4.5冲激序列响应与阶跃序列响应输入信号为离散冲激8(K）时离散系统的零状态响应，称为离散冲激响应h(k)它同连续系统中的冲激响应hU有相同的地位和作用。冲激响应为利用月“卷积和”求解任意输入的零状态响应提供了极为有效的方法。通常使用冲激响应和阶跃响应来评价离散系统的时域性能。吴江大学电信学院
电信学院 1 4.5 冲激序列响应与阶跃序列响应 ⚫ 输入信号为离散冲激(k)时离散系统的零状态 响应，称为离散冲激响应h(k) . ⚫ 它同连续系统中的冲激响应h(t)有相同的地位 和作用。 ⚫ 冲激响应为利用“卷积和”求解任意输入的零 状态响应提供了极为有效的方法。 ⚫ 通常使用冲激响应和阶跃响应来评价离散系统 的时域性能
阶跃响应与冲激响应的关系: s(k)=Vs(k)=s(k)-ε(k -1)h(k)= Vg(k) = g(k)- g(k-1)K(k)=8(i)i=0g(k)=Zh(i)i=0吴江大学电信学院
电信学院 2 阶跃响应与冲激响应的关系 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) = = − − = = − − h k g k g k g k k k k k = = = = k i k i g k h i k i 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )
例4.11已知阶跃响应为 g(k)=6[1-0.5()"]s(k),求离散冲激响应h(k)。解：离散冲激响应为h(k) = g(k)-g(k-1)= 6[1- 0.5()]s(k) -6[1- 0.5()-]s(k -1)= 6[1- 0.5()"]s(k)-6[1-()]s(k)= 3()*(k)吴江大学电信学院
电信学院 3 已知阶跃响应为 g(k) 6[1 0.5( 1 2 ) ] (k) ，求离散冲激响应h(k)。 k = − 解：离散冲激响应为 6[1 0.5( ) ] ( ) 6[1 0.5( ) ] ( 1) ( ) ( ) ( 1) 1 2 1 2 1 = − − − − = − − − k k h k g k g k k k 3( ) ( ) 6[1 0.5( ) ] ( ) 6[1 ( ) ] ( ) 2 1 2 1 2 1 k k k k k k = = − − − 例 4.11
例4.12广注：有限等比数列求和公式：S=α-qan1-q式中：a为首项，a为末项，g为比例系数。解k2h0-20(k)-2(2)+(3)g(k) =P6i=0i=0i=0=02h+13+111一一ε(k):(k)ε(k)十6231-21-3[5-2 +1-3' e(k)2吴江大学电信学院
电信学院 4 例 4.12 已知离散冲激响应 ， 求阶跃响应。 ( ) [ ( ) 0.5(2) (3) ] ( ) 3 1 6 1 h k k k k k = − + 解：阶跃响应为 = = = = = = − + k i k i i i k i k i g k h i k 0 0 0 0 (3) 3 1 (2) 2 1 ( ) 6 1 ( ) ( ) 3 ] ( ) 2 1 2 2 1 [ ( ) 1 3 1 3 3 1 ( ) 1 2 1 2 2 1 ( ) 6 1 1 1 k k k k k k k k = − + − − + − − = − + + 注：有限等比数列求和公式： 式中：a1为首项，an为末项，q为比例系数。 q a qa S n − − = 1 1
4.6离散卷积服卷积和的意义任意离散信号可分解为（k）的线性组合：f(k)=--.+f(-1)8(k+ 1)+ f(0)8(k)+ f(1)8(k-1)++ f(i)o(k-i)+.E f(i)s(k-i) = f(k)*s(k)1(k)f(i)s(k -i)●定义：f(k)* f,(k) = fi(i)f,(k-i)三-00Zf,(i)f(k-i)C2-00称离散卷积或卷积和吴山大学电信学院
电信学院 5 4.6 离散卷积 ⚫ 卷积和的意义 ◆任意离散信号可分解为(k)的线性组合： f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+ ······+ f(i)(k-i)+······ =− = − = i f (i) (k i) f (k) (k) f (k) k f (i) (k −i) −1 0 1 2 3 i =− =− = − = − i i f i f k i f k f k f i f k i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 ◆定义： 称离散卷积或卷积和
任意激励信号的零状态响应服线性非时变ZA8(k-i)Ah(k-i)离散系统（零状态）零状态响应：任意信号：f(k)=Ef(i)s(k-i)y,(k)-f(i)h(k-i)i=-00-= f(k)*s(k)= f(k)*h(k)系统的零状态响应y=(k) =...+ f(-1)h(k +1)+ f(O)h(k) + f(1)h(k-1)+...+ f(i)h(k -i)+..f(i)h(k -i)= f(k)* h(k)1=-0吴江大学电信学院
电信学院 6 任意激励信号的零状态响应 系统的零状态响应： 线性非时变 离散系统 （零状态） A(k(k(-kn-i)) hhAh((kk-)(nk)-i) 任意信号： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f k k f k f i k i i = = − =− 零状态响应： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f k h k y k f i h k i i z s = = − =− =− = − = + − + = + − + + + − + i z s f i h k i f k h k f i h k i y k f h k f h k f h k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1)
卷积和的性质交换律、分配律、结合律与卷积一样。i(k)、f2(k)均为因果序列, 则 f(k)* f(k)-f(i)f;(k-1)i=0kfi(k)为因果序列，J(k)为一般序列，则f.(k)* fz(k) = fi(i)f (k -i)fi(k)为一般序列，f(k)为因果序列，则fi(k)* fz(k) = fi(i)f(k -i)吴江大学电信学院
电信学院 7 卷积和的性质 ⚫ 交换律、分配律、结合律与卷积一样。 ⚫ f1 (k)、f2 (k)均为因果序列，则 = = − k i f k f k f i f k i 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ⚫ f1 (k)为因果序列，f2 (k)为一般序列，则 = = − 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) i f k f k f i f k i ⚫ f1 (k)为一般序列，f2 (k)为因果序列，则 =− = − k i f (k) f (k) f (i) f (k i) 1 2 1 2 i 0 k
卷积和的性质服f(k）与(k）的卷积和：f(k)*s(k)=f(k),f(k)*s(k-k.) = f(k-ko)f(k-n)*s(k-m)= f(k-n-m)f(k）与(k）的卷积和：f(k)*e(k) -E(i),Zf0)-Ef(i-n)f(k)*ε(k -n) =三-0000位移序列的卷积和：f(k-n)*fz(k-m)=f(k-m)*f(k-n)=f(k-n-m吴山大学电信学院
电信学院 8 卷积和的性质 ⚫ f(k)与(k)的卷积和： ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 0 0 f k k = f k f k k − k = f k − k f (k − n) (k − m) = f (k − n − m) ⚫ f(k)与(k)的卷积和： =− − =− =− − = = − = k i k n i k i f k k n f i f i n f k k f i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ⚫ 位移序列的卷积和： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 1 k −n f 2 k −m = f 1 k −m f 2 k −n = f k −n−m
卷积和的计算服图解法方法与连续系统的卷积类似例4.13: 求 y(k)=f(k) * f2(k)k=0时1fi(k)f(-i)[f,(k)32kk-2-10120k4吴山大学电信学院
电信学院 9 卷积和的计算 图解法 方法与连续系统的卷积类似 例4.13：求 y(k)= f1 (k) f2 (k) ( ) 1 f k k − 2 −1 0 1 2 1 ( ) 2 f k k 0 1 2 1 3 2 3 ( ) 1 f −i i − 2 −1 0 1 2 1 ( ) 2 f i i 0 1 2 1 3 2 3 − 2 −1 y(k) = 0 k −2 3 k = −2 5 k = −1 6 k = 0,1, 2 3 k = 3 1 k = 4 0 k 4 k =0 时
有限长序列卷积和的规律两个有限长度序列f(k）和h（k）的卷积y(k）长度也是有限的。y(k）的起始序号等于f(k）和h(k）的起始序号之和。y(k)的结束序号等于f(k)和h(k)的结束序号之和。y(k）的长度L，等于f(k）和h(k）的长度L和L的关系是：L, = L, + Lh -1两个不同宽度的门函数其卷积和是梯形波两个相同宽度的门函数其卷积和是三角波。吴江大学电信学院
电信学院 10 有限长序列卷积和的规律 ⚫ 两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。 ⚫ y(k)的起始序号等于f(k)和h(k)的起始序号之和。 ⚫ y(k)的结束序号等于f(k)和h(k)的结束序号之和。 ⚫ y(k)的长度Ly等于f(k)和h(k)的长度Lf和Lh的关系 是： ⚫ 两个不同宽度的门函数其卷积和是梯形波。 ⚫ 两个相同宽度的门函数其卷积和是三角波。 Ly = Lf + Lh −1