具5.5.3因果性与稳定性系统的因果性在时域中，当激励f(k)=0,k在H(z)中不会出现Z的正幂;H(z）的收敛域必在某圆外：>在下式中，只有m≤nzm-l + ...... + b,z + bob+bzm一H()=a,z"+a+......+a,z + ao吴山大学电信学院
电信学院 1 5.5.3 因果性与稳定性 ⚫ 系统的因果性 ◆在时域中，当激励 f(k)=0, k<0时，有yzs(k)=0, k<0。 或单位冲激响应h(k)=0, k<0。则该系统为因果系统。 即因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统。 ◆在Z域中，因果系统的判定： ➢ 在H(z)中不会出现Z的正幂； ➢ H(z)的收敛域必在某圆外； ➢ 在下式中，只有 m n 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) a z a z a z a b z b z b z b H z n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − −
系统的稳定性具BIBO稳定性在时域中，若当k→>8时，有h(k)=0，且Z(h(k)≤M式中M为有限正常数称稳定系统。也称为BIBO稳定在域中，对因果系统而言如果的全部极点都在单位圆内，那么在中的全部项都是衰减的指数从而是绝对可加的。结果这个系统是BIBO稳定的，否则系统是BIBO不稳定的。吴山大学电信学院
电信学院 2 系统的稳定性 ⚫ BIBO稳定性 ◆在时域中, 若当 k→时，有h(k)=0，且 式中M为有限正常数，称稳定系统。也称为BIBO稳定. ◆在z域中，对因果系统而言，如果的全部极点都在单位 圆内，那么在中的全部项都是衰减的指数，从而是绝 对可加的。结果这个系统是BIBO稳定的，否则系统是 BIBO不稳定的。 =− k | h(k) | M
系统的稳定性具内部稳定性系统函数的极点都在平面的单位圆内（不包括单位圆本身），系统是渐近稳定的。这些极点可以是重极点或单极点。至少有一个极点在单位圆外或（和）在单位圆上有重A极点。系统是不稳定的。在单位圆上有单极点此系统是边界稳定的。泰山大学电信学院
电信学院 3 系统的稳定性 ⚫ 内部稳定性 ◆系统函数的极点都在z平面的单位圆内（不包括单位圆 本身），系统是渐近稳定的。这些极点可以是重极点 或单极点。 ◆至少有一个极点在单位圆外或（和）在单位圆上有重 极点。系统是不稳定的。 ◆在单位圆上有单极点，此系统是边界稳定的
具MATLAB确定零极点的位置2-1 +2z 2 + z-3系统函数H(z) =2 +4.5z-1 -0.5z-2 +3z-3 +2z1.5程序b=[012 1 0];0.5eeaea[24.5-0.532];zplane(b,a);-0.5-1-1.5-2-2.5-1.5-1-0.500.5Real Part吴山大学电信学院
电信学院 4 MATLAB确定零极点的位置 ⚫ 系统函数 ⚫ 程序 ◆ b=[0 1 2 1 0]; ◆ a=[2 4.5 -0.5 3 2]; ◆ zplane(b,a); 1 2 3 1 2 3 4 2 ( ) 2 4.5 0.5 3 2 z z z H z z z z z − − − − − − − + + = + − + +
系统的强迫响应具系统的零状态响应II(=-z)) II(2-z)Y.(2)= H(2)F(2) =-K _-I1=1nmII(z-p,) II(z-p,)i=1 j=1zKzKZZxz-piz-pj=1i=l强迫响应，输入信号F（z)自由响应，系统函数H(z)的极点展开的项的极点展开的项y= (k) = y,(k)+y,(k)-Ek,(p,)" +Ek,(p,)*k≥0i=1=吴江大学电信学院
电信学院 5 系统的强迫响应 ⚫ 系统的零状态响应 = = = = = = − + − = − − − − = = m j j j n i i i m j j u l l n i i m j j z s z p zK z p zK z p z z z p z z Y z H z F z K 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 自由响应, 系统函数H(z) 的极点展开的项 强迫响应, 输入信号F(z) 的极点展开的项 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 = + = + = = y k y k y k K p K p k m j k j j n i k z s h p i i
系统的强迫响应具强迫响应，输入信号F(）的极点决定输入信号 f(k)=αε(k)Y,(2) = H(z)Yh(z)+ Y,(z)一z-αzK自由响应，系统函数Y,(2) =H(z)的极点决定z-αK = H(z) _-α= H(α)强迫响应为y,(k) = H(α)α e(k)输入信号f(k) =ε(k)强迫响应为y,(k) = H(1)s(k)吴山大学电信学院
电信学院 6 系统的强迫响应 ⚫ 输入信号 f (k) (k) k = ( ) ( ) Y (z) Y (z) z z Y z H z z s = h + p − = 自由响应, 系统函数 H(z)的极点决定 强迫响应, 输入信号 F(z)的极点决定 − = z zK Y z p ( ) ( ) () K = H z z= = H y (k) H( ) (k) k p ◆强迫响应为 = ⚫ 输入信号 ◆强迫响应为 y (k) H(1) (k) p = f (k) = (k)
具例5.15已知系统函数z +1.1H(2) =(z - 0.1)(z + 0.3)输入信号 f(k)= 4(0.5)ε(k)求强迫响应。解车输入信号的极点p=0.51.6H(2) _-0.5=5(0.4)(0.8)强迫响应为y,(k) = 5 ×4(0.5)*s(k) = 20(0.5)*(k)吴江大学电信学院
电信学院 7 例 5.15 ⚫ 已知系统函数 ⚫ 输入信号 求强迫响应。 ⚫ 解 输入信号的极点p=0.5 ( 0.1)( 0.3) 1.1 ( ) − + + = z z z H z f (k) 4(0.5) (k) k = 5 (0.4)(0.8) 1.6 ( ) H z z=0.5 = = 强迫响应为 y (k) 5 4(0.5) (k) 20(0.5) (k) k k p = =
例5.16具2z-1已知系统函数H()=求它对f(k)=6c(k)2+0.52+0.5的稳态响应yss(k)。解：因为对k≥0，输入是常数，输入信号的极点p=l,H(1)= 0.5故，稳态响应为yss (k) = 6 ×0.5 = 3e(k)吴山大学电信学院
电信学院 8 例 5.16 已知系统函数 ，求它对 f (k) = 6 (k) 的稳态响应yss(k)。 故，稳态响应为 0.5 0.5 2 1 ( ) 2 + + − = z z z H z 解：因为对 k 0 ，输入是常数，输入信号的极点p=1， H(1) = 0.5 y (k) 6 0.5 3 (k) s s = =
具系统的正弦稳态响应返回系统函数与复指数信号yzs(k) =h(k) * f(k)= h(k) * zk8Zhi)=h(i)2kl=2k1=-001=-00yz (k)= H(z)=k本征信号=ejinejok-H(ejo)ejokZ-两边取实部，得出 cosQk= Re[H(ej?)ej2k]H(ejg) - H(ejg) /ejzH(ea)cos Qk = /H(ej) / cos[Qk + ZH(ej)]吴山大学电信学院
电信学院 9 ⚫ 系统函数与复指数信号 ⚫ 令 系统的正弦稳态响应 返回 本征信号 =− − =− − = = = = i k i i k i k z s h i z z h i z y k h k f k h k z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k zs y (k)= H(z)z = j z e j k j j k e H e e ( ) 两边取实部，得出 cos Re[ ( ) ] j j k k H e e ( ) ( ) | ( ) | = j j j j H e H e H e e cos | ( ) | cos[ ( )] + j j k H e k H e
系统的正弦稳态响应对于稳定的系统，#系统函数H(Z）的极点都在单位圆内，输入信号为f(k) = Acos(Qk + 0)c(k)自由响应将随时间的增加而衰减，仅留下正弦分量的强迫响应。也称为正弦稳态响应yss(k) = A | H(ej°) | cos[Qk +0 + ZH(ej? )]c(k)吴山大学电信学院
电信学院 10 系统的正弦稳态响应 ⚫ 对于稳定的系统，系统函数H(z)的极点都在单位圆 内，输入信号为 ⚫ 自由响应将随时间的增加而衰减，仅留下正弦分 量的强迫响应。 ⚫ 也称为正弦稳态响应。 f (k) = Acos(k +) (k) y (k) A | H(e ) | cos[ k H(e )] (k) j j s s = + +