座位号 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数 试题及答案 题号 四 总分 得分 得分 评卷人 、填空题（每小题4分，共20分） 1.n元对称群S,中的全部偶置换对于置换的乘法组成一个群，称为n元 群。 2.平面上的一个图形Γ.若平面的一个正交变换将「变成与自己重合，则称 此变换是「的 性变换。 3.群G中若有」 个元，则称为无限群：若仅有个元则称为有限 群。 4.若E是F的扩域，ScE,则称域F(S)为F添加S而成的 域。 5.设R是环，M是R的理想，但不等于R.对R的任何包含M的理想N, 若N≠M,则N=R.这时称M为R的 理想。 得分 评卷人 二、选择题（每小题4分，共20分） 1.实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个() 群。 A.交错B.线性 C.交换 D.子 2.实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成n阶() 群 A.商B.无限C.有限 D.正交 3.无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的() A.阶 B.理想C.特征 D.幂 4.环Zs的所有子域是() 9036号近世代数试题第1页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 1 页 （共 5 页） 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数 试题及答案 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. n 元对称群 n S 中的全部偶置换对于置换的乘法组成一个群，称为 n 元_____ 群。 2. 平面上的一个图形 .若平面的一个正交变换将 变成与自己重合，则称 此变换是 的_________性变换。 3. 群 G 中若有_________个元，则称为无限群；若仅有______个元则称为有限 群。 4. 若 E 是 F 的扩域， S E ，则称域 F(S) 为 F 添加 S 而成的______域。 5. 设 R 是环， M 是 R 的理想，但不等于 R .对 R 的任何包含 M 的理想 N ， 若 N M ，则 N = R .这时称 M 为 R 的_________理想。 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 实数域 R 上全体 n 阶方阵的集合 Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个（ ） 群。 A．交错 B．线性 C．交换 D．子 2. 实数域 R 上全体 n 阶正交矩阵的集合 On(R)关于矩阵的乘法构成 n 阶（ ） 群. A． 商 B．无限 C．有限 D．正交 3. 无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的（ ） A. 阶 B. 理想 C. 特征 D．幂 4. 环 Z15 的所有子域是（ ） 座位号 得分 评卷人 得分 评卷人
A.{[3].[6].[9]-[12]} B.{[01.[31.[6].[9例.[12]} C.{[0].[31.[61-[9].[12][15]} D[01.[1[3].6]-[9].[12]} 5. 所有形如2m3”的有理数(m,n∈Z)的集合关于数的乘法构成()。 A.环B.域C.阵D.群 得分评卷人 三、计算题（每小题11分，共计44分） 1.设群G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}, 求G的子群H={(1),(12)}的所有右陪集与左陪集。 2.假定R是整数环，求(3,7)= 3.判断x3-x+2在有理数上是否可约. 9036号近世代数试题第2页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 2 页 （共 5 页） A. {.[3].[6].[9].[12]} B. {[0].[3].[6].[9].[12]} C. {[0].[3].[6].[9].[12].[15]} D{[0].[1][3].[6].[9].[12]} 5. 所有形如 m n 2 3 的有理数（m，n Z）的集合关于数的乘法构成（ ）。 A. 环 B. 域 C. 阵 D. 群 三、计算题（每小题 11 分，共计 44 分） 1. 设群 G=S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}， 求 G 的子群 H={（1）,（12）}的所有右陪集与左陪集。 2. 假定 R 是整数环，求（3，7）= 3. 判断 2 3 x − x + 在有理数上是否可约. 得分 评卷人
4.计算[Q(√5)：Q] 四、证明题(16分)（下面2个题任选其一：若2个题都答按得分高的题记分） 1.假定R是偶数环，证明：(4)是R的最大理想。 9036号近世代数试题第3页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 3 页 （共 5 页） 4. 计算[ Q( 5)：Q ] 四、证明题（16 分）（下面 2 个题任选其一；若 2 个题都答按得分高的题记分） 1. 假定 R 是偶数环，证明：（4）是 R 的最大理想
2.域F中非零元的乘法有限子群G皆为循环群」 试题答案 一、填空题（每小题4分，共20分） 1.交错2.对称3.无限多，有限4.扩5.极大 二、选择题（每小题4分，共20分） 1.C2.D3.C4.B5.D 三、计算题（每小题11分，共计44分） 1.解H(1)={(1),(12)},H(12)=H(1)月 H(13)={(13),(123)},H(123)=H(13)月 H(23)={(23),(132)},H(132)=H(23) 以上是H的所有右陪集。 …6分 (1)H={(1),(12)}, (12)H=(1)H (13)H={(13),(132):,(132)H=(13)H, (23)H={(23),(123)},(123)H=(23)H. 以上是H的所有左陪集。 …5分 2.解R是整数环，显然R=(1) …2分 (3,7)c(1) …2分 又1=(-2)3+1(7)∈(3,7) …2分 (1)c(3,7) …2分 所以(3,7)=(1) …3分 3.解：设它的有理根是9，（p,9)=1, …2分 p 则p巾故9是整数， …2分 p 不妨设它就是整数q, …2分 于是q2,q只有±1，±2四种可能代入多项式， …2分 知它们全不是根故原多项式无有理根，因而不可约。 …3分 4.解：V5满足Q上多项式方程x2-5=0, …4分 且x2-5在Q上不可约， …3分 故[Q(5):Q]=2 …4分 四、证明题(16分) 9036号近世代数试题第4页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 4 页 （共 5 页） 2. 域 F 中非零元的乘法有限子群 G 皆为循环群. 试题答案 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1.交错 2. 对称 3.无限多，有限 4. 扩 5. 极大 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1.C 2.D 3.C 4. B 5. D 三、计算题（每小题 11 分，共计 44 分） 1. 解 H(1)={(1),(12)}, H(12)=H(1); H(13)={(13),(123)}, H(123)=H(13); H(23)={(23),(132)}, H(132)=H(23). 以上是 H 的所有右陪集。 ……6 分 (1) H ={(1),(12)}, (12) H = (1) H; (13) H ={(13),(132)}, (132 ) H =(13) H; (23) H ={(23),(123)}, (123) H =(23) H. 以上是 H 的所有左陪集。 ……5 分 2. 解 R 是整数环，显然 R=（1） ……2 分 （3，7） （1） ……2 分 又 1=（-2）3+1（7）∈（3，7） ……2 分 （1） （3，7） ……2 分 所以（3，7）=（1） ……3 分 3. 解： 设它的有理根是 p q ，（ p,q ）=1， ……2 分 则 p1.故 p q 是整数， ……2 分 不妨设它就是整数 q ， ……2 分 于是 q 2， q 只有±1，±2 四种可能.代入多项式， ……2 分 知它们全不是根.故原多项式无有理根，因而不可约。 ……3 分 4. 解： 5 满足 Q 上多项式方程 5 0 2 x − = ， ……4 分 且 5 2 x − 在 Q 上不可约， ……3 分 故[ Q( 5)：Q ]=2 ……4 分 四、证明题（16 分）
1.证设M是R的一个理想，且M一R而M≠(4)…3分 则M除包含4n外至少包含一个m,而m=4q+r,0ep(G)=m,则任意g∈G满足方程gm=1, 或G中任一元 是xm-1=0的根， 4分 即域F上的m次多项式xm-1在F上至少有n个不同的根.于是域F上 多项式xm-1的不同的根的数目≥n>它的次数m,这是不可能 的. …4分 又G=n总是大于或等于exp(G)=m的， 故G=exp(G). …4分 由定理：设G是有限交换群，则G是循环群当且仅当p(G)=G.可知， G是循环群。…4分 9036号近世代数试题第5页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 5 页 （共 5 页） 1. 证 设 M 是 R 的一个理想，且 M R 而 M≠（4） ……3 分 则 M 除包含 4n 外至少包含一个 m，而 m=4q+r，0＜r＜4 ……3 分 m 是偶数，只有 r=2 ……3 分 那么，2=r=m—4q∈M ……3 分 故 M=R，即（4）是 R 的最大理想。 ……4 分 2. 证明：设 G = n ，若 n ＞ exp(G) = m ，则任意 g G 满足方程 = 1 m g ， 或 G 中任一元 是 −1 = 0 m x 的根， …… 4 分 即域 F 上的 m 次多项式 −1 m x 在 F 上至少有 n 个不同的根.于是域 F 上 多项式 −1 m x 的不同的根的数目≥ n ＞它的次数 m ，这是不可能 的. ……4 分 又 G = n 总是大于或等于 exp(G) = m 的， 故 G = exp(G) . ……4 分 由定理：设 G 是有限交换群，则 G 是循环群当且仅当 exp(G) = G .可知， G 是循环群。……4 分