3.4微分方程的拉氏变换解返回真用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换的微分性质：对于一阶导数:'Ly'(t)l = sY(s) -y(O)对于二阶导数： [y"()]=s[sY(s)-(O_)]-y(O_)= s2Y(s)-sy(O )-y'(O_)对于三阶导数：[y"(t)] = s[sY(s)-sy(0 ) -y'(0.)]-y"(0_)= s"Y(s)- sy(0_ )-sy'(0_)-y"(0_)吴山大学电信学院
电信学院 1 3.4 微分方程的拉氏变换解 用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换 的微分性质： 返回 • 对于一阶导数： [ ( )] ( ) (0 ) = − − L y t sY s y • 对于二阶导数： ( ) (0 ) (0 ) [ ( )] [ ( ) (0 )] (0 ) 2 − − − − = − − = − − s Y s s y y L y t s sY s y y • 对于三阶导数： ( ) (0 ) (0 ) (0 ) [ ( )] [ ( ) (0 ) (0 )] (0 ) 3 2 2 − − − − − − = − − − = − − − s Y s s y sy y L y t s s Y s s y y y
具微分方程的拉氏变换解二阶系统d? y(t)d2 f(t)dy(t)df (t)+b.f(t)+b1+aoy(t) =b,an+a,dt?dt?dtdt对上式两边取拉普拉斯变换dy(t)d'y(t)( sY(s) -y(O_)< s?Y(s) - sy(0_) -y(0 )dtdt?df(t)d"f(t)← sF(s)← s?F(s)dtdt?微分方程变为代数方程[a,s’ +a,s+a JY(s)-[b,s? +b,s+b,]F(s)+[a,s+a, ly(0 )+a,y(0_)吴江大学电信学院
电信学院 2 微分方程的拉氏变换解 ⚫ 二阶系统 ⚫ 对上式两边取拉普拉斯变换 ⚫ 微分方程变为代数方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 2 1 0 2 2 2 b f t dt df t b dt d f t a y t b dt dy t a dt d y t a + + = + + ( ) (0 ) ( ) − − sY s y dt dy t ( ) (0 ) (0 ) ( ) 2 2 2 − − s Y s − sy − y dt d y t ( ) ( ) sF s dt df t ( ) ( ) 2 2 2 s F s dt d f t [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] (0 ) (0 ) 1 0 2 1 2 2 1 0 2 2 2 − − a s + a s + a Y s = b s + b s + b F s + a s + a y + a y
具微分方程的拉氏变换解解代数方程得b,s2 + b,s+ bo2 F(s) + (a,s +a.)y(0.)+ a,y(0.)Y(s) = a,s? +a,s+aoa,s? +a,s+ao零状态响应零输入响应反变换可得时间函数y(t) = y(t)+ y-(t)吴江大学电信学院
电信学院 3 微分方程的拉氏变换解 ⚫ 解代数方程得 ⚫ 反变换可得时间函数 1 0 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 0 2 2 ( ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) a s a s a a s a y a y F s a s a s a b s b s b Y s + + + + + + + + + = − − 零状态响应 零输入响应 y(t) y (t) y (t) = zs + zi
系统函数定义零状态响应的拉氏变换Y..(s)H(s) =F(s)激励信号的拉氏变换二阶系统零状态响应b,s? +bs+bo F(s) - H(s)F(s)Ys(s)=a,s +as+ao对n阶LTI系统的系统函数bms" + bm-is"-l +...+ b,s + boH(s) =a,s" + an-is"-l +...+as+ ao吴江大学电信学院
电信学院 4 系统函数 ⚫ 定义 ⚫ 二阶系统零状态响应 ⚫ 对n阶LTI系统的系统函数 ( ) ( ) ( ) F s Y s H s z s = = 激励信号的拉氏变换 零状态响应的拉氏变换 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 2 1 0 2 2 F s H s F s a s a s a b s b s b Y s z s = + + + + = 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) a s a s a s a b s b s b s b H s n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − −
广系统函数包含了两层含义系统函数与冲激响应yzs(t) = h(t)* f(t)Y.(s) = H(s)F(s)可见系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数，它与输入无关，反映系统本身特性。只不过h(t)是系统在时域的描述，H(s)是对系统在复频域的描述Yzs(t)= H(s)est本征信号系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数吴山大学电信学院
电信学院 5 系统函数包含了两层含义 ⚫ 系统函数与冲激响应 ⚫ 系统函数与复指数信号 ◆系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数 y (t) h(t) f (t) zs = Y (s) H(s)F(s) zs = h(t) H(s) − − − − = = = = h e d e h e d y t h t f t h t e s t st s st z s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st zs y (t)= H(s)e 本征信号 可见系统函数可视为系统对复指数信号的加权 系数，它与输入无关，反映系统本身特性。只 不过h(t)是系统在时域的描述，H(s)是对系统在 复频域的描述
例 3.21具微分性质系统方程为y"(t)+5y(t)+6y(t)=3f(t)，其中:f(t)=e'ε(t)y(0_)=1,y(0 )=-l,求系统的响应。解1: ["(t)]=s’Y(s)-s y(0_)-y(O_)=sY(s)-s+1[y(O)l= sY(s)-y(O_)= sY(s)-1人[f(t)] =s+1对微分方程进行拉氏变换为：-s2Y(s)- s+1+5sY(s)-5+6Y(s) =s+13(s2 + 5s + 6)Y(s)+s+4二s+1吴山大学电信学院
电信学院 6 例 3.21 系统方程为 y (t) +5y (t) + 6y(t) = 3 f (t) ，其中： y(0− ) =1, y (0− ) = −1 f (t) e (t), t − = ，求系统的响应。 解1： 对微分方程进行拉氏变换为： 1 1 ( ) 1 5 ( ) 5 6 ( ) 3 2 + − + + − + = s s Y s s sY s Y s 4 1 3 ( 5 6) ( ) 2 + + + + + = s s s s Y s 微分性质 [ ( )] ( ) (0 ) (0 ) ( ) 1 2 2 L y t = s Y s − s y − − y − = s Y s − s + L [y (t)] = sY(s) − y(0− ) = sY(s) −1 1 1 [ ( )] + = s L f t
例 3.21具3+s+43+(s+4)(s+1)s+1Y(s) =s2 +5s+6(s+1)(s2 +5s+6)3+(s + 4)(s +1)KKKs+1-$+2 $+3(s+1)(s +2)(s +3)33+(s + 4)(s +1)3+(s+4)(s+1)=-1K,K2(s+2)(s +3)(s +1)(s +3)S=-18S=213+(s+ 4)(s+1)K, =22(s +1)(s +2)S=-3331-e-2'c(t)+_ee(t)-te(t)y(t):三22吴江大学电信学院
电信学院 7 例 3.21 ( 1)( 2)( 3) 1 2 3 3 ( 4)( 1) ( 1)( 5 6) 3 ( 4)( 1) 5 6 4 1 3 ( ) 1 2 3 2 2 + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + = s K s K s K s s s s s s s s s s s s s s Y s 2 3 ( 2)( 3) 3 ( 4)( 1) 1 1 = + + + + + = s s S=− s s K 1 ( 1)( 3) 3 ( 4)( 1) 2 2 = − + + + + + = s s S=− s s K 2 1 ( 1)( 2) 3 ( 4)( 1) 3 3 = + + + + + = s s S=− s s K ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 3 y t e t e t e t t t t − − − = − +
具例3.21可以分别求出零输入响应和零状态响应3(s + 5s +6)Y(s)+$+4s+13s+4s+1Y(S)=s?+5s+6s +5s+6零状态响应零输入响应y(t)= y(t)+y.,(t)吴山大享电信学院
电信学院 8 例 3.21 ⚫ 可以分别求出零输入响应和零状态响应 5 6 4 5 6 1 3 ( ) 2 2 + + + + + + + = s s s s s s Y s y(t) y (t) y (t) = zs + zi 零状态响应 零输入响应 4 1 3 ( 5 6) ( ) 2 + + + + + = s s s s Y s
具例3.21解23系统函数为H(s) =2 + 5s+6，零状态响应为31.5-31.5Y..(s) = H(s)F(s)=(s+3)(s+ 2)(s+1) s+1 s +2 s+3y. (t) =(1.5e-/ - 3e-2 + 1. 5e-")e(t)可 y-,(t) =C,e-21 +C,e-31零输入响应为2代入初始条件 C, +C,=1-2C-3C2=-1解得 C, =2,C2=-1y., (t) =(2e-21 -e-3')e(t)全响应y(t) = y-,(t) + y_, (t) = (1.5e- -e-21 + 0.5e-3)e(t)吴江大学电信学院
电信学院 9 例 3.21 ⚫ 解 2 ◆系统函数为 ◆零状态响应为 ◆零输入响应为 ◆代入初始条件 ◆全响应 5 6 3 ( ) 2 + + = s s H s 3 1.5 23 1 1.5 ( 3)( 2)( 1) 3 ( ) ( ) ( ) + + +− + + = + + + = = s s s s s s Y s H s F s z s ( ) (1.5 3 1.5 ) ( ) 2 3 y t e e e t t t t z s − − − = − + t t zi y t C e C e 3 2 2 1 ( ) − − = + C1 + C2 = 1 − 2 C1 − 3 C2 = − 1 解得 C1 = 2 , C2 = − 1 ( ) ( 2 ) ( ) 2 3 y t e e t t t zi − − = − ( ) ( ) ( ) (1.5 0.5 ) ( ) 2 3 y t y t y t e e e t t t t z i z s − − − = + = − +
具3.5动态电路的拉氏变换分析对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题：对一般的一阶或一阶以上的电路，建立微分方程困难确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解中的积分常数也很烦琐动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路的分析统一起来。当激励源是任意函数时，求解也不方便。1吴山大学电信学院
电信学院 10 3.5 动态电路的拉氏变换分析 ⚫ 对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题： ◆对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方程困难。 ◆确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解 中的积分常数也很烦琐。 ◆动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路 的分析统一起来。 ◆当激励源是任意函数时，求解也不方便