长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第9章 系统的状态变量分析

精品课程网站長江大学息第9章系统的状态变量分析建立状态、状态变量和状态方程的概念，讨论电网络的状态方程建立。讨论由微分方程或系统函数所描述系统的状态方程。状态方程的计算机解长大学教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社

精品课程网站 教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社 1 第9章 系统的状态变量分析 ⚫ 建立状态、状态变量和状态方程的概念。 ⚫ 讨论电网络的状态方程建立。 ⚫ 讨论由微分方程或系统函数所描述系统的状 态方程。 ⚫ 状态方程的计算机解

经典的和现代的系统理论经典的系统理论前面各章关于系统的理论属经典的线性系统理论它具有明显的局限性未能全面揭示系统的内部特性不容易有效地处理多输入-多输出系统。现代的系统理论状态空间分析法不仅能用于多输入多输出系统福也能成功地用来描述非线性系统或时变系统并且易于借助计算机计算。吴山大学电信学院

电信学院 2 经典的和现代的系统理论 ⚫ 经典的系统理论 ◆前面各章关于系统的理论属经典的线性系统理论，它具 有明显的局限性， ◆未能全面揭示系统的内部特性， ◆不容易有效地处理多输入－多输出系统。 ⚫ 现代的系统理论 ◆状态空间分析法不仅能用于多输入－多输出系统， ◆也能成功地用来描述非线性系统或时变系统， ◆并且易于借助计算机计算

9.1 状态模型慧描述系统的两种方法：输入一输出描述法：主要表达输入信号与输出信号之间的关系只关心系统的输入和输出的有关变量，而不涉及系统内部称外部表达法状态变量描述法：是以系统内部某些变量作为状态变量这种描述法表达出系统的全部状态和性能构成了对系统的内部描述，称为内部表达法。状态和状态变量：对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量）它满足两条：只要知道tt.时这组变量和t.的输入函数；决定t≥t.的系统的全部的其它变量系统的状态变量不是惟一的。吴江大学电信学院

电信学院 3 9.1 状态模型 ⚫ 描述系统的两种方法： ◆输入－输出描述法：主要表达输入信号与输出信号之间 的关系，只关心系统的输入和输出的有关变量，而不涉及系 统内部，称外部表达法。 ◆状态变量描述法：是以系统内部某些变量作为状态变量， 这种描述法表达出系统的全部状态和性能，构成了对系统的 内部描述，称为内部表达法。 ⚫ 状态和状态变量： 对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为 状态变量），它满足两条： ◆只要知道t=t0时这组变量和tt0的输入函数； ◆决定tt0的系统的全部的其它变量。 ⚫ 系统的状态变量不是惟一的

例9.1慧图示RLC并联电路，选电感电流（用x表示）、电容电压（用x表示）为状态变量。写出状态方程dx, (t)dx, (t)解ic(t)=Cx2(t) = LdtdtR一ir(t)+x(t)+ic(t)=is(t)is(t))A1ir(t)=x2(t)R1ic(t)一xz(t) -x,(t)+is(t)IRdx,(t)1状态方程写成矩阵的形式为x(t)?Ldt31-1 11-162dx,(t)I[-x,(0) -=x,(0)+ is (0)]CdtR吴江大学电信学院

电信学院 4 例 9.1 ⚫ 图示RLC并联电路，选电感电流(用x1表示)、电容电压(用x2 表示)为状态变量。写出状态方程。 ⚫ 解 − + 2 i (t) x S R i 1 x C i R L C ( ) 1 ( ) 2 x t R i t R = dt dx t x t L ( ) ( ) 1 2 = dt dx t i C t C ( ) ( ) 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i t x t i t i t R + + C = S        = − − + = ( ) ( )] 1 [ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 x t i t R x t dt C dx t x t dt L dx t S ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 x t x t i t R i t C = − − + S ( ) 1 0 1 1 0 1/ 2 1 2 1 i t x C x C RC L x x  S      +            − − =        状态方程写成矩阵的形式为

系统的状态变量表达式系统动态方程由两部分组成：状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应一般形式为：连续系统状态方程x(t) = Ax(t) + Bf(t)输出方程y(t) = Cx(t) + Df(t)其中x(t)为状态变量的一阶导数状态方程离散系统x(k +1) = Ax(k) + Bf(k)输出方程y(k) = Cx(k)+ Df(k)吴山大学电信学院

电信学院 5 系统的状态变量表达式 ⚫ 系统动态方程由两部分组成： ◆状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。 ◆输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应。 ⚫ 一般形式为： ◆连续系统 x (t) = Ax(t)+ Bf(t) y(t) = C x(t) + Df (t) 其中 x (t) 为状态变量的一阶导数 状态方程 输出方程 ◆离散系统 x(k +1) = Ax(k) + Bf (k) y(k) = C x(k) + Df (k) 状态方程 输出方程

9.2连续系统状态方程的建立门直接编写电路的状态方程：步骤选择状态变量：选取独立的电容电压和独立的电感电流2作为系统的状态变量。对选定的每一个电感电流一列写一个包括此电流一阶导数的回路电压方程：对选定的每一个电容电压，列写一个包括此电压一阶导数的节点电流方程消去非状态变量写成标准形式吴山大学电信学院

电信学院 6 9.2 连续系统状态方程的建立 ⚫ 直接编写电路的状态方程： 步骤 ◆选择状态变量：选取独立的电容电压和独立的电感电流 作为系统的状态变量。 ◆对选定的每一个电感电流，列写一个包括此电流一阶导 数的回路电压方程； ◆对选定的每一个电容电压，列写一个包括此电压一阶导 数的节点电流方程。 ◆消去非状态变量。 ◆写成标准形式

例9.2具1y2(0)A+列写电路的状态方程和输出方程。33x2(t)R,解列写连接电容支路的A节点电流方程is(t)Ou和含有电感的回路电压方程。[y.(t)x(t)D1C. x,(t) = x2 (t) +[us(t) - x,(t)]R2L . x,(t)= -x (t)+ R[is(t) - x2(t)整理可得状态方程11x=u.(t)+XR,CR,CCR,R1x(t)+s(t)X2LLL输出方程为yi(t) = -Rx2(t)+ R,is(t)1882812 yz(t) = x,(t) -us(t)吴山大学电信学院

电信学院 7 例 9.2 − + − + L ( ) 2 x t A + − ( ) 2 y t ( ) 1 y t R2 R 1 C ( ) 1 x t i (t) S u (t) S 列写电路的状态方程和输出方程。 解 列写连接电容支路的A节点电流方程 和含有电感的回路电压方程。       = − + −  = + − ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 L x t x t R i t x t u t x t R C x t x t S S   整理可得状态方程        = − − + = − + + ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 i t L R x t L R x L x u t R C x C x R C x S S                                         − − −       ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 i t u t L R R C x x L R L R C C x x S S ＝ ＋   输出方程为    = − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 y t x t u t y t R x t R i t S S              − +             − =      ( ) ( ) 1 0 0 ( ) ( ) 1 0 0 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 i t R u t x t R x t y t y t S S

补充例题如图所示电路，以x（t)为输出。列写状态方程，并写成矩阵形式，指出A、B、C、D矩阵。1H1Hx(t)x(t)解： x =-x, + f(t)-x3Xx2 = x3 -x2 - f (t)+12foox=XA矩阵为B矩阵为x(t)卡1FO状态方程为：10专xD矩阵为C矩阵为输出方程为XJi)y(t) =[00] x +[0 0]fz(t)[x3]吴江大学电信学院

电信学院 8 补充例题 如图所示电路，以x3 (t)为输出。列写状态方程，并写 成矩阵形式，指出A、B、C、D矩阵。 − + ( ) 1 f t 1H 1 − + ( ) 1 x t 1F ( ) 2 1H x t ( ) 3 x t 1 − + ( ) 2 f t 解： 1 1 1 3 x  = −x + f (t) − x ( ) 2 3 2 2 x  = x − x − f t 3 1 2 x  = x − x 状态方程为：                 + −                     − − − − =           ( ) ( ) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 2 1 3 2 1 3 2 1 f t f t x x x x x x    输出方程为：           +           = ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 2 1 3 2 1 f t f t x x x y t A矩阵为 B矩阵为 C矩阵为 D矩阵为

广由H(s）求状态方程H(s）→信号流图→状态方程所以，状态方程和输出方程为y(t)000X1X0032x+0f(t)一1X-aoa-ax3Xy(t)=[(bo-aob3) (b -ab) (bz -a,b)] x2 +b, f(t)Lx3=(b -a.b,)x, +(b -a,b,)x, +(b -a,b,)x, + bsf(t)吴江大学电信学院

电信学院 9 由H(s)求状态方程 ⚫ H(s) → 信号流图 → 状态方程 ⚫ 直接模拟 ◆第一种形式： 1 0 2 2 3 1 0 2 2 3 3 ( ) s a s a s a b s b s b s b H s + + + + + + = f (t) y(t) 1 −1 s −1 s −1 s b3 b2 b1 1 − a b0 − a0 2 − a 1 x 2 x3 x 信号流图如图所示设积分器输出作为状态变量， 1 2 x  = x 2 3 x  = x ( ) 3 2 3 1 2 0 1 x  = −a x − a x − a x + f t ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 0 0 3 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 0 1 1 2 2 3 3 2 3 1 2 0 1 0 1 1 2 2 3 3 3 b a b x b a b x b a b x b f t b x b x b x b f t a x a x a x y t b x b x b x b x = − + − + − + = + + + − − − = + + +  所以，状态方程和输出方程为 ( ) 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 f t x x x x a a a x x           +                     − − − =              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 0 0 3 1 1 3 2 2 3 b f t x x x y t b a b b a b b a b +           = − − −

由H(s）求状态方程儿若系统函数为真分式，即b,s + boH(s)=$3 +a,s? +as+aob$SSf(t)oy(t)O84专X2boo?a-ao-X=x2xx3x =-azx -ax -aox +f(t)y(t) = boxi + bx2吴江大学电信学院

电信学院 10 由H(s)求状态方程 ⚫ 若系统函数为真分式，即 1 0 2 2 3 1 0 ( ) s a s a s a b s b H s + + + + = f (t) y(t) 1 −1 s −1 s −1 s b1 − a1 b0 − a0 2 − a 1 x 2 x3 x 1 2 x  = x 2 3 x  = x ( ) 3 2 3 1 2 0 1 x  = −a x − a x − a x + f t 0 1 1 2 y(t) = b x +b x