第三章变压器变压器是一种静止的电器，它利用电磁感应作用将一种电压，电流的交流电能转接成同频率的另一种电压，电流的电能。变压器是电力系统中重要的电气设备，众所周如。输送一定的电能时，输电线路的电压愈高，线路中的电流和损耗就愈小。为此需要用升压变压器把交流发电机发出的电压升高到输电电压：通过高压输电线将电能经济地送到用电地区，然后再用降压变压器逐步将输电电压降到配电电压，供用户安全而方便地使用。在其他工业部门中，变压器应用也很广泛。本章主要研究一般用途的电力变压器，对其他用途的变压器只作简单介绍。3.1变压器的基本结构和额定值一、变压器的基本结构铁心和绕组变压器中最主要的部件是铁心和绕组，它们构成了变压器的器身。变压器的铁心既是磁路，又是套装绕组的骨架。铁心由心柱和铁轭两部分组成，心柱用来套装绕组，铁轭将心柱连接起来，使之形成闭合磁路。为减少铁心损耗，铁心用厚0.30～0.35mm的硅钢片叠成，片上涂以绝缘漆，以避免片间短路。在大型电力变压器中，为提高磁导率和减少铁心损耗，常采用冷轧硅钢片：为减少接缝间隙和激磁电流，有时还采用由冷轧硅钢片卷成的卷片式铁心。按照铁心的结构，变压器可分为心式和壳式两种。心式结构的心柱被绕组所包围，如图3一1所示：壳式结构则是铁心包围绕组的顶面、底面和侧面，如图3一2所示。心式结构的绕组和绝缘装配比较容易，所以电力变压器常常采用这种结构。壳式变压器的机械强度较好，常用于低压、大电流的变压器或小容量电讯变压器。铁心邮低压绕组L电高压绕组心柱铁轭R图2-1单相心式变压器图2-2单相壳式变压器
第三章 变压器 变压器是一种静止的电器，它利用电磁感应作用将一种电压．电流的交流电能转接成同 频率的另一种电压，电流的电能。变压器是电力系统中重要的电气设备，众所周如。输送一 定的电能时，输电线路的电压愈高，线路中的电流和损耗就愈小。为此需要用升压变压器把 交流发电机发出的电压升高到输电电压：通过高压输电线将电能经济地送到用电地区，然后 再用降压变压器逐步将输电电压降到配电电压，供用户安全而方便地使用。在其他工业部门 中，变压器应用也很广泛。 本章主要研究一般用途的电力变压器，对其他用途的变压器只作简单介绍。 3．1 变压器的基本结构和额定值 一、变压器的基本结构 铁心和绕组 变压器中最主要的部件是铁心和绕组，它们构成了变压器的器身。 变压器的铁心既是磁路，又是套装绕组的骨架。铁心由心柱和铁轭两部分组成，心柱用 来套装绕组，铁轭将心柱连接起来，使之形成闭合磁路。为减少铁心损耗，铁心用厚 o．30～ o．35mm 的硅钢片叠成，片上涂以绝缘漆，以避免片间短路。在大型电力变压器中．为提高 磁导率和减少铁心损耗，常采用冷轧硅钢片；为减少接缝间隙和激磁电流，有时还采用由冷 轧硅钢片卷成的卷片式铁心。 按照铁心的结构，变压器可分为心式和壳式两种。心式结构的心柱被绕组所包围，如图 3—1 所示；壳式结构则是铁心包围绕组的顶面、底面和侧面，如图 3—2 所示．心式结构的 绕组和绝缘装配比较容易，所以电力变压器常常采用这种结构。壳式变压器的机械强度较好， 常用于低压、大电流的变压器或小容量电讯变压器
绕组是变压器的电路部分，用纸包或纱包的绝缘扁线或圆线绕成。其中输人电能的绕组称为一次绕组（或原绕组），输出电能的绕组称为二次绕组（或副绕组），它们通常套装在同一心柱上。一次和二次绕组具有不同的匝数、电压和电流，其中电压较高的绕组称为高压绕组，电压较低的称为低压绕组。对于升压变压器，一次绕组为低压绕组，二次绕组为高压绕组；对手降压变压器，情况恰好相反，高压绕组的匝数多、导线细：低压绕组的匝数少、导线粗。从高、低压绕组的相对位置来看，变压器的绕组可分成同心式和交选式两类。同心式绕组的高、低压绕组同心地套装在心柱上，如图3一1所示。交选式绕组的高、低压绕组沿心柱高度方向互相交送地放置，如图3一2所示。同心式绕组结构简单、制造方便，国产电力变压器均采用这种结构。交选式绕组用于特种变压器中。其他部件除器身外，典型的油浸电力变压器还有油箱、变压器油、散热器、绝缘套管、分接开关及继电保护装置等部件。图3一3a和b是一台三相油浸电力变压器的外型图和器身装配图。b)a图2-3三相油浸电力变压器a）外型图b）器身装配图二、额定值额定值是制造厂对变压器在指定工作条件下运行时所规定的一些量值。在额定状态下运行时，可以保证变压器长期可靠地工作，并具有优良的性能。额定值亦是产品设计和试验的依据。额定值通常标在变压器的铭牌上，亦称为铭牌值，变压器的额定值主要有：（1）额定容量S在铭牌规定的额定状态下变压器输出视在功率的保证值，称为额定容量。额定容量用伏安（vA）或干伏安（kVA）裹示。对三相变压器，额定容量系指三相容量之和。（2）额定电压Us，铭牌规定的各个绕组在空载、指定分接开关位置下的端电压，称为额定电压。额定电压用伏（v）或千伏（kV）表示。对三相变压器，额定电压指线电压。（3）额定电流I根据额定容量和额定电压算出的电流称为额定电流，以安（A）表示。对三相变压器，额定电流指线电流。对单相变压器，一次和二次额定电流分别为
绕组是变压器的电路部分，用纸包或纱包的绝缘扁线或圆线绕成。其中输人电能的绕组 称为一次绕组(或原绕组)，输出电能的绕组称为二次绕组(或副绕组)，它们通常套装在同一 心柱上。一次和二次绕组具有不同的匝数、电压和电流，其中电压较高的绕组称为高压绕组， 电压较低的称为低压绕组。对于升压变压器，一次绕组为低压绕组，二次绕组为高压绕组； 对于降压变压器，情况恰好相反，高压绕组的匝数多、导线细；低压绕组的匝数少、导线粗。 从高、低压绕组的相对位置来看，变压器的绕组可分成同心式和交迭式两类。同心式绕 组的高、低压绕组同心地套装在心柱上，如图 3—1 所示。交迭式绕组的高、低压绕组沿心 柱高度方向互相交迭地放置，如图 3—2 所示。同心式绕组结构简单、制造方便，国产电力 变压器均采用这种结构。交迭式绕组用于特种变压器中。 其他部件 除器身外，典型的油浸电力变压器还有油箱、变压器油、散热器、绝缘套管、 分接开关及继电保护装置等部件。 图 3—3a 和 b 是一台三相油浸电力变压器的外型图和器身装配图。 二、额定值 额定值是制造厂对变压器在指定工作条件下运行时所规定的一些量值。在额定状态下运 行时，可以保证变压器长期可靠地工作，并具有优良的性能。额定值亦是产品设计和试验的 依据。额定值通常标在变压器的铭牌上，亦称为铭牌值，变压器的额定值主要有： （1）额定容量 SN 在铭牌规定的额定状态下变压器输出视在功率的保证值，称为额定 容量。额定容量用伏安（vA）或千伏安（kVA）裹示。对三相变压器，额定容量系指三相容 量之和。 （2）额定电压 UN， 铭牌规定的各个绕组在空载、指定分接开关位置下的端电压，称 为额定电压。额定电压用伏（v）或千伏（kV）表示。对三相变压器，额定电压指线电压。 （3）额定电流 IN 根据额定容量和额定电压算出的电流称为额定电流，以安(A)表示。 对三相变压器，额定电流指线电流。 对单相变压器，一次和二次额定电流分别为
SNSNI2N=U2NIN=UN'对三相变压器，一次和二次额定电流分别为SNSNI2N=IiNV3U2N/3UIN（4）额定频率f我国的标准工频规定为50赫（Hz）。此外，额定工作状态下变压器的效率、温升等数据亦属于额定值。3.2变压器的空载运行变压器的一次绕组接交流电源，二次绕组开路，负载电流为零（即空载）时的运行，称为空载运行。一、一次和二次绕组的感应电动势，电压比图3一4表示单相变压器空载运行的示意图：图中N和N分别表示一次和二次绕组的匝数。当一次绕组外施交流电压u，二次绕组开路时，一次绕组内将流过一个很小的电流i10，110称为变压器的空载电流。空载电流i19。产生交变磁动势N,iio，并建立交变磁通Φ：ilo的正N20方向与磁动势Nii1o的正方向之间符合右手螺旋关系，磁通中的正方向与磁动势的正方向相同。设磁通Φ全部约束在铁心磁路内，并同时图2-4变压器的空载运行与一次和二次绕组相交链。根据电磁感应定律，磁通Φ将在一次和二次绕组内感生电动势ei和e2，dpdp(2-1)e2=-N,e=-N.&,2dtel、e2的正方向与Φ的正方向符合右手螺旋关系。于是根据基尔霍夫定律和图3-4所示正方向，可写出一次和二次绕组的电压方程为dpu,=inR,-e,=ioR, + N, %(2-2)dpu2o=e:=-N, &式中，R为一次绕组的电阻；U2o为二次绕组的空载电压（即开路电压）。在一般变压器中，空载电流所产生的电阻压降iR，很小，可以忽略不计，于是9-Nui=k(2-3)20~e2N
对三相变压器，一次和二次额定电流分别为 （4）额定频率 fN 我国的标准工频规定为 50 赫（Hz）。 此外，额定工作状态下变压器的效率、温升等数据亦属于额定值。 3．2 变压器的空载运行 变压器的一次绕组接交流电源，二次绕组开路，负载电流为零(即空载)时的运行，称为 空载运行。 一、一次和二次绕组的感应电动势，电压比 图 3—4 表示单相变压器空载运行的示意图，图中 N1和 N2 分别表示一次和二次绕组的匝 数。当一次绕组外施交流电压 u1，二次绕组开 路时，一次绕组内将流过一个很小的电流 i10， 称为变压器的空载电流。空载电流 il0。产生 交变磁动势 Nli10，并建立交变磁通φ；i10 的正 方向与磁动势 N1i10 的正方向之间符合右手螺 旋关系，磁通φ的正方向与磁动势的正方向相 同。设磁通φ全部约束在铁心磁路内，并同时 与一次和二次绕组相交链。根据电磁感应定 律，磁通φ将在一次和二次绕组内感生电动势 e1 和 e2， e1、e2 的正方向与φ的正方向符合右手螺旋关系。于是根据基尔霍夫定律和图 3-4 所示 正方向，可写出一次和二次绕组的电压方程为 式中，R1 为一次绕组的电阻；u20 为二次绕组的空载电压(即开路电压)。 在一般变压器中，空载电流所产生的电阻压降 i10R1 很小，可以忽略不计，于是
k称为变压器的电压比。从式（2-3）可见，空载运行时，变压器一次绕组与二次绕组的电压比就等于一次、二次绕组的匝数比。因此，要使一次和二次绕组具有不同的电压，只要使它们具有不同的匝数即可，这就是变压器能够“变压”的原理。二、主磁通和激磁电流主磁通通过铁心并与一次、二次绕组相交链的磁通叫做主磁通，用中表示。根据式11(2-4)中=一e,dtN.J空载时由于-er～u，而电源电压通常为正弦波，故电动势e，也可认为是正弦波，即e,=2E,sinot，于是2E,1rV2E,sinatdt =coswt = .coswt(2-5)中=-wN,式中，Φm为主磁通的幅值，U.EV2E,-m-= 4.44N,~ 4.44/N(2-6)E1=4.44fN,@m式（2—5)和式（2一6)表明，对于已经制成10m的变压器，主磁通的大小和波形主要取决手电源电压的大小和波形。用相量表示时imΦm的相位超前感应电动势Ei以90°相角，N0E2E-E,~U如图3—5所示。ire激磁电流产生主磁通所需要的电流叫做激磁电流，用i.表示。空载运行时，图2-5变压器的空载相量图铁心上仅有一次绕组电流i1所形成的激磁磁动势，所以空载电流就是激磁电流，即i1o=i。激磁电流i.中包括两个分量，一个是磁化电流i，另一个是铁耗电流ire。磁化电流i用于激励铁心中的主磁通中，对已制成的变压器，i，的大小和波形取决于主磁通Φ和铁心磁路的磁化曲线Φ=f（i）。当磁路不饱和时，磁化曲线是直线，i与Φ成正比，故当主磁通Φ随时间正弦变化时，i亦随时间正弦变化，且i.与Φ同相而与感应电动势ei相差90°相角，故磁化电流为纯无功电流。若铁心中主磁通的幅值Φm使磁路达到饱和，则i，需由图解法来确定。图3一6a和b表示主磁通随时间正弦变化，当时间t=ti、磁通量Φ=Φ（)时，由磁化曲线的点1处查出的对应磁化电流i，（1)同理可以确定其他瞬间的磁化电流，从而得到i.=f（t）。从图3一6可以看出，当主磁通随时间正弦变化时，由磁路饱和而引起的非线性，将导致磁化电流成为与磁通同相位的尖顶波：磁路越饱和，磁化电流的波形越尖，即畸变越严重。但是无论i，怎样畸变，用傅氏级数分解，可知其基波分量始终与主磁通的波形同相位：换
k 称为变压器的电压比。从式（2-3）可见，空载运行时，变压器一次绕组与二次绕组 的电压比就等于一次、二次绕组的匝数比。因此，要使一次和二次绕组具有不同的电压，只 要使它们具有不同的匝数即可，这就是变压器能够“变压”的原理。 二、主磁通和激磁电流 主磁通 通过铁心并与一次、二次绕组相交链的磁通叫做主磁通，用φ表示。根据式 空载时由于-e1≈u1，而电源电压通常为正弦波，故电动势 e1，也可认为是正弦波，即 e 2E sin t 1 = 1 ，于是 式中，Φm 为主磁通的幅值， 式(2—5)和式(2—6)表明，对于已经制成 的变压器，主磁通的大小和波形主要取决 于电源电压的大小和波形。用相量表示时， m 的相位超前感应电动势 1 E 以 90o 相角， 如图 3—5 所示。 激磁电流 产生主磁通所需要的电流 叫做激磁电流，用 im 表示。空载运行时， 铁心上仅有一次绕组电流 i10 所形成的激磁 磁动势，所以空载电流就是激磁电流，即 i10=im。激磁电流 im 中包括两个分量，一个是磁化 电流 iμ，另一个是铁耗电流 iFe。磁化电流 iμ用于激励铁心中的主磁通φ，对已制成的变压 器，iμ的大小和波形取决于主磁通φ和铁心磁路的磁化曲线φ=f（iμ)。当磁路不饱和时， 磁化曲线是直线，iμ与φ成正比，故当主磁通φ随时间正弦变化时，iμ亦随时间正弦变化， 且 iμ与φ同相而与感应电动势 e1 相差 900 相角，故磁化电流为纯无功电流。若铁心中主磁 通的幅值Φm 使磁路达到饱和，则 iμ需由图解法来确定。图 3—6a 和 b 表示主磁通随时间正 弦变化，当时间 t＝t1、磁通量φ=φ（1）时，由磁化曲线的点 l 处查出的对应磁化电流 iμ（1）； 同理可以确定其他瞬间的磁化电流，从而得到 iμ=f（t）。 从图 3—6 可以看出，当主磁通随时间正弦变化时，由磁路饱和而引起的非线性，将导 致磁化电流成为与磁通同相位的尖顶波；磁路越饱和，磁化电流的波形越尖，即畸变越严重。 但是无论 iμ怎样畸变，用傅氏级数分解，可知其基波分量始终与主磁通的波形同相位；换
言之，它是无功电流。为便于计算，通常用一个有效值与之相等的等效正弦波电流来代替非正弦的磁化电流。dd,ipkigP.naC90°180°al10irin(1)b)a)图2-6已知主磁通为正弦形，从磁化曲线确定磁化电流ia）铁心的磁化曲线b）磁路饱和时磁化电流成为尖顶波由于铁心中存在铁心损耗，故激磁电流i中除无功的磁化电流i外，还有一个与铁心损耗相对应的铁耗电流iFe，ir与-e同相位。于是用复数发示时，激磁电流Im为in=i+ire(2-7)相应的相量图如图3一5所示。三、激磁阻抗主磁通Φ、感应电动势e与磁化电流i.之间有下列关系中=Nin·Am(2-8)diudi.deei=-N,-NALpdtdt式中，Λm为主磁路的磁导：L则是对应的铁心线圈的磁化电感，L=N2。用复数表示时，式（2一8)可写成E,(2-9)E,=-joLui,=-ji,X，或 i,=-ix式中，X,称为变压器的磁化电抗，它是表征铁心磁化性能的一个参数，X,=LI。另外，铁耗电流Ire与电动势-Ei同相，它是一个有功电流，故iFe与Ei关系可写成S(2-10)E,--ipRre,或ir=Rre式中，Re。称为铁耗电阻，它是表征铁心损耗的一个参数，Pp。=I。RFe。于是，激磁电流Im与感应电动势E1之间有下列关系
言之，它是无功电流。为便于计算，通常用一个有效值与之相等的等效正弦波电流来代替非 正弦的磁化电流。 由于铁心中存在铁心损耗，故激磁电流 im 中除无功的磁化电流 iμ外，还有一个与铁心 损耗相对应的铁耗电流 iFe，iFe 与-e1 同相位。于是用复数发示时，激磁电流 I m • 为 相应的相量图如图 3—5 所示。 三、激磁阻抗 主磁通φ、感应电动势 e1 与磁化电流 iμ之间有下列关系 式中，Λm 为主磁路的磁导；L1μ则是对应的铁心线圈的磁化电感，Llμ＝N1 2。用复数表 示时，式(2—8)可写成 式中，Xμ称为变压器的磁化电抗，它是表征铁心磁化性能的一个参数，Xμ=ωL1μ。 另外，铁耗电流 I Fe • 与电动势 1 • − E 同相，它是一个有功电流，故 I Fe • 与 1 • E 关系可写成 式中，RFe 称为铁耗电阻，它是表征铁心损耗的一个参数， Fe FeRFe p I 2 = 。 于是，激磁电流 I m • 与感应电动势 1 • E 之间有下列关系
i-+i=-E(+(2-11)川R+x图3一7a表示与上式相应的等效电路，此电路由磁化电抗X.和铁耗电阻R。两个并联分支构成。若进一步用一个等效的串联阻抗Z.去代替这两个并联分支，如图3一7b所示，则式(2—11)可改写成会,或Ei--iz,--ia(Ra+ix)(2-12)i.=Z.式中，Z,=R.+j.称为变压器的激磁阻抗，它是表征铁心磁化性能和铁心损耗的一个综合RreXm=X,XRP.+X.参数；X.称为激磁电抗，它是表征铁心磁化性能的一个等效参数，x?R. =Rre Re.+X,R.称为激磁电阻，它是表征铁心损耗的一个等效参数，imimireRX心b)a)图2-7铁心线圈的等效电路a）并联电路b）申联电路由于铁心磁路的磁化曲线是非线性的，所以E和I之间亦是非线性关系，即激磁阻抗Z.不是常值，而是随着工作点饱和程度的增加而减小。考虑到实际运行时主磁通Φ，的变化很小，在此条件下，可近似认为Z为一常值。3.3变压器的负载运行变压器的一次绕组接到交流电源，二次绕组接到负载阻抗Z1f时，二次绕组中便有电流流过，这"!e1l种情况称为变压器的负载运行，如图3一8所示。图中各量的正方向按惯例规定如下：i.的正方向与电源电压山的正方向一致，主磁通图2-8变压器的负载运行
图 3—7a 表示与上式相应的等效电路，此电路由磁化电抗 Xμ和铁耗电阻 RFe 两个并联分 支构成。若进一步用一个等效的串联阻抗 Zm 去代替这两个并联分支，如图 3—7b 所示，则 式(2—11)可改写成 式中，Zm=Rm+jXm 称为变压器的激磁阻抗，它是表征铁心磁化性能和铁心损耗的一个综合 参数；Xm 称为激磁电抗，它是表征铁心磁化性能的一个等效参数， 2 2 2 R X R X X Fe Fe m + = ； Rm 称为激磁电阻，它是表征铁心损耗的一个等效参数， 2 2 2 R X X R R Fe m Fe + = 。 由于铁心磁路的磁化曲线是非线性的，所以 E1 和 Im 之间亦是非线性关系，即激磁阻抗 Zm 不是常值，而是随着工作点饱和程度的增加而减小．考虑到实际运行时主磁通Φm 的变化 很小，在此条件下，可近似认为 Zm 为一常值。 3．3 变压器的负载运行 变压器的一次绕组接到交流 电源，二次绕组接到负载阻抗 Zl 时，二次绕组中便有电流流过，这 种情况称为变压器的负载运行，如 图 3—8 所示。图中各量的正方向 按惯例规定如下：il 的正方向与电 源电压 u1 的正方向一致，主磁通
Φ的正方向与i.的正方向符合右手螺旋关系，el、e2的正方向与Φ的正方向亦符合右手螺旋关系：i2的正方向与e2的正方向一致，uz的正方向与i2流人Z,的正方向一致。一、磁动势平衡和能量传递当二次绕组通过负载阻抗Z，闭合时，在感应电动势ez的作用下，二次绕组中便有电流i2流过，i2将产生磁动势Ni2。由于磁动势N2i2的作用，铁心内的主磁通Φ趋于改变；相应地一次绕组的电动势e亦趋于改变，并引起一次绕组电流i发生变化。考虑到电源电压u=常值时，主磁通Φ，～常值，故一次绕组电流将变成i,=im+in(2-13)即i，中除用以产生主磁通Φ.的激磁电流i，外，还将增加一个负载分量i，以抵消二次绕组电流i2的作用，换言之，ilL产生的磁动势Nii应与i2所产生的磁动势N2i2相等、相反，即N.Ni+Nai=0，或i=-(2-14)此关系称为磁动势平衡关系。e-N再考虑到一次、二次绕组的电动势之比为eN2，于是(2-15)-j-e22式中，左端的负号表示输人功率，右端的正号表示输出功率。上式说明，通过一次、二次绕组的磁动势平衡和电磁感应关系，一次绕组从电源吸收的电功率就传递到二次绕组，并输出给负载，这就是变压器进行能量传递的原理。二、磁动势方程把式（2一13）两边乘以Ni，可得N,i,=N,i.+N,i再把N,in=-Nzi2可得N,ii十Nzi2=Niy(2—16)上式就是变压器的磁动势方程。式（2一16)表明，负载时用以建立主磁通的激磁磁动势是一次和二次绕组的合成磁动势。式中的i，取决于负载时主磁通的幅值，一般来说，它与空载时的值稍有差别。正常负载时，i和i2都随时间正弦变化，此时磁动势方程可用复数表示为：N,i,+N,iz=N,i.(2-17)三、漏磁通和漏磁电抗在实际变压器中，除了通过铁心、并与一次和二次绕组相交链的主磁通Φ之外，还有少量仅与一个绕组交链且主要通过空气或油而闭合的漏磁通。电流i所产生、且仅与一次绕组相交链的磁通，称为一次绕组的漏磁通，用Φ1表示；由电流i2所产生、且仅与二次
φ的正方向与 i1 的正方向符合右手螺旋关系，e1、e2 的正方向与φ的正方向亦符合右手螺旋 关系；i2 的正方向与 e2 的正方向一致，u2 的正方向与 i2 流人 Zl的正方向一致。 一、磁动势平衡和能量传递 当二次绕组通过负载阻抗 Zl 闭合时，在感应电动势 e2 的作用下，二次绕组中便有电流 i2 流过，i2 将产生磁动势 N2i2。由于磁动势 N2i2 的作用，铁心内的主磁通φ趋于改变；相应 地一次绕组的电动势 e1 亦趋于改变，并引起一次绕组电流 i1 发生变化。考虑到电源电压 u1 ＝常值时，主磁通φm≈常值，故一次绕组电流将变成 即 i1 中除用以产生主磁通Φm 的激磁电流 im 外，还将增加一个负载分量 i1L，以抵消二次绕组 电流 i2 的作用，换言之，i1L 产生的磁动势 N1i1L 应与 i2 所产生的磁动势 N2i2相等、相反，即 此关系称为磁动势平衡关系。 再考虑到一次、二次绕组的电动势之比为 2 1 2 1 N N e e = ，于是 式中，左端的负号表示输人功率，右端的正号表示输出功率。上式说明，通过一次、二 次绕组的磁动势平衡和电磁感应关系，一次绕组从电源吸收的电功率就传递到二次绕组，并 输出给负载．这就是变压器进行能量传递的原理。 二、磁动势方程 把式(2—13)两边乘以 Nl，可得 N1i1=N1im 十 N1i1L 再把 N1i1L=-N2i2 可得 N1i1 十 N2i2＝N1iM (2—16) 上式就是变压器的磁动势方程。式(2—l6)表明，负载时用以建立主磁通的激磁磁动势 是一次和二次绕组的合成磁动势。式中的 im 取决于负载时主磁通的幅值，一般来说，它与 空载时的值稍有差别。 正常负载时，i1 和 i2 都随时间正弦变化，此时磁动势方程可用复数表示为： 三、漏磁通和漏磁电抗 在实际变压器中，除了通过铁心、并与一次和二次绕组相交链的主磁通φ之外，还有 少量仅与一个绕组交链且主要通过空气或油而闭合的漏磁通。电流 il 所产生、且仅与一次 绕组相交链的磁通，称为一次绕组的漏磁通，用φ1φ表示；由电流 i2 所产生、且仅与二次
绕组相交链的磁通，称为二次绕组的漏磁通，用Φ2二次绕组表示，图3一9表示漏磁通的磁路，由于漏磁磁路的磁铁心XH阻较大，故漏磁通要比主磁通少得多。木IP漏磁通中Φ，和Φ2也随时间而交变，它们将分别在次绕组一次和二次绕组内感生电动势e。和e2。，di,dpa=-Lodtela=-N,Idt(2-18)di2dp2o=-Lodte2=-N, dnPeH式中，L。和L2.分别为一次绕组和二次绕组的漏磁电感，图2-9变压器中漏磁场的分布简称漏感。漏感与绕组匝数的平方和漏磁导成正比，即N中=NeA2N=NAu La=(2-19)La=i其中，Λ1。和Λ2。为一次和二次漏磁路的磁导。由于漏磁路的主要部分是空气或油，故漏磁导是常值：相应地，漏感亦是常值。当一次和二次电流随时间正弦变化时，相应的漏磁通和漏磁电动势亦将随时间正弦变化，用复数表示时有E.jwL.i, jXi,(2-20)E=-joL.i,=-jX,i,J式中，X1。和X2.分别称为一次和二次绕组的漏磁电抗，简称漏抗，XI。=QL1a，X2。=Q12。漏抗是表征绕组漏磁效应的一个参数，X1。和X2。都是常值。按照磁路性质的不同，把磁通分成主磁通和漏磁通两部分，把不受铁心饱和影响的漏磁通分离出来，用常值参数X。和X2。来表征，而把受铁心饱和影响的主磁路及其参数Z.作为局部的非线性问题，再加以线性化处理，这是分析变压器和旋转电机的重要方法之一。这样做，一方面可以简化分析：另一方面可以提高测试和计算的精度。3.4变压器的基本方程和等效电路上节说明了负载时变压器内部的物理情况.在此基础上即可导出变压器的基本方程和等效电路。一、变压器的基本方程负载运行时，变压器内部的磁动势、磁通和感应电动势，可列表归纳如下：
绕组相交链的磁通，称为二次绕组的漏磁通，用φ2φ 表示．图 3—9 表示漏磁通的磁路，由于漏磁磁路的磁 阻较大，故漏磁通要比主磁通少得多。 漏磁通φ1φ和φ2φ也随时间而交变，它们将分别在 一次和二次绕组内感生电动势 e1σ和 e2σ， 式中，L1σ和 L2σ分别为一次绕组和二次绕组的漏磁电感， 简称漏感。漏感与绕组匝数的平方和漏磁导成正比，即 其中，Λ1σ和Λ2σ为一次和二次漏磁路的磁导。由于漏磁路的主要部分是空气或油，故 漏磁导是常值；相应地，漏感亦是常值。 当一次和二次电流随时间正弦变化时，相应的漏磁通和漏磁电动势亦将随时间正弦变 化，用复数表示时有 式中，X1σ和 X2σ分别称为一次和二次绕组的漏磁电抗，简称漏抗，X1σ=ωL1σ，X2σ=Ωl2σ。漏 抗是表征绕组漏磁效应的一个参数，X1σ和 X2σ都是常值。 按照磁路性质的不同，把磁通分成主磁通和漏磁通两部分，把不受铁心饱和影响的漏磁 通分离出来，用常值参数 X1σ和 X2σ来表征，而把受铁心饱和影响的主磁路及其参数 Zm 作为 局部的非线性问题，再加以线性化处理，这是分析变压器和旋转电机的重要方法之一。这样 做，一方面可以简化分析；另一方面可以提高测试和计算的精度。 3．4 变压器的基本方程和等效电路 上节说明了负载时变压器内部的物理情况．在此基础上即可导出变压器的基本方程和等 效电路。 一、变压器的基本方程 负载运行时，变压器内部的磁动势、磁通和感应电动势，可列表归纳如下：
磁动势磁通感应电动势di,N,i,d-Ladt-一次绕组doer= -N, -dt+N,imΦdd-e,=-N,dt二次绕组dizNzi2中e2。= - L220dt此外，一次和二次绕组内还有电阻压降i,R,和izR2。这样，根据基尔霍夫第二定律和图3-8中所示的正方向，即可写出一次和二次侧的电压方程为di,u,=i,R,+L,e1odt(2-21)diz+uzer=i?R+L&+若一次和二次的电压、电流均随时间正弦变化，则上式可写成相应的复数形式U,=i,(R,+iXio)-E,=i,Zi-E,(2-22)E-i,(R2+jX)+=i,z+式中，Zi。和Z2分别称为一次和二次绕组的漏阻抗，Z1。=R十jXi。，Za=R2十jX2。再考虑到式(2一12)和磁动势方程(2一17)，可得变压器的基本方程为0,=i,z-E, E,=i,z+0,B=k]E.(2-23)N,i,+N,i,=N,im,E,=-imZm二、变压器的等效电路在研究变压器的运行问题时，希望有一个既能正确反映变压器内部电磁关系，又便于工程计算的等效电路，来代替具有电路、磁路和电磁感应联系的实际变压器。下面从变压器的基本方程出发，导出此等效电路。绕组归算为建立等效电路，除了需要把一次和二次侧漏磁通的效果作为漏抗压降，主磁通和铁心线圈的效果作为激磁阻抗来处理外，还需要进行绕组归算，通常是把二次绕组归算到一次绕组，也就是假想把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变一次和二次绕组原有的电磁关系。从磁动势平衡关系可知，二次电流对一次侧的影响是通过二次磁动势N2I2起作用，所以只要归算前后二次绕组的磁动势保持不变，一次绕组将从电网吸收同样大小的功率和电流
此外，一次和二次绕组内还有电阻压降 i1R1和 i2R2。这样，根据基尔霍夫第二定律和图 3-8 中所示的正方向，即可写出一次和二次侧的电压方程为 若一次和二次的电压、电流均随时间正弦变化，则上式可写成相应的复数形式 式中，Z1σ和 Z2σ分别称为一次和二次绕组的漏阻抗，Z1σ＝R1 十 jX1σ，Z2σ=R2 十 jX2σ 再考虑到式(2—12)和磁动势方程(2—17)，可得变压器的基本方程为 二、变压器的等效电路 在研究变压器的运行问题时，希望有一个既能正确反映变压器内部电磁关系，又便于工 程计算的等效电路，来代替具有电路、磁路和电磁感应联系的实际变压器。下面从变压器的 基本方程出发，导出此等效电路。 绕组归算 为建立等效电路，除了需要把一次和二次侧漏磁通的效果作为漏抗压降，主 磁通和铁心线圈的效果作为激磁阻抗来处理外，还需要进行绕组归算，通常是把二次绕组归 算到一次绕组，也就是假想把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变一次和二次 绕组原有的电磁关系。 从磁动势平衡关系可知，二次电流对一次侧的影响是通过二次磁动势 N2I2 起作用，所以 只要归算前后二次绕组的磁动势保持不变，一次绕组将从电网吸收同样大小的功率和电流
并有同样大小的功率传递给二次绕组。归算后，二次侧各物理量的数值称为归算值，用原物理量的符号加“！”来表示。设二次绕组电流和电动势的归算值为12和E2″，根据归算前、后二次绕组磁动势不变的原则，可得N,i=Ni由此可得二次电流的归算值[2”为1:-1-+1(2-24)由于归算前、后二次绕组的磁动势未变，因此铁心中的主磁通将保持不变：这样，根据感应电动势与匝数成正比这一关系，便得Ei_N1=kE."N即二次绕组感应电动势的归算值E2＇为E!=kE,(2-25)再把二次绕组的电压方程（式（2一22)中的第二式）乘以电压比k，可得1kE,=ki(R2+iX2)+ki,(R+jk"X2)+U大或E;=i:(R.+j2X2)+ki.=i(R:+jxo)+2(2-26)式中，R’和Xa。’分别为二次绕组电阻和漏抗的归算值，R’=k"R，Xxa。’=kx：ü2'则是二次电压的归算值，U2=ku2。综上所述可见，二次绕组归算到一次绕组时，电动势和电压应乘以k倍，电流乘以1/k倍，阻抗乘以k2倍。不难证明，这样做的结果，归算前、后二次绕组内的功率和损耗均将保持不变。例如，传递到二次绕组的复功率为E i,"=(kE,)(2=E,i2(2-27)b式中，*号表示复数的共轭值。二次绕组的电阻损耗和漏磁场内的无功功率为I,2R,-"(R2)=12R2(2-28)I2X2=() (X2)=1,X
并有同样大小的功率传递给二次绕组。 归算后．二次侧各物理量的数值称为归算值，用原物理量的符号加“′”来表示。设二 次绕组电流和电动势的归算值为 2 • I ′和 2 • E ′，根据归算前、后二次绕组磁动势不变的原则， 可得 由此可得二次电流的归算值 2 • I ′为 由于归算前、后二次绕组的磁动势未变，因此铁心中的主磁通将保持不变；这样，根据感应 电动势与匝数成正比这一关系，便得 即二次绕组感应电动势的归算值 2 • E ′为 再把二次绕组的电压方程(式(2—22)中的第二式)乘以电压比 k，可得 式中，R2′和 X2σ′分别为二次绕组电阻和漏抗的归算值，R2′＝k 2 R2，X2σ′= k2 X2σ； 2 • U ′ 则是二次电压的归算值， 2 • U ′＝k 2 • U 。 综上所述可见，二次绕组归算到一次绕组时，电动势和电压应乘以 k 倍，电流乘以 1／ k 倍，阻抗乘以 k 2 倍。不难证明，这样做的结果，归算前、后二次绕组内的功率和损耗均将 保持不变。例如，传递到二次绕组的复功率为 式中，*号表示复数的共轭值。二次绕组的电阻损耗和漏磁场内的无功功率为