长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第5章 离散系统的Z变换分析 5.1 Z变换及收敛域 5.2 Z变换的性质 5.3 反Z变换

精品课程网站長江大学息第5章离散系统的z变换分析讨论单边z变换的定义和性质以及z反变换。运用变换方法求解差分方程讨论系统函数与及其零极点与系统响应的关系。理解系统的稳定性和因果性讨论系统的方框图表示和信号流图表示。应用梅森公式分析和构成系统讨论系统的频率响应。长江大学教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社

精品课程网站 教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社 1 第5章 离散系统的Z 变换分析 ⚫讨论单边z变换的定义和性质以及z反变换。 ⚫运用z变换方法求解差分方程。 ⚫讨论系统函数与及其零极点与系统响应的关系。 ⚫理解系统的稳定性和因果性。 ⚫讨论系统的方框图表示和信号流图表示。 ⚫应用梅森公式分析和构成系统。 ⚫讨论系统的频率响应

与连续系统比较离散系统也可用类似于分析连续系统所采用的变换法进行分析。在分析连续系统时，经过拉氏变换将微分方程变换为代数方程，从而使分析简化。在分析离散系统中，乙变换的地位的作用类似于连续系统中的拉氏变换，利用变换把差分方程变换为代数方程，从而使离散系统的分析大为简化。爱山大学电信学院

电信学院 2 与连续系统比较 ⚫ 离散系统也可用类似于分析连续系统所采用的 变换法进行分析。 ⚫ 在分析连续系统时，经过拉氏变换将微分方程 变换为代数方程，从而使分析简化。 ⚫ 在分析离散系统中，Z变换的地位的作用类似 于连续系统中的拉氏变换，利用Z变换把差分 方程变换为代数方程，从而使离散系统的分析 大为简化

5.1Z变换及收敛域慧Z变换定义f(k)zk 双边z变换F(z)=Lf(k)l=K=-00F(=) =%[f(k))=E f(k)=-k单边Z变换k=0f(k) < F()吴江大学电信学院

电信学院 3 5.1 Z 变换及收敛域 ⚫ Z变换定义   =− − = = k k F(z) Z [ f (k)] f (k) z 双边Ｚ变换   = − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) k k F z Z f k f k z 单边Ｚ变换 f (k)  F(z)

例5.1求序列f(k)=akε(k)的z变换10解: F(=)=Za'e(k)=-Z(~)Z平面k=0zk=-00O0aa为保证收敛，则α12F(z)[z>/αl1-(9)z-0若a=1,则(k)1z-1吴江大学电信学院

电信学院 4 例 5.1 求序列 f(k)= a k (k) 的Z变换。 解： 为保证收敛，则 j  0 a 收敛域    =  =− − = = 0 ( ) ( ) ( ) k k k k k z a F z a  k z 1 z a 或 | z|| a |  Z平面 | | | | 1 ( ) 1 ( ) z a z a z F z z a  − = −  = | | 1 1 ( )  −  z z z 若 a = 1, 则  k

例5.2儿求序列 f(k)= -akε(-k-1)的z变换。解: F()--a'e(-k-1)--(2)joZ平面-2()-1-2()k=lak=0aa收敏域为保证收敛，则三<1或「zαlaF()=z<al1-()Z-0吴江大学电信学院

电信学院 5 例 5.2 求序列 f(k)= -a k (-k-1)的Z变换。 解： 为保证收敛，则 j  0 a 收敛域   − =−  =− − = − − − = − 1 ( ) ( 1) ( ) k k k k k z a F z a  k z 1 a z 或 | z|| a |  Z平面    =  = = − = − 1 0 ( ) 1 ( ) k k k k a z a z | | | | 1 ( ) 1 ( ) 1 z a z a z F z a z  − = −  = −

例5.3慧tJo求序列f(k)=(1/3)Al的Z变换7平面解: F()=Z()=t =()*=*+()*=-kk=06Z(=)*+()收敛域k=lk=0z1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。2当当4Ek3时：F(C)-号+（-3-)3零点：0，极点：3，1/3泰大学电信学院

电信学院 6 例 5.3 求序列 f(k)= (1/3)|k| 的Z变换。 解：  3 0 1 收敛域  Z平面     = − − =− − −  =− − = = + 0 3 1 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k F z z z z    =  = = + 0 3 1 1 3 1 ( ) ( ) k k z k k z 3 1 z − z |z|>1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。 j |z|<3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。 − 3 − z z | | 3 3 1 当  z  时： 3 ( 3)( ) ( ) 3 1 3 8 3 1 − − − = − + − − = z z z z z z z F z 零点：0，极点：3，1/3 3 

Z变换的收敛域营收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷大，Z变换不收敛。f(k)各子信号的z变换存在不同收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。若无公共收敛域，z变换不存在。对于单边z变换，反变换是唯一的；确定反变换不必标出收敛域。为此，在单边z变换中一般不给出收敛域。吴山大学电信学院

电信学院 7 Z变换的收敛域 ⚫ 收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷 大，Z变换不收敛。 ⚫ f(k)各子信号的z变换存在不同收敛域时，取其公 共部分（重叠部分）为其收敛域。若无公共收敛 域，z变换不存在。 ⚫ 对于单边z变换，反变换是唯一的；确定反变换不 必标出收敛域。为此，在单边z变换中一般不给出 收敛域

几个常用信号的Z变换儿单位冲激函数8(k) ← 1指数函数ake(k)az-a(k)[z/>1Z-12ejBke(k)1z-ejB吴江大学电信学院

电信学院 8 几个常用信号的Z变换 ⚫ 单位冲激函数 (k)  1 ⚫ 指数函数 z a z a z a k k  −  ( )  | | | | 1 1 ( )  −  z z z  k ( ) | | 1 −  z z e z e k j j k   

5.2Z变换的性质返回尺度变换a f(k)-Fa移序性质●单边序列f(k-m)c(k -m)<z-"F(z)f(k-m)e(k)-="[F(2)+ Z(k)="]k=-mf(k +m)e(k) -z"[F(2)-f(k)zh]k=0吴江大学电信学院

电信学院 9 5.2 Z变换的性质 返回 ⚫ 尺度变换        a z a f k F k ( ) ⚫ 移序性质 ◆单边序列 f (k m) (k m) z F(z)  −m −  −  − =− − − −  + 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] k m m k f k m  k z F z f k z  − = − +  − 1 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] m k m k f k m  k z F z f k z

例5.4慧正弦函数sinβk-e(k)1(eiBke-iBk)e(k)sin βk·ε(k)2j1 z(z-e-ii)-z(z-eiβN%[sin βk-ε(k)] z-e-jz-eB2j=2-z(eiB +e-i)+12jzsin β[z>122 -2zcos β+1余弦函数cosβk·8(k)z(z-cos β)同理可证：cos βk·ε(k)12-2zcos β+1吴江大学电信学院

电信学院 10 例 5.4 ⚫ 正弦函数 sink·(k) ( ) ( ) 2 1 sin ( ) e e k j k k j k j k     −   = − ⚫ 余弦函数 cosk·(k) 同理可证： | | 1 2 cos 1 ( cos ) cos ( ) 2  − + −   z z z z z k k     ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 [sin ( )] 2 − + + − − − =        − − −  = − − −         j j j j j j z z e e z z e z z e z e j z z e z j Z k k | | 1 2 cos 1 sin 2  − + = z z z z  