长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第3章 连续系统的拉普拉斯变换分析 3.1 拉普拉斯变换和收敛域 3.2 拉普拉斯变换的性质

長江大学息第3章连续系统的拉普拉斯变换分析讨论拉普拉斯变换及拉普拉斯变换反变换运用拉普拉斯变换方法求解微分方程运用拉普拉斯变换方法求解动态电路。讨论系统函数零极点与系统响应的关系理解系统的两种稳定性概念讨论系统的方框图表示和信号流图表示。运用梅森公式分析和构成系统研究系统的频率响应。理解滤波器的概念长江大学教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社

教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社 1 第3章 连续系统的拉普拉斯变换分析 ◆讨论拉普拉斯变换及拉普拉斯变换反变换。 ◆运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。 ◆运用拉普拉斯变换方法求解动态电路。 ◆讨论系统函数零极点与系统响应的关系。 ◆理解系统的两种稳定性概念。 ◆讨论系统的方框图表示和信号流图表示。 ◆运用梅森公式分析和构成系统。 ◆研究系统的频率响应。理解滤波器的概念

3.1拉普拉斯变换和收敛域单边拉普拉斯变换对于因果信号， F(s)-「。f(t)e-"dt记 F(s) = If(t))称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。F(s)e''dst>0f(t) =2元jg-joo记 f(t)=-[F(s)]称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)F(s)吴山大学电信学院

电信学院 2 3.1 拉普拉斯变换和收敛域 ⚫ 单边拉普拉斯变换 对于因果信号，   − − = 0 F(s) f (t)e dt s t 称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。 ( ) 0 2 1 ( ) =   +  −  F s e ds t j f t j j s t    称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s) 记 F(s) = L [ f (t)] 记 f (t) = L -1 [F(s)]

拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域joF(s)=If(t)e-"dt收敏域若存在常数o，使 ReLs]=>oiO0C则 t→时，f(t)e-at →0故，收敛域为 Re[s]=>oi,双边拉普拉斯变换的收敛域joF(s)-/f(t)e-sdt收数域若存在两个常数,和2，使得02COlim f(t)e- =0 Re[s] >oilim f(t)e- =0 Re[s]<o2故，收敛域为 <Re[s]<2吴江大学电信学院

电信学院 3 拉普拉斯变换的收敛域 ⚫ 单边拉普拉斯变换的收敛域   − − F s = f t e dt s t ( ) ( ) 若存在常数1，使 Re[s]= ＞1 则 t→时，f(t)e-t →0 故，收敛域为 Re[s]= ＞1，   − − = 0 F(s) f (t)e dt s t 若存在两个常数1和2，使得 j  0  1 ⚫ 双边拉普拉斯变换的收敛域 lim ( ) = 0 − → t t f t e  Re[s]＞1 lim ( ) = 0 − →− t t f t e  Re[s]＜2 故，收敛域为 1＜Re[s]＜2 j  0  1  2 收 敛 域 收 敛 域

例3.1儿右边信号求f(t)=e-atε(t)的拉普拉斯变换，其中：a>0解：F(s)-e($+a)"dt=e-(a+ale-jo'dt =--s+a为保证收敛，有a+>0，故收敛域为>一ajo收敛域a吴山大学电信学院

电信学院 4 例 3.1 求 f (t)= e -a t (t)的拉普拉斯变换，其中：a >0 解：    − + −  − + + = = = 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) s a F s e dt e e dt s a t  a t j t 为保证收敛，有a+＞0，故收敛域为＞－a j  −a 0 收 敛 域 ⚫ 右边信号

例3.1左边信号求f(t)=-e-ats(-t)的拉普拉斯变换， 其中：a>0解:F(s)=--{~ e-(a+a)'dt --{~ e-(aae-jo'd --s+a为保证收敛，有a+<0，故收敛域为<-atjo收敛域0-a0吴山大学电信学院

电信学院 5 例 3.1 求 f (t)= -e -a t (-t)的拉普拉斯变换，其中：a >0 解：   − − + − − − + + = − = − = 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) s a F s e dt e e dt s a t  a t j t 为保证收敛，有a+<0，故收敛域为<-a j  −a 0 收 敛 域 ⚫ 左边信号

例3. 1组合的右边信号求 f (t)=e-tε(t)+ e -2tε(t)的拉普拉斯变换。一解: F(s)-]。e'e"dt+J。e"'e"dts+1s+2第一项的收敛域 Re[s]>一1,jo第一项的收敛域Re[sl>一2，收域为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为Re[sl>-1。吴山大学电信学院

电信学院 6 例 3.1 求 f (t)= e –t (t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变换。 解： 第一项的收敛域 Re[s]＞－1，    − −  − − + + + = + = 0 2 0 2 1 1 1 ( ) s s F s e e dt e e dt t s t t s t 第二项的收敛域 Re[s]＞－2， 为保证收敛，取公共收敛域， 其收敛域为Re[s]＞－1。 j  − 2 −1 0 收 敛 域 ⚫ 组合的右边信号

例 3. 1双边信号求 f (t)= -e ~te(-t)+e -2tε(t)的拉普拉斯变换解: F(s)--}"e'e"dt+J,e-"e"dt二s+1s+2第—项的收敛域一2,收敛域为保证收敛，取公共收敛域S福10其收敛域为一2<<一1。吴山大学电信学院

电信学院 7 例 3.1 ⚫ 双边信号 求 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变换。 解： 第一项的收敛域 <－1， 第二项的收敛域 ＞－2， 为保证收敛，取公共收敛域， 其收敛域为－2 <  < －1。 j  − 2 −1 0 收 敛 域    − − − − − + + + = − + = 0 2 0 2 1 1 1 ( ) s s F s e e dt e e dt t s t t s t d

说明几点f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的右边信号，只要?取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样但时间函数（原函数）相差很大。这主要区别在于收敛域。见例1和例2。(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。吴江大孚电信学院

电信学院 8 说明几点 ⚫ f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s) 时应指明其收敛域。 ⚫ 在实际存在的右边信号，只要取得足够大，总 是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一 定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收 敛域。 ⚫ 两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数 (原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见 例１和例２。 ⚫ f(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公 共部分（重叠部分）为其收敛域

三个基本函数的拉普拉斯变换具指数函数f(t)=esote(t)So为复常数1F(s)=]。ee"dt-]。e(-0'dt =-S-So即e'e(t)Re[s] >Re[so]S-So工令s=±α实数，则eαe(t)Re[s]>±αSfαT令 ss=iβ虚数，则 e±iptc(t)-Re[s]>0Sfjβ吴山大学电信学院

电信学院 9 三个基本函数的拉普拉斯变换 ⚫ 指数函数 f (t)=e s0t(t) s0为复常数。    − −  − − = = = 0 0 ( ) 0 1 ( ) 0 0 s s F s e e dt e dt s t s t s s t 即 Re[s]＞Re[s0 ] 0 1 ( ) 0 s s e t s t −   令 s0 =  实数， 则 ， Re[s]＞    s  e t t 1  ( )  令 s0 = j 虚数， 则 ， Re[s]＞0    s j e t j t  1  ( ) 

三个基本函数的拉普拉斯变换慧单位阶跃函数ε(t)已知eoe(t)一Re[s] >Re[so]S-So ε(t) - Re[s]>0令上例中so=0。则S单位冲激函数S(t)F(s)-J。8(0)e"dt -18(t) 1Re[s]>-00吴山大学电信学院

电信学院 10 三个基本函数的拉普拉斯变换 ⚫ 单位阶跃函数 (t) 令上例中s0=0。则 Re[s]＞0 s t 1  ( )  ⚫ 单位冲激函数 (t) ( ) ( ) 1 0 = =   − − F s t e dt s t    (t) 1 Re[s]＞-∞ 已知 Re[s]＞Re[s0 ] 0 1 ( ) 0 s s e t s t −  