不是线性方程（见附录）。新 的谐调方程为 H(i ((A(i)-q'(i))=C(i)-Y(i)+(i) (7) 3.张力的影响 轧制过程中往往带有前张力和后张力，而(？)式中的q'()是无张力时的轧制压力。 考虑到前、后张力对轧制的影响，现用张力因子￡来表示有张力轧制与无张力轧制时轧制压 力的关系，即 q=ξq' (8) 对于张力因子专，很多人曾进行了研究。Shohet引用了Hessen berg--Sims的结论。 从美坂佳助的.T作u】可知Hessenberg-Sims的结论不够精确，他给出张力因子的通式 ξ=1-（a=1)gn+op aK 其中a为系数。对于Hessenberg--Sims方程，a=2,美坂佳助得到的系数为a=10/3。 志田茂由计算和实测求得毛的新的变化规律1刊，给出 8-(1-1o5+0101- .-0.15 1- 1- 对于单张轧制情况，虽然无外加前、后张力作用，但由于在轧制过程中，沿板宽压下率不 同，板的延伸也不同。因而，在沿板宽各单元间存在相互作用的内应力。当使用分割法将板 材分为若干单元后，这些内应力即相当于作用在每一单元上的外加前张应力（而后张应力等 105

由图 可见 产 之 间并不是直 线关系 ， 而是一 条曲线 。 式 中的 又是 产 的 函 数 ， 。 由于轧 制过 程 板材呈 不 均匀 变形 ， 在 塑性变形过 程 中力与 变形之 间 为 非线性关 ， 弓 工业 纯侣 不姆悯 介‘目， 且胜咋‘目︸ 甘︸ 八︸ 。 丫 丫 场心 图 尹 关 系 曲线 系 。 所 以工 作辊与板材之 间的 变形谐调 方 程 个 实际 上并不是线性方 程 见 附录 。 新 的谐调方程为 〔 一 ， 〕 一 · ‘ ‘ ‘， 张 力的形 晌 轧 制过 程 中往往带 有前张力和后 张力 ， 而 式 中的 尹 是无 张力时的 轧制压 力 。 考虑 到前 、 后 张 力对轧 制 的 影响 ， 现用 张力因子 七来 表 示 有张 力轧 制 与无 张 力轧制时轧 制压 力的关系 ， 即 七 尹 对 于张 力因 子 七 ， 很 多人 曾进 行 了研 究 。 引用 了 一 的 结论 。 从 美 坂佳助 的 工 作 ‘ 。 可知 一 的 结论 不够 精确 他给 出张 力因 子 的 通 式 邑 一 一 。 。 其 中 为系数 。 对 于 一 方 程 ， ， 志田 茂 由计算和 实测求得 息的 新 的 变化规 律 ‘ ’ 美坂佳助得 到的 系数 为 二 。 给出 了 、 毛 一 一 ‘ ‘ 】 、 ， 一 一 一 全 一 。 ，。 ’ 一 令 一 、 聆 ，一 食 对 于单 张轧 制情 况 ， 虽然 无外 加前 、 后 张 力作用 ， 但 由于在轧 制 过 程 中 ， 沿板宽压 下 率 不 同 ， 板 的延伸也不 同 。 因而 ， 在 沿板 宽 各单 元 间存在 相 互作用 的 内应 力 。 当使用 分 割 法将 板 材分 为若干单元 后 ， 这些 内应 力即 相 当于作用在 每一单 元 上的外 加前张 应 力 而 后 张应 力等

于零)。对整个板来讲，当无外加张力时，口就是内应力，当有外加张力时，σ是前张应 力与内应力的迭加。所以单张轧制时 5=.05+0.10(1-K）-0.15(K。,） (9) 对于工业纯铝轧件，H=4.9mm,压下率r=20%,板宽为260mm的情况，分别用上 述三作者的代入计算，发现志田茂的与实测值最接近。从理论上看，也是志田的计算公式 较严谨。因此采用志田茂的张力因子飞。将(9)式代入(8)式可得 g=是15+0.0(1-）-0.(K。,) 91 (10) 将(10)式代入（7)式，于是得到考虑张力影响时的工作辊与板材间的变形谐调 方程。 m m H(i) Φ，[2p1a41ax-191a4x-1.05+0,.1o1-)-015(x。) q i j=1 j=1 -G〕=Φ，〔C(i)-H(i)) (11) (1)、（2)、(11)三式联立得到非线性方程组。但尚需考虑宽展的影响。 4.宽晨的影响 杉山纯一1]曾将轧制变形区沿板宽方向分为两个区。中间部分板材由于宽展受到板边 部分的限制而处于平面变形状态。板边部分的金属，由于宽展较易，则处于三维塑性流动中。 根据Stone公式，当无张力时，平均单位压力为 f1' q'=K eh- fI 对于轧件中间部分无宽展区，可以认为是在平面应变状态，于是公式中的K'取平面变 形抗力，即 K′=1.15os。 对于轧件的边缘，由于板宽方向σy=0,可以认为是平面应力状态，所以公式中的K'等于 屈服应力，即 K′=gs 因此板边缘处的变形抗力与板中心处的变形抗力之比为 1/1.15。对于从板边缘到平面应变区之间的三维流动区 中 C 内，取g<K′<1.15as。 为了描述这一变化，现引入宽展因子平()。在板 边缘Ψ=1，而在平面变形区平=1.15。在三维流动区ΨΨ 1.15 按抛物线规律从边部的1逐渐过渡到1.15（图5）。 对于不同的轧制条件，两变形区的交界位置是不同 的。这需要根据一定的经验或实验来决定。 三维流动区 平面变形区 当代入宽展因子Ψ(i)后，谐调方程（11)变成下 式： 图5板中的平面变形区与三维流动区 106

于零 。 对整个板来讲 ， 当无外加张 力时 ， ， 就是 内应力 ， 当有外加张 力时 ， 。 ，是前张应 力与内应力的迭加 。 所 以单张 轧制时 “ · ‘ · 。 ” · ‘” ‘ 一 奋 一 。 · 、 号 对于工业 纯铝 轧件 ， ， 压 下率 ， 述三 作者 的 七代入 计算 ， 发现志 田 茂 的与实测值最 接近 。 较严 谨 。 因此 采用 志 田茂的张力因子 七 。 将 式代入 板宽为 的情况 ， 分别 用 上 从理论 上看 ， 也是志 田 的 计算公式 式可得 ’ 二 一石 ‘ — 下 ， 上 ， 。 、 八 ， 、 、 二 工 叮 — — ， 护 一 — 口 涪牙 一 —一 口 、 八 尹 、 八 一 口 将 式代 入 式 ， 于是得 到考虑 张力影 响 时 的工 作辊与 板材 间的 变 形谐 调 方 程 。 。 ，「乏 ， ‘ ，， △ 一 艺 。 ， ， ‘ ，， △ 。 。 卜 令 一 ” · ‘ 一 ， 〕 中 一 〔 一 〕 一 ， 、 、 三式联立得 到非线性方 程组 。 但 尚需考虑宽展 的影 响 。 宽展 的影 晌 杉 山纯一 ‘ “ 曾将轧制 变形 区 沿板宽方 向分为 两个区 。 中间部分板材 由于宽展受 到 板边 部分 的限 制而处于平面 变形状态 。 板边部分 的 金属 ， 由于宽展 较易 ， 则 处于三 维塑性流动 中 。 根据 公式 ， 当无 张力时 ， 平均单 位压 力为 声 一、 向 一 一 、 ， ，产 ， ， 几 、 ‘ 几 ’ ‘ 一下不‘ 二 一一 ， 几 对于轧件中间部分无 宽展 区 ， 可 以认为是在平面 应 变状 态 ， 于是公式 中的 尹 取 平面 变 形抗力 ， 即 ， 。 对于轧 件的边 缘 ， 由于板宽方 向。 ， ， 可 以认为是平面 应力状态 ， 所 以公式 中的 声 等于 屈 服 应 力 ， 即 因此 板边缘处的 变形抗 力与板 中心处的 变形抗 力之 比为 板心中 。 对 于从板边缘到平面 应变 区之 间 的 三维 流动 区 内 ， 取 。 产 一 。 为了描述这一 变化 ， 现 引入 宽展 因 子 甲 。 在 板 边缘甲 ， 而在 平面 变形 区伞 。 在三维 流动 区甲 按抛物线规律从边部的 逐渐过渡到 图 。 对于 不 同的轧 制 条件 ， 两变形区的交界位置 是 不 同 的 。 这需要 根据一定 的经 验或实验来 决定 。 当代入 宽展 因子 甲 后 ， 谐 调 方程 变成下 式 板 边 三维流动 区 平面变形区 图 板 中的平 面 变形 区与三 维 流动 区

m m [∑a1△x-∑41a1Ax j=1 j=1 H(i) A(i) 1.o5+00(1-)-a(Kg-] =Φ，〔C(i)-H(i)) (12) (1)、（2)、(12) 开始 三式联立即为非线性分割模 计算q~r曲线 型的数学表达式。共有(m+ n+1)个方程。除p、9、 由g一r曲线给A(i)选代初值A(i)=A(1) G,为未知数外，口p(i)也是 给初始弯辊力J1=0,0p=0 未知数。A(i)又是随9：而 变化的，即是q,的函数。所 建立系数矩阵 以整个方程组为非线性方程 解方程组，求出P,9K 组，包括(m+2n+1)个未 否 知数。 P>0 逾 5.方程组的求解和计 计算轧后板厚 算程序摇图 设有方程组 计算压下率及新的A(i) ka=f(13) 否 q(i)-qq(i)K OF=K 为非线性方程组。 否 如果假设a=a为初 HH(i)-H(i)<10- 否 HH=H(i) 值，则可解得： a1=(k)-1f 1是 这里k°=k(a),上标-1 同板差合格 否 加弯辊力J1 表示矩阵的求逆。重复这一 是 过程，可以写为 板厚公差合格 否 调压下量 a=(k-i)-if 是 当误差e=an-an-1足够小 计算辊面曲线 时，即可认为此解收款。 对于q'~r的非线性关 打印h、P、q、o 系（图4）可以写为 Y、J1、Q总、C等 q/=Ar 结束 其中，A随q'值而变化。又 由于A在(1)、(2)、 图6 非线性分割模型计算程序框图 （12)式联立的方程组的系 107

。 「乏 ， 门 · “ 艺 巾 ， 一 八 一 ， 。 。 一黔 一 卜 。 、 、 ， ， 、 勺 二二 人 一 —， 平 一 了 一 了 ， 中 〔 一 〕 、 、 三 式联立 即为非线性分割模 型 的 数学表达 式 。 共有 个方 程 。 除 ，、 ，、 ， 为未 知数外 ， ， 也是 未知数 。 又是 随 ，而 变化的 ， 即是 ，的 函数 。 所 以 整个方 程 组为非 线 性方程 组 ， 包括 个未 知数 。 方程组 的求解和计 算程序 框 图 设 有方程组 这 里 为 矩 阵 ， 为 未知数 列 阵 ， 为 列 阵 。 当 二 时 ， 式 为非 线性 方 程 组 。 如 果 假 设 “ 为 初 值 ， 则 可解得 ‘ 一 二 这 里 “ “ ， 上标 一 表 示矩 阵 的 求 逆 。 承 复这一 过 程 ， 可 以 写 为 ” ” 一 ‘ 一 ‘ 当误 差 一 ” 一 ， 足 够小 时 ， 即可认为此 解收敖 。 对 于 尹 的非 线 性关 系 图 可 以 写为 ， 其 中 ， 随 产 值而 变 化 。 又 由于 在 、 、 式 联立 的方 程组 的 系 人 二 人 打印 、 ，、 ， 、 ， 、 ， 、 、 总 、 等 图 非线 性分 割模型 计算程 序框 图

数矩阵k中，k=k(q),所以整个方程组变成非线性方程组。 初值A·=9。于是便可开始选代计算。待迭代收敛后，再进行0()的选代。 对轧后板厚分布的计算精度进行校验直至符合要求。最后对同板差、板厚公差进行迭代计 算。待全部收敛时，计算结束，从而求得一系列工艺参数。计算程序框图如图6所示。根据 框图编制计算程序，在我院TQ-16电子计算机上进行计算。 三、计算结果与实验验证 对工业纯铝板，其原始板厚H=4.9mm,压下率△=20%，板宽分别为50、100、160、 200、260mm等五种情况进行计算。通过计算 P(kg/血m) 得到一系列计算结果（辊间压力分布、轧制压 力分布、内应力分布、轧后板厚分布及总轧制 压力、压下规程等)。其中辊间压力分布和轧 100 制压力分布见图7和图8。 80- 由图8可见，当板宽从50mm逐渐过渡到 60 260mm时，轧制压力分布由凸型、平型向凹 e 型分布过渡。实验结果【11（图9）表明，当板宽 d 40 由窄到宽变化时，沿板宽轧制压力的分布由凸 20 型、平型向凹型分布过渡。计算结果与实验结 果定性相同，只是实验曲线中qmax与qmin 150 100 50 50100 150(mm） 距撬中心 的差值大于计算的差值（即轧制压力分布曲线 a bc d e 的起落较大)。原因是实验时未对同板差进行严 B(mm)50100160200260 Hm.94.94.94.94,9 格要求，而计算中对轧后板厚分布要求同板差 。%2020202020 在0.02mm以内，且公差符合标准要求，因此计 算出来的压力分布显然要比实测值来得平缓。 图7不同板宽情况下辊间压力分布图 () (b) (c) (d) (e) g(kg/mm》 B=50mm B=100mm B≤160mm B=200血m B=260 mm H=4.9mm 1H=4.9mm H=4.9mm H=4.9mm H=4.9mm E=20% E=20% e20% e=20% e=20% 100外 100 100 80 80 80 60 60 40F 40叶 40 20 20叶 20F -1.0-06-0200.20.61.0-10-o20020.60-1.0广0广-0立00.20.6.0 2a/B 2a/B 凸形 2a/B 平型 凹到 图8不同板宽情况下轧制压力分布图 108

数矩 阵 中 ， 二 取 初 俏 “ ， 尸 一 所 以 整个方程 组 变成非线性方程组 。 。 于是 便可开 始迭代 计算 。 待迭代 收敛后 ， 再进行 ， 的迭代 。 对轧 后 板 厚分布 的 计算精度 进行校验直 至 符 合要 求 。 最 后对 同板差 、 板厚公差进行迭代 计 算 。 待 全 部收敛 时 ， 计算结束 ， 从而求得 一系列工 艺 参数 。 计算程序框 图如 图 所示 。 根据 框 图编 制计算程序 ， 在 我院 一 电子 计算机 上进 行计 算 。 三 、 计算结果 与实验验证 对工 业 纯铝 板 ， 其原 始板厚 二 ， 、 等五种情况进 行计算 。 通 过 计算 得到一 系列计 算结果 辊 间压 力分布 、 轧 制压 力分布 、 内应 力分布 、 轧后 板厚分布及 总轧制 压 力 、 压下规程等 。 其 中辊 间压 力分布和 轧 制压 力分布见 图 和 图 。 由图 可见 ， 当板 宽从 逐渐过 渡 到 时 ， 轧 制压 力分布 由凸型 、 平型 向 凹 型 分布过 渡 。 实验 结果 ’ 。 图 表 明 ， 当板 宽 由窄到宽变化时 ， 沿板宽轧制压 力的 分布 由凸 型 、 平型 向凹型 分布过渡 。 计 算结果 与实验 结 果定性相 同 ， 只 是实验 曲线 中 与 的差值大于计 算的 差值 即轧制压 力分布曲线 的起 落较大 。 原 因是 实验 时未对 同板差进 行严 格要求 ， 而计 算中对轧 后板厚 分布要 求 同板差 在 以 内 且公 差符 合标 准要求 ， 因此计 算出来 的压 分布显然 要 比实测值来 得 平缓 。 压 下率 八 ， 板宽分别为 、 、 、 尸 ， 名卜 口口口户口 一一 — 多豆弃二 二 卜荞乏 。 ， 亡 。 沼 但 娜 。 已 劝 距辊中心 图 不 同板 宽情况 下辊 间压 力分布 图 口 二 二 丫二二犷 一 ’ ￡ 二 ￡ ， … …一《 』 卜一 一 ” ‘ 厂 一 、 凸形 图 平型 凹 型 不 同板 宽情况 下 轧制压 力分布 图

q(kg/mm) B=100H=4.86g=23.0% 100 B=160H=4.882=21.1% B=200H=4.88e=21.3% 60 B=280H=4.82e=19.0% 40 材质，工业纯铅 20 -1.0-08-0200.204080810 2a/B 图9轧制压力随板宽变化而变的实验曲线 根据非线性分割模型与Shohetf的线性分割模型分别编制计算程序，对同样轧制条件下 的计算结果进行比较，本文所介绍的模型更符合实验结果。 四、结论 1.、在原Shohet分割模型的基础上，考虑了轧制过程中的各种影响因素，确定了轧制 压力与压下率之间的非线性关系等，所提出的非线性分割模型使计算结果有所改进，更符合 实验结果。 2.本文提出用宽展因子Ψ来描述沿板宽方向平面应变区和三维流动区金属的流动规 律。计算结果与实验结果相比较，在定性上是一致的。由于计算中对同板差、公差进行了要 求，因而定量上有所差异。 3.计算结果除得到轧制压力、辊间压力、轧后板厚等沿板宽方向的分布外，还可得到 沿板宽方向的内应力分布。并求得压下量、弯辊力、总轧制压力等轧制参数，供现场生产中 板形调整参考。 4,当轧辊带有原始凸度时，也可以用本文介绍的模型进行计算。当同板差较大，或板 材宽而薄时，可施加弯辊力来改善轧制压力的分布，从而得到较好的板形。施加弯辊力后， 辊间压力分布明显地发生变化。关于这些方面的理论计算将在另一篇文章！1中介绍。 附录：工作辊与板材接触变形谐调方程的推导 轧制时板材与工作辊之间的变形是谐调一致的，即带载辊缝与输出板材的轮m一致（图 1')。所以 h(i)=C(i)-(Y(i)-Z(i))(1) 进口板轮嘟 单位宽度上的轧制压力q'(i)与在无张力H(x) 带赣根娃（假设为出口板轮） 轧制下的压下率r(i)之间的关系是非线性的。 空藏工作辊轮廓 C(x) q'~r的关系可以表示为下式： q(i)=A(i)r(i) (2') 此处A(i)是随r(i)而变化的量。又知 图1'板材与工作辊变形谐调的示意图 109

酬 二 二 毛 。 二 忿 二 已 二 一 二 巴 ， 材旅 工业纯铝 一 。 一 公 一 够 够 图 轧制压 力随板 宽变化 而 变的实 验 曲线 根据非 线性分割模型 与 的线性分割模型 分 另 编 制计 算程 序 ， 对同样轧 制 条件下 的计算结果进 行 比较 ， 本 文所介绍的模型 更符合 实验结果 。 四 、 结 论 一 在原 分割模 型 的 基础 上 ， 考虑 了轧 制过 程 中的 各种 影响 因素 ， 确定了轧制 压力与压 下 率之 间的非 线性关系等 所提 出的 非 线性 分割模型使计算结果 有所 改 进 更 符合 实验结果 。 本 文提 出 用 宽展 因子甲来描述沿板宽 方 向平面 应 变区和 三维 流 动 区 金属 的 流动 规 律 。 计 算结果 与实验结果 相 比较 在定性 上是一致 的 。 由于计算中对同板 差 、 公差 进 行 了要 求 因而定量 上有所差 异 。 计算结果除得 到轧 制压 力 、 辊 间压 力 、 轧后 板厚 等沿板宽方 向的 分布外 ， 还可得到 沿板宽方 向的 内应 力分布 。 并求得 压 下量 、 弯辊 力 、 总轧 制压 力等轧制 参数 ， 供 现场生产 中 板形 调 整 参考 。 当轧辊带有原 始凸度时 ， 也可以 用 木文介绍的模 型进 行计 算 。 当同板 差 较大 ， 或板 材宽而薄时 ， 可 施加弯辊 力来 改 善轧制压 力的 分布 ， 从而得 到较好 的 板形 。 施加弯辊 力后 ， 辊间压 力分布 明显 地 发生 变化 。 关于这些 方面 的 那论计 算将在 另一篇文 章 ‘ 介绍 。 附 录 工 作 辊 与板 材接触 变形 谐 调 方 程 的推 导 轧制 时板材与工作 辊 之 间 的 变形 是谐 调 一 致 的 ， 即带 载辊缝 与 输 出板材 的 轮 廓 一 致 图 ， 。 所 以 一 〔 、、 一 〕 尸 单位 宽度 上的轧制 压 力 产 与在无 张 力 轧 制下 的压 下率 之 间 的 关系是非线性 的 。 产 的 关系可 以 表示 为下 式 尹 ， 此 处 是 随 而 变 化的 量 。 又 知 口 口 、 、 ， 、 称 巨二 二 进 口 板轮哪 带旅牲缝 很设为 出 口 板轮琳 空载工作 粗轮廓 图 ‘ 板 材与工 作辊 变形 谐调 的示 意图 卜

q(i)=g1/ (3) 其中q为平均单位压力，1'为接触弧长。引用冷轧薄板轧制压力计算的Stone公式 f1' -I (4') 和李庚唐的压扁弧长计算显式 I'=√B路+RAh+B。 (5) m 其中 B:8e2 m1-0,812 Z。=2CRK K=1.15Cs0+0s1 C=8(1-v2) πE 采用材料的幕指数硬化曲线 Ost=Oso+mra 对于铝【a1,0s0=3.231kg/mm2.m=11.5972,n=0.5539。 (4')、(5)式代入(3)，式，可以得到q'~关系，如图4所示。因此，(2)式 中的A(i)是随r(i)而变化的。当以q'(i)表示r(i)时得 ri-得 (7) 又因为 h(i)=H(i)〔1-r(i) 所以 h)=H([1-8] (8) 将(8)式代入(1')式得 (((-C()-V()+Z(i) (9) 当考虑到前、后张力的影响时，引用志田茂的张力因子 (景1an -0.15 (10) 1-K 对于单张轧制情况，σB=0,所以 5=1.05+0.10(1-）-0.16(K2。) (11') 110

尹 尹 ， 其 中 为平均单位压 力 ， 尹 为接触弧长 。 引用 冷轧薄板轧 制压 力计算的 公式 令厂 一 几 尹 ， 气犷、 一 、 一一 和 李庚 唐 的压 扁弧长计算显式 寸气 ， 丫 ‘ △ 宁 一 ， 其 中 一 △ 丙一 。 二 一 ‘ 李办 。 ‘ 卫嘴 一 旦” 二 采用材料的幕 指数硬 化曲线 一 兀 对于铝 盆 ‘ 声 。 ， ， 。 ， 式 代入 ， ， 式 ， 可 以得到 了 关系 ， 如 图 所示 。 因此 ， ， 式 中的 是 随 而变化的 。 当以 尹 表示 时得 ，产 ， 又 因为 所 以 〔 一 〕 一 ， ， 将 尹 式代入 ， 式得 一 尹 〕 一 声 当考虑 到前 、 后 张力的 影响时 ‘ ， 引用 志 田 茂的 张力因子 息 亡 仃 ‘ 、 一 一布拼一 、 一 一奋 日 、 ， ‘ ， ， 、 、 。 一 、 心 二 一 一下声一 。 匕 —— 一一 口一 、 里、 仃 。 一—亡 一 气井 ， 一 奋声 入 八 尸 对于单 张轧 制情 况 ， 。 所 以 了 。 了 三 · 戈 一 顶 一 一 · 戈 一 ， 户