精品课程网站長江大学息第6章连续信号的傅里叶级数分析三角型和指数型傅里叶级数。理解周期信号频谱的概念绘制周期信号的单边和双边离散频谱周期信号的分解与合成以及吉布斯现象确定傅里叶系数与周期信号对称的关系应用傅里叶级数分析系统长大学教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社
精品课程网站 教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社 1 第6章 连续信号的傅里叶级数分析 ◆三角型和指数型傅里叶级数。 ◆理解周期信号频谱的概念。 ◆绘制周期信号的单边和双边离散频谱。 ◆周期信号的分解与合成以及吉布斯现象。 ◆确定傅里叶系数与周期信号对称的关系。 ◆应用傅里叶级数分析系统
6.1三角型傅里叶级数傅里叶系数的计算2元00= 2元f。基波频率元.二周期信号可分解为Lf() = ao +a, cos no.t+Zbb, sin nootn=1n=l222922-T°f(t)dtf(t)cos no, tdtn = 1, 2,...doan二一山02是n的偶函数周期T =1/ foa=anb.-,1(0)sin no, din = 1, 2,...是n的奇函数b，=－b吴江大学电信学院
电信学院 2 周期信号可分解为 是 an = a−n n 的偶函数 6.1 三角型傅里叶级数 ⚫ 傅里叶系数的计算 是 bn = −b−n n 的奇函数 = = = + + 1 1 0 0 0 ( ) cos sin n n n n f t a a n t b n t − = 2 0 2 0 ( ) 1 0 0 T T f t dt T a − = = 2 0 2 0 ( ) cos 1, 2, 2 0 0 T T f t n tdt n T an − = = 2 0 2 0 ( )sin 1, 2, 2 0 0 T T f t n tdt n T bn 基波频率 0 0 0 2 2 T f = = T0 =1/ f 0 周期
三角型傅里叶级数简洁形式广f(t)-ao+Za,cosnot+Zb, sin noptn=1n=l或f()= A. +ZA, cos(no.t +Pn)A。 = αon=1直流分量n次谐波分量A, = Va, +b?是n 的偶函数bP, = arctan(是n的奇函数an任意周期信号可以分解为直流和各次谐波之和吴江大学电信学院
电信学院 3 三角型傅里叶级数简洁形式 = = + + = 1 0 0 0 0 ( ) cos( ) n 或 f t A An n t n A a 2 2 An = an +bn 是 n 的偶函数 arctan( ) n n n a −b = = = = + + 1 1 0 0 0 ( ) cos sin n n n n f t a a n t b n t 是 n 的奇函数 直流分量 n次谐波分量 任意周期信号可以分解为直流和各次谐波之和
例6.1广求如图所示周期信号的傅里叶级数。f(t)2元解基波频率0(t)的平均值是每个周期的平均面积，T.即α = 02CTo/22cos nodtcos no,dt = 0TTJTo/2吴山大学电信学院
电信学院 4 例 6.1 ⚫ 求如图所示周期信号的傅里叶级数。 f (t) 1 0 t T0 −1 2 T0 解 基波频率 ，f(t)的平均值是每个周期的平均面积， 即 0 0 2 T = 0 a0 = cos 0 2 cos 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 = − = T T T n n dt T n dt T a
例6.1儿221f0To/2bnsin noodtsin no.dt-10TT.JTo/2To2元To/22-Zcosnootcosno.tT00十no.no0[0/242n为奇数bnb.=(1—cosn元n元nn元n为偶数0,4门f(t) = - (sin Qot += sin 30ot += sin 50ot +..)35元吴江大学电信学院
电信学院 5 例 6.1 = − + = − 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 cos cos sin 2 sin 2 T T T T T T n n n t n n t T n dt T n dt T b 0 0 2 T = (1 cos ) 2 n n bn = − = 为偶数 为奇数 n n bn n 0 , , 4 sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) f t = 0 t + 0 t + 0 t +
傅里叶单边频谱傅里叶级数f(t)- Ao + A, cos(noot+ p,)n=1幅度A.与n的关系图称为幅度频谱相位?,与n的关系图称为相位频谱。两个图合称为单边频谱。n正比于频率nのo，所以频率的间隔是基波频率のo。这种频谱图是离散的。吴大学电信学院
电信学院 傅里叶单边频谱 ⚫ 傅里叶级数 ⚫ 幅度An与n的关系图称为幅度频谱, ⚫ 相位n与n的关系图称为相位频谱。 ⚫ 两个图合称为单边频谱 。 ⚫ n正比于频率n0，所以频率的间隔是基波频率0。 ⚫ 这种频谱图是离散的。 = = + + 1 0 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t
例6.2一个周期信号表示成三角型傅里叶级数为f(t) = 2 + 3cos 2t + 4 sin 2t + 2 sin( 3t + 30°) - cos(7t +1509)画出(t)的幅度频谱和相位频谱。解首先将同频率的正弦信号合并，即3cos2t + 4sin 2t = 5cos(2t - 53.13°)将sin项转换成cos项，有sin(3t + 30°) = cos(3t - 60°)- cos(7t + 150°) = cos(5t + 150° - 180°) = cos(7t - 30°)吴山大学电信学院
电信学院 例 6.2 ⚫ 一个周期信号表示成三角型傅里叶级数为 ⚫ 画出f(t)的幅度频谱和相位频谱。 f (t) = 2 + 3cos 2t + 4sin 2t + 2sin( 3t + 30) − cos(7t +150) 解 首先将同频率的正弦信号合并，即 3cos 2t + 4sin 2t = 5cos(2t − 53.13) 将sin项转换成cos项，有 sin( 3t + 30) = cos(3t − 60) − cos(7t +150) = cos(5t +150 −180) = cos(7t − 30)
例6.2f (t) = 2 + 5cos(2t - 53.13°) + 2 cos(3t - 60°) + cos(7t - 30°)A0nD000-30°-53.13°-60°吴江大学电信学院
电信学院 例 6.2 f (t) = 2 + 5cos(2t − 53.13) + 2cos(3t − 60) + cos(7t − 30) An 0 3 2 4 2 1 2 5 1 0 -53.13 n −30 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 −60
例6.3慧求如图所示周期信号的简洁三角型傅里叶级数1f(t)-1/2P10元2元一元-2元解周期T。一元，基波频率の-2元/T2rad/s，所以f(t) = ao + E(a, cos 2nt + b, sin 2nt)n=e-/2 dt = 0.504doC元吴山大学电信学院
电信学院 例 6.3 ⚫ 求如图所示周期信号的简洁三角型傅里叶级数。 f (t) 0 t −2 − 2 1 t / 2 e − 解 周期T0=，基波频率0=2/T0=2 rad/s，所以 ( ) ( cos 2 sin 2 ) 1 f t a0 a nt b nt n n = + n + = 0.504 1 0 / 2 0 = = − a e dt t
例6.3广22元e-1/2 cos(2nt)dt = 0.504二a1 + 16n?0元8nb,-21ee-1/2 sin( 2nt)dt = 0.50401+ 16n?元A。=α。= 0.50464n242A, = Va, + b, = 0.504= 0.504(1+ 16n2)?(1 +16n2)2V1 + 16n2bPn = arctan= arctan(4n) = -arctan(4n)an因此，简洁三角型傅里叶级数为82r() - 0.504 1+2cos(2nt - arctan 4n)V1+16nn=l4吴江大学电信学院
电信学院 例 6.3 + = = − 2 0 / 2 1 16 2 cos(2 ) 0.504 2 n a e nt dt t n + = = − 2 0 / 2 1 16 8 sin( 2 ) 0.504 2 n n b e nt dt t n 因此，简洁三角型傅里叶级数为 A0 = a0 = 0.504 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16 2 0.504 (1 16 ) 64 (1 16 ) 4 0.504 n n n n An an bn + = + + + = + = arctan arctan( 4n) arctan(4n) a b n n n = − = − − = − + = + = cos(2 arctan 4 ) 1 16 2 ( ) 0.504 1 1 2 nt n n f t n