电流系、永久磁体系和磁荷系的一般等效条件

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1981.03.031 北京钢铁学院学报 1981年第3期 电流系，永久磁体系和磁荷系的一般等效条件 自动化系基础教研室黄汝激 摘 要 本文从恒定磁场方程组出发，导出了任意的几何形状及尺寸均相同、内部煤质 磁导率也相同且均匀的恒定的电流系、永久磁体系和磁荷系的一般等效条件，并且 指出和说明了三者之间的差异性。从而推广了电磁场理论中关于载流螺线管与园柱 形永久磁体之间的等效性、闭线电流与磁壳之间的等效性等方面的理论。 一、前 言 在电磁场理论中，常把载流螺线管与永久磁体相比拟（相等效），把永久磁体与一对磁 极相比拟，把闭线电流与磁壳相比拟，把元电流与磁偶极子相比拟，等等。过去文献，【2 对这些比拟都是就各特殊的具体情况进行具体分析，没有导出一般的等效条件。本文目的在 于把上述各分散的等效理论统一成一般的理论，即要导出恒定的电流系、水久磁体系和磁荷 系的一般等效条件，并说明三者之间的差异性。 考患一个恒定的电流系1(8：，飞，4：，一个水久磁体系2(M。,4:)和一个等效的 磁荷系3(P,¤M1,μ：)，分别简称为系统1、2和3。假设三者存任：的区域V的几何形 状、尺寸及内部媒质磁导率4：都相同，且4，是均匀的影外部媒质磁导率μ。也相同，但一般 说来，μ。是不均匀的。现在要研究在什么条件之下，这三个系统产生的外部磁场完全相同 (内部磁场可能不相同)。就是求这三个系统在产生外部磁场方面的等效条件，还要研究这 三个系统在内部磁场方面有什么差异，即说明三者之间的差异性。 下面先把本文所用符号列表说明如下（其中的关系式可参考文献」【），但所用符号有 些不同，且改用了国际单位制)： V 系统1、2或3的存在区域， s 区域V的表面，即内外媒质的分界面， 下标1、2、3 分别表示系统1、2、3中的量， 下标i、e 分别表示内外媒质中的量， V× 旋度算符， 本文1980年7月23日收到。 85

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 电流系 、 永久磁体系和磁荷系的一般等效条件 自动化 系墓 础 教研 室 黄汝激 摘 要 一 、 前 、 口 在 电磁 场 理 论 中 ， 常把载流螺线 管 与永久磁 体相 比拟 相 等效 ， 把永 久磁体 与一对磁 极相 比拟 ， 把 闭线 电流与磁 壳相 比拟 ， 把元 电流 与磁 偶极子 相 比拟 ， 等等 。 过 去文 献 ’ 』 名 对这些 比拟都 是 就 各特殊 的具体情 况进 行具体分析 ， 没 有导 出一 般 的 等效 条件 。 本文 目的在 于把上述 各分 散的 等效 理论统一成一般的理论 ， 即要 导 出恒定的 电流 系 、 永 久磁 体系和磁荷 系的一般 等效 条件 ， 并说 明三 者之 间 的差异 性 。 · 考虑一个恒定 的 电流 系 言 ，， 犷 ， ‘ ， 一 个水 久磁 体系 访 。 ， 。 ‘ 和一 个 等 效 的 磁荷系 泳 ， 、 ， 协 ‘ ， 分 别 简称为系统 、 和 。 假设 三 者存 在的 区域 的几何形 状 、 尺寸及内部媒质 磁 导率 协 ‘ 都相 同 ， 且 卜 ，是均 匀 的， 外 部媒质磁 导率 卜。 也 相 同 ， 但付般 说 来 ， 卜 。 是 不 均 匀 的 。 现在要 研究 在什么 条件之 下 ， 这 三个系统产生 的外 部磁 场完 全相 同 内部磁场可 能 不相 同 。 就 是求这 三个系统在产生外部磁场 方 面 的 等效条 件， 还 要研究这 三个系统在内部磁 场方 面 有什么差 异 ， 即说 明三者 之 间的差异 性 。 下面 先 把本 文所 用 符号列 表说 明如 下 其 中的关 系式可 参考文 献 “ 」 〔 ‘ ， 但所 用 符号有 些 不 同 ， 且 改 用 了 国际单位 制 系统 、 或 的存在 区域 ， 区域 的表面 ， 即 内外 媒质 的分 界面 ， 下标 、 、 分 别 表示 系统 、 、 中的量 ， 下标 、 分 别 表示 内外媒质 中的量 ， 旋 度 算符多 本 文 年 月 日 收到 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．03．031

7 散度算符， Rol 面旋度算符， Div 面散度算符， 面S上所考察点的外法向单位向量， 媒质磁导率，μ=口(1+x): 内外媒质的磁导率， 40 真空磁导串， 媒质磁化率， X i 内部媒质磁化率事 磁感应强度，言=4。（立+）=言。+μ言 官。 恒定磁感应强度，B。=μM。, , B,官 系统123的磁感应强度， 京 磁场强度， 直=官-财-官成， μ0 , i。 表面S内侧和外侧的磁场强度， ，言，立。 系统1、2、3的磁场强度， 磁化强度，M=M。+M1, 恒定磁化强度（对于永久磁体系，M。幸0，对于电流系和磁荷系， M。=0); 感应磁化强度，M,=x, 自由电流体密度（对于电流系，可能有8，丰0，对于永久磁体系和 磁荷系，81三0)多 u 分子电流宏观体密度，方M=V×=言。+司 对应于。的分子电流宏观体密度，4，=了×Mg 对应于M,的分子电流宏观体密度，δM,=V×M1: 面S上的自由电流面密度（对于电流系，可能有飞：丰0，对于永久磁 体系和磁荷系，飞1兰0) 面S的内侧和外侧的分子电流宏观面密度，(M:三×， 面S的内侧对应于，的分子电流宏观面密度，三，=立。X, 面S的内侧对应于M,的分子电流宏观面密度，了M,=x,古×， PMI 自由磁荷体密度（对于等效磁荷系，可能有PM:丰0，对于电流系和 永久磁体系，PM1=0)事 PM。 i,的等效磁荷体密度，Pw,=-了·u 面S上的自由磁荷面密度（对于等效磁荷系，可能有σM1丰0，对于 电流系和永久磁体系，σM1三0)多 0M0 面S的内侧对应于，的等效磁荷面密度，0。=广.，。 二、电流系和永久磁体系的一般等效条件 根据现代电磁场理论3」【，在国际单位制(SI制)下，恒定磁场方程组的微分形式为 86

卜 卜 ‘ ， 林 散度算符， 面 旋度算符， 面 散度算符， 面 上所考察点的外法向单位向量 ， 媒 质磁 导 率 ， 卜 林 。 内外媒质 的磁 导率， 真空磁 导率 ， 媒质磁 化率， 内部煤质磁化率， 叫卜 磁 感应 强度 ， 恒 定磁 感应 强度 ， 李 。 协 ， 今际 门 》 一卜 ， 系统 的磁感应 强度 ， 净勒今 忍， ， 争 ‘ 》 ，， ， 。 六 六 协。 六 磁 场 强度 ， “ 言 一 “ 二 一 卞 生 表面 内侧和外 侧 的磁场 强度 ， 系统 、 、 的磁场 强度， 争 卜 扣 磁 化强度 ， 。 ，， 恒 定磁 化强度 对于 永久磁 体 系 ， 。 笋 。 对 于 电流系和磁荷 系 ， 今 今令 今令 》 。 三 感应 磁 化 强度 ， 自由电流体密度 争 》 一 一 对于 电流系 ， 可 能 有 乙，笋 。 对 于永 久 磁体系和 今命 磁荷系 ， 乙，二 ， 一卜 分子 电流宏观体密度 ， 对应于益 。 的分 子 电流宏观 体密度 ， 落 对应于 益 的分 子 电流宏 观 体密度 ， 乙 气卜 甲 ， 面 上的 自由电流面 密 度 对于 电流系 ， 讨能有才 ， 举 。 对于永 久磁 今申净七乙 户、 争 体系和磁荷系 ， 七 ， 二 ， 面 的 内侧和外侧 的分子 电流宏观面 密 度 ， 才 。 戒 、 面 的 内侧对应于 今 ， 的分子 电流宏 观面 密度 ， 面 的 内侧对应 于 访 的分 子 电流 宏观面 密度 ， 咔 今 争 ， 卜 ﹄﹄﹄卜﹄‘卜 口 自由磁荷体密 度 对于等效磁荷 系 ， 可 能有 ，举 。 对于 电流系和 永 久磁体 系 ， 二 ， 扣 叫卜 。 的等效磁荷体 密度 ， 。 一 · 。 。 ， 面 上的 自由磁荷面 密度 对于等效磁荷 系 ， 可 能有 ，举 ， 对于 电流 系和 永 久磁体 系 ， ，二 。 ， 翻弓卜 叫卜 》 面 的 内侧对应 于 。 的等效磁荷面 密度 ， 。 · 林 。 。 。 二 、 电流 系和永久磁体 系的一 般等效条件 根据现代 电磁场 理论 ‘ ，， 在 国际单位制 制 下 ， 恒定磁 场方 程组 的微 分形 式 为

口×月=言，或口×官=u(8,+w) 又·B=g或又5H=-Yμ。M。=PM, (1) B=uo(f+M)=μ。M。+4H 式中 成=。+，=。+xi=,+官 μ=μ(1+x) 3-7×=方，+方w, (2) aw,=7×。 δw,=7×M1=V×xi 而且恒定磁场完全决定于场源8，和媒质磁导率：及恒定磁化强度M,的分布，以及分界面 上的边界条件（这里把M分解成M=。+M,=M,+xH是理想永久磁体的模型，可看 做是实际永久磁体的近似模型)。 对于我们的电流系1和永久磁体系2，几何形状及尺寸和内外媒质磁导率都分别相同。 由于两个系统的外部媒质相同，所以二者的外部磁场方程组也相同。显然，只要两个系统的 内部和表面S上的B场方程组也相同的话，二者产生的B场就将是相同的。应用方程组(1) 和(2)于我们的电流系和永久磁体系的内部和表面S上，可推得二者的磁场方程组如下表 (表1)： 表1 电流系和永久磁体系的磁场方程组 电流系(8,1，μ) 永久磁体系(M。,μ) 在 口×官=4(8，+8M) V×B=μ。（言M。+8u1) 7.B=0 ☑。B=0 方 内 iw=V×=7×X!官 u方 ,+,=7×(:成+) 在 Roti=4(它：+M+Me) Roti=u,(它Mn+它，+乙M) 程 Diy官=0 Div B=0 边 CM =Mx n=x.Bx h w+,=(。+xi)×日 组 μ： 件 =(:成，+是)x日 在 口xi=, 口xi2=0 方程 庄=官-成- ,=官-。 内 40 μ 比较上列两个系统的场方程组可知，当且仅当 言+高w=8,+言，和i+w=m,+它， (3) 时，两个系统在区域V内和边界S上的B场方程组才相同，另外，前面说过，由于两个系统在 区城V外的媒质相同，所以二者在V外的B场方程组也相同。因此，当满足条件式(3)时， 两个系统在整个空间（包括区域V内外和边界S)的B场方程组都是相同的，从而二者在整 87

卜 。 令 二 一 甲 卜。 一 》 令于今丫 卜 一 今咔 令协卜 甲 叫卜 各， 或 咔 林 。 件。 。 协 育 甲今 式 中 六 弃 井 弃 君 卜。 六 才 通 且 」且 。 十 竹 ， 。 十 盖 工 一 一 且 。 十 件 － 一 协 件 。 洲卜 一 甲 乙 。 乙 共卜 ， 。 碗卜 甲 甲 于 咔净今卜各乙 而且恒定磁场 完 全决定 于场 源 乙。 和 煤质磁 导率 卜 及恒定磁 化强度 。 的分布 ， 以 及 分界面 上的边界条件 这 里 把 分解 成 做是 实际 永 久磁体 的近 似模 型 。 卜 争 争 一卜 。 。 是 理想 永 久磁 体的模 型 〔 ， 可 看 对于我们的 电流系 和 永 久磁体系 ， 几何形 状 及尺 寸 和 内外媒质磁 导率 都分 别 相 同 。 由于 两个系统的外部煤质相 同 ， 所 以二者 的外 部磁 场方程组 也 相 同 。 显然 ， 只 要 两个系统 的 弓卜 叫卜 内部和 表面 上的 场 方程组 也 相 同的话 ， 二者产 生 的 场 就 将是 相 同的 。 应 用方 程组 和 于我 们 的 电流 系和 永 久磁 体系的 内部和 表面 上 ， 可推得 二 者 的磁场方 程组 如下表 表 表 电流 系和 永 久磁体系 的磁场 方程 组 一》 永 久磁体 系 。 ， 卜 ‘ 电流系 各，， 屯 ，， 协 ‘ 扣 在 一卜 叫卜 卜 一 一》 洲卜 叫卜 琴丁暑二笔 。 ‘ 各’ ‘ 乙 ， 票丁名二认 。 ‘ 各 。 ‘ 各 · ’ 方 内 一 程 瓦 · 走 甲 · 粼寸 …瓦 。 · 瓦 ， 守 · 绘 一 斌 · 备助 组 在 上 边 界 条 件 在 内 比较 上列 两个系统的 场 方程组可 知 ， 当且 仅 当 乙 一卜 一卜 》 叫卜 争 一争 乙 。 乙 和 屯， 屯 乙 。 ， 七 沙 甲 十 令己 时 ， 两个系统在 区域 内和边界 上的 ” 场 互程组才 相 同， 另外 ， 前面 说 过 ， 由于 两个系统在 区城 外的蝶质相 同 ， 所 以二 者在 外 的 场方程组鸟相 同 。 因此 ， 当满 足 条件式 “ 时 ， 两个系统在整个空 间 包括 区域 内外和边 界 的 场方程组 都是 相 同的 ， 从而二者在 整

个空间产生的它场相同，而且二者在区坡V外部的前场(，。立e)地相同，亦即两个系统 在区域V外部产生的磁场完全相同。因此得 定理1存在区域V的几何形状、尺寸及内部媒质磁导率μ：都相同且μ是均匀的电流 系(81，【1,4）和永久磁体系（M,μ)互相等效（即二者产生的外部磁场相同）的 充分且必要条件是条件式(3)，它相当于如下条件 言=7×=：，和=成，×i: (4) 但是两个系统的内部H场不相同： i,=。+,=言-。，又×i。=3 (5) 推论当把电流系变换成等效的永久磁体系时，必须把自由电流体密度♂，折算成恒定 分子电流宏观体密度。，=。3，把自由电流面密度乙，折算成恒定分子电流宏观面密 度。=：，同时要从电流系的内部磁场强度立，中分出一个分量古。（庄。满足条件 10 口×，=言)，把它折算成恒定磁化强度成。=：言。因此方程V×i1=言，变换成 ☑xi:=0。 三、永久磁体系和磁荷系的一般等效条件 由于至今并未发现真实的磁荷，这里所谓磁荷系是指设想的与永久磁体系或电流系相等 效的磁荷系，它的磁场方程组对偶于电荷系的电场方程组，如表2的右边所示。应用方程组 (1)和(2)于永久磁体系的内部和表面S上，可得它的磁场方程组，如表2的左边所示。 表2 永久磁体系和磁荷系的磁场方程组 永久磁体系(M。!μ.) 磁荷系（PMI,OM多μ） 在 直 又xi=0 又xi=0 V 方 内 7·4i=-V·μM。=Pw。 V·H=PMI 程 在 RotH=0 RotH=0 s 组 上 i(u。i。-μ：月，)=五μM,o。 日（μ.i。-;)=0M4 B 在 口.B=0 B:=PMi 程 内 言2=言。+4.i,。=。M。 言，=4：疗 比较上列两个系统的场方程组可知，当且仅当PM。=PM:和oM。=σM:时，两个系统在区 域V内和边界S上的H场方程组才相同。另外，由于假设两个系统在区域V外的媒质相同， 88

个空 间产生 的 志场 相 同 ， 而且二者在区域 外部的 诗场 青 。 在 区域 外 部产生 的磁场完 全 相 同 。 因此得 争 卫竺 地相 同 ， 亦即 两不系统 卜 定 理 存在 区域 的几何形状 、 尺寸及 内部媒质磁 导率 卜‘ 都相 同且 协 是均匀的 电流 系 落 ，， 才 ，， 。 和 永久磁 体系 访 。 ， 互 相等效 即二者产生 的外部磁场相 同 的 充分且 必要 条件是条件式 ， 它 相 当于如下条件 。 今乙 一 玄 协卜 ， 甲 、 五访 。 林 卜 。 井 户 － 丫 尝艺一 “ ’ 但是 两个 系统的 内部 场 不相 同 润一卜 诗 首 商 。 ， 青 。 一 旦 一 知 一卜 ， 。 斌咔。 。和一 。 推 论 当把 电流 系变换 成等效的 永久磁 体系时 ， 必须 把 自由电流体密度 一》 ， 折 算 成恒定 卜 分子 电流宏观 体密度 乙 卜 ‘ 寸 二 － ， 卜 把 自由电 流面密度 七 ， 折 算成恒定 分 子 电流宏观面 密 度 屯叽 弓卜 争 一》 争 ， 同时要 从电流 系的 内部磁场 强度 中分 出一个分量 。 。 满 足 条 件 ， ， 把它 折 算成恒定磁 化强度访 。 卜青 。 。 因此 诗方 程甲 、 青 言 ，变换 成 卜 川内今各 一 甲 又 三 、 永久磁 体 系和磁 荷系 的一 般等 效条件 由于 至 今并 未发现真实的 磁荷 ， 这里所 谓磁荷 系是指设 想的 与永久磁体系或电流 系相 等 效 的磁荷 系 ， 它 的磁场方程组对偶于 电荷系的 电场方 程组 ， 如 表 的右边所示 。 应 用方 程组 和 于永 久磁 体系的 内部和 表面 上 ， 可得它的 磁场方 程组 ， 如 表 的 左 边所示 。 表 水久磁体系和磁荷 系的磁场方 程组 永久磁体系 。 ， 卜 · 磁荷 系 ，， ， 卜 在 甲 药 一知 二 。 甲 诗 甲 · 件 一 甲 · 卜 。 。 “ 。 甲 · 林 ， 方 …业 一 在 一知 程 …在 一卜 》 一 一》 叫卜 几 · 卜 。 。 一 卜‘ · 卜 。 “ 。 一 争 一》 · 件 。 。 一 林 ‘ ‘ 组 几 叫卜 在 甲 · 二 如 ‘ · 甲 · 二 林 ‘ 方 内 叫卜 叫卜 一 叫卜 程 。 林 ， 。 林 组 比较上列 两个 系统的场方 程组可 知 ， 当且 仅 当 。 ，和 。 、 ，时 ， 两 个 系统 在 区 域 内和边界 上的 场方 程组才相 同 。 另外 ， 由于假设 两个系统在 区域 外的 媒质 相 同

所以二者在V外的H场方程组也相同。这样，两个系统在整个空间（包括区域V内外和边界 S)的H场方程组都是相同的，从而二者在整个空间产生的百场相同，而且二者在区城V外 部的B场(Be=ueHe)也相同，亦即两个系统在区域V外部产生的磁场完全相同。因此得 定理2存在区域V的几何形状、尺寸及内部媒质磁导率μ；都相同且μ，是均匀的永久 磁体系(M。!μ，)和磁荷系（PM,OM,μ：）互相等效（即二者产生的外部磁场相同） 的充分且必要条件是 p=Pwo=-又·μ，M。和0M1=0Ma=.u。。 (6) 阻是两个系统的内部B场不相同：， 官2=官+i。,官。=4。。 (7) 推论当把永久磁体系变换成等效的磁荷系时，必须从永久磁体系的内部磁感应强度 言，中分出恒定磁感应强度分量。=4。M。,在区城V内把B。折算成自由磁荷体密度P: =-7·B。,在表面S上则把B,折算成自由磁荷面密度oM1=n·B。因此，B方程V· 官，=0变换成☑·B,=PM1o 四、电流系和磁荷系的一般等效条件 为了求出电流系和磁荷系的等效条件，我们把它们的磁场方程组改写于表3中： 表3 电流系和磁荷系的磁场方程组 电流系(8，飞1，μ) 磁荷系（PMt,OMt;μ，) 磁 在 口×i,=8, 口×i,=0 7.言1=0 ☑·Bg=pMt 场 内 B,=4,i, B3=u:Ha 方 程 在 Roti,=nx(i。-i,)=飞 Roti,=x(i。-i,)=0 组 上 Diyi1=i(B1。-言1：)=0 Diy言。=i.(言。-B)=0M1 要想使两个系统互相等效（即产生的外部磁场相同），必须使它们的磁场方程组互相等 效，即能够互相进行等效变换。从表3可看出，这相当于要求该二系统在V内和S上的磁场 强度之差： ,-,=。和，-百=直。 (8) 满足下列条件： 了xi。=8,-7·ui=pw, i文，i0} (9) 这里内部煤质磁导率μ可以是不均匀的。反之，容易看出，条件式(8)和(9)也是充分 的，因此得 虐理3存在区成V的几何形状、尺寸及内部媒质磁导率口都相同的电流系（8， ,4)和磁荷系(P,0w1,μ)互相等效（即二者产生的外部磁场相同）的充分且 必要件是条件式(8)和(9)。但是两个系统的内部H场和B场都不相同： 89

所 以 二者在 外的 场方 程组也相 同 。 这样 ， 两个系统在整个空间 包括区域 内外和 边界 的 祥场方 程组都 是 相 同的 ， 从而二者在 整个空 间产生 的青场相同 ， 而且二者在 区域 外 部的 危场 皂 。 一 。 订 。 也相 同 ， 亦 即 两个 系统在 区域 外部产生的 磁场 完全相 同 。 因此得 定 理 存在 区域 的几何形状 、 尺 寸 及 内部媒质磁 导率 林 ‘ 都 相同 日 件 、 是 均匀的 永久 磁 体系 。 协 ‘ 和 磁荷 系 ，， 的充分且 必 要 条件 是 ， 。 二 一 甲 协。 但是 两个系统 的 内部 场 不相 同 。 ，， 协 ， 互 相等效 即二 者产生 的 外 部磁 场 相 同 葫 一》 和 ， ， 。 二 · 件 。 。 一卜 》 扣 争 ， 。 令 际 推 论 当把永 久磁 体系变换 成等效的磁荷 系时 ， 知 一卜 中分 出恒定磁感应 强度 分量 。 一 件 ， 必须 从永久 磁 体系的 内部 磁 感应 强度 在 区域 内把 。 折 算成 自由磁荷 体密度 ‘ 一 甲 · 皂。 ， 在 表面 则 把 。 折 算成 自由磁荷面 密度 ， 二 》 一知 · 。 。 因此 ， 方 程守 。 变换 成 甲 · 。 。 今︸一 四 、 电流 系 和磁 荷 系的一 般等 效条 件 为了求 出电流 系和 磁荷 系的 等效 条件 ， 我们把它 们 的 磁 场 方 程组 改 写 于 表 中 表 电流 系和磁荷 系的磁 场方 程组 电流 系 言 磁荷 系 ， ， ，， 件 斗今 协 ‘ 一 甲今 一 一 如 一 一协 一 冲。各二 卜 令今 州今 一 协 甲分 今七 一 争 卜 一卜 一 》 卜 。 一 书卜 · 。 一 ‘ 》 一争 。 。 一 月卜 卜 一卜 共卜 二 · 。 一 仃 在一内上 磁组场方程 要想使 两个 系统 互相 等效 即产生 的 外 部磁 场相 同 ， 必 须 使它 们 的磁 场 方 程组 互 相 等 效 ， 即 能够 互 相 进 行等效 变换 。 从表 可看 出 ， 这相 当于要求该 二 系统在 内和 上的 磁场 强度之 差 满足下列 条件 门 ‘ 卜 叫卜 一》 书卜 书卜 ， 一 。 和 ， ‘ 一 二 。 ， 刁卜 一卜 一》 甲 。 各 ， 一 甲 · 件 。 ， ， 一 知 一》 ‘ 卜 ‘ 知 弓卜 。 乙 ， ， 协 ‘ 。 ‘ · ， 。 辉里内部媒质磁 导率 。 可 以 是 不均 匀的 。 反 之 ， 容 易 看 出 ， 条件 式 ” 和 也 是 充分 的 ， 、 因此得 ‘ 知 公 ，， 卑娜 卜‘ 存在 区域 的 几何形状 、 尺 寸 及 内部哎质磁导率 林 都相 同的 电流 系 各，， 和磁荷 系 琦，， ，， 卜 互相 等效 即二 者产 生 的外 部磁 场相 同 的 充分且 必要来件是条件式 ’ 和 。 但是 两个系统 的 内部诗场和言场都 不相 同

i1=i+i。,官=言，+u,。 (10) 直接从电流系和永久磁体系的等效条件式(4)和差异式(5)，以及永久磁休系和磁 荷系的等效条件式(6)和差异式(7)，也可推得电流系和磁荷系的等效条件式(8)、 (9)和差异式(10)。 推论设已知区域V内任一电流系(8,1，μ，)内部自由电流体密度方，和表面S 上自由电流面密度飞：的分布，若能求出一个空间点函数H。满足下列条件： V×H。=8,(在区域V内) H。,×n=飞：（在表面S上） (11) H。=0 (在区域V外) 则该电流系有一等效磁荷系（PM1,OM:;μ，)，它的自由磁荷体密度PM1和自由磁荷面密 度·M:的分布分别为： PMI=-又ui。 (在区域V内) (12) oM:=μ，H,:·n(在表面S上) 至于如何在一般情况下具体求出空间点函数H,则是一个有待于进一步研究的问题，不过， 在某些特殊情况下，H。是容易求出的（参看下面的举例）。 五、应用 举例 1.铁心载流螺线管的等效永久碳体和等效碳荷系 设有一个带有铁心的单层载流螺线管，如图1(a),其长度为l,横截面半径为a,匝数为 N,通有恒定电流I,铁心磁导率为μ，，外部媒质磁导率为μe。假设μ.是均匀的。又设匝数 N相当大，可以近似地把螺线管电流看成是均匀分布的面电流，自由电流面密度为 文=a (13) 式中。°为沿电流方向的单位向量，螺线管铁心中的月由电流体密度言，=0。 元， 000000⊙⊙⊙⊙⊙pQ00 H 8的西百0⑧⑧⑧酒西西⑧⑧百 B H 图1 根据等效条件式(4)，可求得等效永久磁体的恒定磁化强度M。是均匀的，其大小为 M=:=:(在v内肉) (14) 其方向沿着园柱铁心的轴线，且与电流1的方向组成右手螺旋关系，即沿着单位向量k的方 90

争 一卜 一》 ， ‘ 》 一 。 ， 卜 。 。 直接从 电流 系和 水 久磁体系的 等效 条件式 和 差异 式 ， 以 及永久磁 体系和磁 荷系的 等效条件式 和 差异 式 ， 也可推得 电流 系和磁荷系的 等效条件式 、 和差异 式 。 推 论 设 已知 区域 内任 一 电流系 各‘ ， 仁 ，， 件 ‘ 内部 自由电 流体密度 上 自由电流面 密度它 ， 的 分布 ， 若 能求出一个空 间点函数首 。 满足 下列 条件 甲 火 。 乙， 在 区 域 内 。 乙 在 表面 上 和 表面 则 该 电流系有一 等效磁荷 系 度 如 的 分布分别为 一 “ 卜 、 ， 它的 自由磁荷体密度 ， 和 自由磁荷 面 密 一 一 卜 甲 袱卜 。 林 昌 。 在 区域 内 ’ 飞 在 表 面 上 至 于如何在 一般情 况琴 体求出空 间点函数 。 ， 则是 一 个有待于 进一 步研 究的 问题 ， 不过 ， 在 某些特 殊情况下 ， 。 是容易求 出的 参看 下面 的举例 。 五 、 应 用 举 例 铁心 载流螺线 的称效永久磁 体和等效磁荷系 设有一个带有铁心的 单层 载流螺线 管 ， 如 图 ， 其长度 为 ， 横截 面半径为 ， 匝数为 ， 通 有恒定 电流 ， 铁心磁 导率 为 件 ， 外 部媒质磁 导率为 卜 。 假设 卜 是均匀的 。 又设 匝数 相 当大 ， 可 以近 似地 把螺线管 电流 看 成是 均匀分 布的 面 电流 ， 自由电流面密度为 寸 今 屯 ‘ 二 气二 ’ ‘ 式中 。 为沿电流方向的 单位 向量 ， 螺线管铁心 中的 自由电流体密度 乙， 二 。 色 悦 ’ 口几夕 竺龟 一 子忽卜 一」 ， 一 一 ‘ 刁 ，口 周卜‘ 一 解】 丫 减 父 伙 风 减 减 入 减 洪 洲 “ ，牙 、 朴 图 根 据 等效 条件式 ， 可求得等效 永久磁体的 恒定磁 化强度 。 是 均匀 的 ， 其大小为 林 ‘ 卜 ‘ 二 一 － ‘ 林 － 。 一 林 。 在 内 其方向沿着 园柱铁心 的 轴线 ， 且 与电流 的 方 向组 成右手螺旋关 系 ， 即 沿着单位 向量 的方

。 根据等效条件式（8)和（9)或(11)、（12)，可求得等效磁荷系的自由磁荷体密 度Pw:和面密度oM1及空间点函数H。如下： 。=平文（作Y肉） 0 (在V外) PM:=-又·L,i。=0(在V内) (15) NI o,=4。.2=J’1 (在园柱V的右底面上.) NI ,一μ：（在园柱V的左底面上） 三个系统产生的外部磁场完全相同，但是内部磁场不同： i2=i,=i-i。 (16) 官，=官=官。+u.百。了 如图1(a)、(b)和(c)所示，图中画出了中心轴线上的B、H向量示意图，其他地方的言、 H向量一般含有轴向和径向两个分量。 2.闭线电流的等效碱偶限 如果上述的铁心载流螺线管的匝数N减小到N=1,并且长度I缩短到l《a,则它变成了 单匝的闭线电流I,而等效磁荷系变成一个均匀的等效磁偶层（或称磁壳），它的磁壳强度为 mMisov:l=u,I (17) 式中μ，是闭线电流所带薄片铁心的磁导率，也是等效磁壳的内部磁导率：。 8.元电流的等效元碰壳 如果考察的场点与上述闭线电流中心的距离「远大于电流回路上的点到其中心的最大距 离，则可把该闭线电流看成一个元电流。它的磁矩为 m=3 (18) 式中S为该闭线电流的面积向量。这时它的等效磁壳可看成一个元磁壳，它的磁偶极矩为 PM:=nM,3=u前 (19) 对于空心的螺线管、闭线电流和元电流，可令式(15)、(17)和(19)中的μ，=μ， 就得到-一般电磁学和电磁场理论书籍中所写的公式。 参考文献 〔1)J.D.K ra us著，安绍萓译，《电磁学》，PP.239-254,人民邮电出版社，1979 〔2)1.E.TAMM著，钱尚武、赵祖森译，《电学原理》上册，PP.225-243,商务 印书馆，1956。 :.气3)1，E.TAMM著，钱尚武，赵祖森译，《电学原理》下册，PP.269-281,318- 321,商务印书馆，1955。 〔4)冯慈璋主编，《电磁场》，PP.129-140,人民教育出版社，1979。 91

自 。 根据等效条件式 度 。 ，和 面 密度 ， 和 或 、 可求得等效磁荷系 的 自由磁荷体密 及空 间点函数 。 如 下 … 、 廿 户 户 尹卫‘ ， 下厂 代卜 ， 一 守 「， 。 “ ’ 二 件 ， 青 。 · 了 在 勾 在 外 在 内 ‘ 一 峥 在 园 柱 的 右底面 上 ︸ 几 十 卜 一 一 卜 ‘ 在 园柱 的 左底 面 上 三个 系统 产生 的外 部磁 场完全相 同 ， 但是 内部磁场 不同 一争 一 ‘ 》 二 ， 一 一卜 知 卜 ‘ ， 、 ‘ 今 今 如 图 、 和 所示 ， 图 中画 出了中心 轴线 上的 、 侧争 向量 一般 含有轴 向和 径向两个分 量 。 闭线 电流 的等效磁偶 层 向量示意图， 其他 地 方的毛 、 如果 上述的 铁心 载流 螺线管的 匝数 减小到 二 ， 并且 长度 缩短 到 《 ， 则它 变成 了 单匝的 闭线 电流 ， 而等效磁荷 系变成一个均匀的 等效磁 偶层 或称 磁壳 ， 它的磁壳 强度为 ” “ “ 卜 式 中 卜 是 闭线 电流所带 薄片铁心 的磁 导率 ， 也是 等效磁 壳的 内部磁 导率 。 元 电流 的等效元成 宪 气 如果考察的 场 点 与上述 闭线 电流 中心 的距 离 远 大于 电流 回路 上的 点到 其 中心 的 最大距 离 ， 则可 把该 闭线 电流看 成一 个元 电流 。 它 的 磁 矩 为 叫卜 一加 式 中 为该 闭线 电流 的 面 积 向量 。 这时它 的 等效磁壳可 看成一个元磁壳 ， 兰 一卜 二 协 它 的 磁偶极矩为 对于空 心的 螺线管 、 闭线 电流 和 元 电流 ， 可 令 式 、 和 中的 林 、 协 。 ， 就得 到一般 电磁 学和 电磁场 理论 书籍 中所 写 的公 式 。 参 考 文 献 〕 〔 〕 著 ， 安 绍置译 ， 著 ， 钱 尚武 、 印 书馆 ， 。 著 ， 钱 尚武 ， ， 商务印书馆 ， 。 冯慈璋主编 ， 《 电磁 场 》 ， 电磁学 》 ， 一 ， 人 民邮 电出版社 ， 赵祖森译 ， 《 电学原 理 》 上册 ， 一 ， 商务 赵 祖森译 ， 《 电学原理 》 下册 ， 一 ， 人 民教育出版社 ， 一 ， 一 。 、子‘ 、产‘沪