座位号 试卷代号：9036 数学与应用数学专业近世代数 试题及答案 题号 三 四 分 得分 得分评卷人 一、填空题（每小题4分，共20分） 1.若映射@旺是单射又是满射，则称孕为 2.从同构的见点，每个群只能同态于它自己的 3写出环Z。的所有零因子 4.写出环同态9：Z→Z,a→[a的核Kcr9= 5.全体正实数对于实数的乘法成为一个 群 得分评卷人 二，选择题（每小题4分，共20分） 1.a是代数系统(A,o)的元素，若对任何的x∈A,均成立xo=X, 则称a为() (A)左单位元(B)右单位元(C)单位元(D)零因子 2.无零因子环R中所有非零元的共可的加法阶数称为R的《》 (A)阶(B)理想(C)特征(D)幂 3.区间1,2上的运算aob=mm{a,b}的单位元是() (A)1B) (c) (D)2 4 4.己知o=(12)(34),x=(135),则方程m=r的解是() (A)(12345) (B)(13245) (C)(14235) (D)(15234) 剪1页（共6页）
第 1 页 （共 6 页） 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数 试题及答案 题号 一 二 三 四 总 分 得分 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 若映射 既是单射又是满射，则称 为 。 2. 从同构的观点，每个群只能同态于它自己的 。 3. 写出环 Z10 的所有零因子 。 4. 写出环同态 ： , [ ] Z → Z2 a a 的核 Ker = 。 5. 全体正实数 对于实数的乘法成为一个________群. 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. a 是代数系统（A， ）的元素，若对任何的 x∈A，均成立 x a=x， 则称 a 为（ ） （A）左单位元 （B）右单位元 （C）单位元 （D）零因子 2. 无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的（ ） （A）阶 （B）理想 （C）特征 （D）幂 3. 区间[1，2]上的运算 a b = min{ a,b} 的单位元是（ ） （A）1 （B） 2 3 （C） 4 3 （D）2 4. 已知 = (12)(34), = (135),则方程x = 的解是（ ） （A） （1 2 3 4 5） （B）（1 3 2 4 5） （C） （1 4 2 3 5） （D）（1 5 2 3 4） 座位号 得分 评卷人 得分 评卷人
5. 对有率数城0上的矩阵A= 15 则A的迹是() 11 (A)(1+5)+1-5) (B)(1+5)-1-5) (C) (1+5) (D)1-5) 得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共计50分） 1.若A-(所有实数， (a.b)>a+b=a0b 判断这个代数运算适合不适合结合律？请给出解释， 2.设A-{1,2,3,",100,找一个A×A到A的职射. 第2页（共6页）
第 2 页 （共 6 页） 5. 对有理数域 Q 上的矩阵 = 1 1 1 5 A ，则 k A 的迹是（ ） （A） k k (1+ 5) + (1− 5) （B） k k (1+ 5) − (1− 5) （C） k (1+ 5) （D） k (1− 5) 三、计算题（每小题 10 分，共计 50 分） 1. 若 A={所有实数}。 ○：（a，b） → a+b=a○b 判断这个代数运算适合不适合结合律？请给出解释. 2. 设 A={1，2，3，……，100}，找一个 A×A 到 A 的映射。 得分 评卷人
3.假定◆是A与A间的一个一一映射，a是A的一个元。 求-[a】=?,(a)=7 4.假定R是所有复数ai(a,b是整数)作成的环，环R有多少元？ 1+ i.设a是x3-9x2-3的-个实根，求[Q(a):Q] 第3页（共6到1
第 3 页 （共 6 页） 3. 假定φ是 A 与 A 间的一个一一映射，a 是 A 的一个元。 求 [ ( )] ?, [ ( )] ? 1 1 = = − − a a 4. 假定 R 是所有复数 a+bi（a，b 是整数）作成的环，环 i R 1+ 有多少元？ 5. 设 a 是 9 3 3 2 x − x − 的一个实根，求 [Q(a) : Q]
四、证明题（下列两个题中任透一个解答.10分） 1,证明：一个循环排一定是交换群. 2.证明：环R中的可逆元不是零因子。 试题答案 一、填空题（每小题4分，共20分） 1一一映射2.商群3[2)4)[5[68周40[问10 5.交换 二、选择题（每小题4分，共20分》 1.B2.C3.D4.A5.A 三、计算圆（每小题10分，共计0分） 1.若A-{所有实数！ Q:(a,b)-ath-aOh 判新这个代疑运算适台不适合结合律？请给出解释 解这个代数运算不适合结合律。…1分 因为(aOb)○c+2b+2c,3分 a0(bc)=a+2b+4c…3分 (a○b)○c≠aO(bOe》除c03分 2.设A={1,2,3,…,100明，找个A×A到A的映射。 解：(a,4)=13分 4(a,42）=4a1,a2∈A3分 易证真，都是A×A到A的肤射.4分 3.。及定中是A与A间的·个映射，a是A的个元： 第4页（共6页）
第 4 页 （共 6 页） 四、证明题（下列两个题中任选一个解答.10 分） 1. 证明：一个循环群一定是交换群。 2. 证明：环 R 中的可逆元不是零因子。 试题答案 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 一 一映射 2. 商群 3. [2] [4] [5] [6] [8] 4. {[0] [5] [10]} 5. 交换. 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1.B 2.C 3. D 4. A 5. A 三、计算题（每小题 10 分，共计 50 分） 1. 若 A={所有实数}。 ○：（a，b） → a+b=a○b 判断这个代数运算适合不适合结合律？请给出解释. 解 这个代数运算不适合结合律。……1 分 因为（a○b）○c=a+2b+2c，……3 分 a○（b○c）=a+2b+4c……3 分 （a○b）○c≠a○（b○c）除 c=0……3 分 2. 设 A={1，2，3，……，100}，找一个 A×A 到 A 的映射。 解 ：1 (a1 ,a2 ) =1……3 分 2 (a1 ,a2 ) = a1 a1 ,a2 A……3 分 易证 1 2 , 都是 A×A 到 A 的映射。……4 分 3. ．假定φ是 A 与 A 间的一个一一映射，a 是 A 的一个元
-[ajl=?,p-(a=? 解[州a】=a(a】未必有意义：…3分 当中是A的…个·一变换时3分 [州a小=a帆'(a=a.…4分 4.假定R是所有复数abi(a,b是整数)作成的环，环R 有多少元？ 1+ 解R是有单位元的交换环…】分 那么主理想(1+i)的元的形式应为(a+b)《1+i)-《(b)+(+h)i… 2分 令bx,atby.则可得十上=a二=b…1分 2 2 当且仅当x,y奇得性相同时，a,b是整数…】分 所以R(1+i)有2个元.1分 一·个是u+v面u,v奇偶性相同以+为代表：2分 一个是[uv]而u,v奇偶性相反以[1+2]为代表。…2分 5.设a是x3-9x2-3的一个实根，求[Q(a):Q] 解：取素数3.…3分 3封首项系数1,3引所有其它系数，32{常数项3…3分 用艾森斯坦判别法，知上述多项式在Q上不可约。3分 故[Q(a):Q]=3…】分 四、证明愿（下列两个题中任选一个解答，10分） 1.证明：一个循环群一定是交换群， 证设循环群G产(a),3分 那么对于G的任两个元a,a有3分 a=a-a=a”a”,3分 故G是一个交换指。…】分 2.证明：环R中的可逆元不是零因子 证明：设aeR为可逆元，2分 如有b∈R,使b=0,同乘al2分 第5页（共6页）
第 5 页 （共 6 页） [ ( )] ?, [ ( )] ? 1 1 = = − − a a 解 [ ( )] , [ ( )] 1 1 a a a − − = 未必有意义；……3 分 当φ是 A 的一个一一变换时……3 分 [ ( )] , [ ( )] . 1 1 a = a a = a − − ……4 分 4. 假定 R 是所有复数 a+bi（a，b 是整数）作成的环，环 i R 1+ 有多少元？ 解 R 是有单位元的交换环……1 分 那么主理想（1+i）的元的形式应为（a+bi）（1+i）=（a-b）+（a+b）i…… 2 分 令 a-b=x，a+b=y，则可得 b y x a x y = − = + 2 , 2 ……1 分 当且仅当 x，y 奇偶性相同时，a，b 是整数……1 分 所以 R/（1+i）有 2 个元.……1 分 一个是[u+v]而 u，v 奇偶性相同以[1+i]为代表；……2 分 一个是[u+vi]而 u，v 奇偶性相反以[1+2i]为代表。……2 分 5. 设 a 是 9 3 3 2 x − x − 的一个实根，求 [Q(a) : Q]. 解：取素数 3. ……3 分 3∤ 首项系数 1，3∣ 所有其它系数， 2 3 ∤ 常数项 3……3 分 .用艾森斯坦判别法，知上述多项式在 Q 上不可约，……3 分 故 [Q(a) : Q] =3……1 分 四、证明题（下列两个题中任选一个解答.10 分） 1. 证明：一个循环群一定是交换群。 证 设循环群 G=（a）, ……3 分 那么对于 G 的任两个元 a m,an 有……3 分 a ma n=am+n=an+m= an a m, ……3 分 故 G 是一个交换群。……1 分 2. 证明：环 R 中的可逆元不是零因子。 证明；设 a∈R 为可逆元，……2 分 如有 b∈R，使 ab=0，同乘 − a 1……2 分
aab■a0,即b=0..a不是左零因子2分 同理a也不是右零因子，2分 4不是零因子。…2分 第6页（共6到）】
第 6 页 （共 6 页） a −1 ab = a −1 0,即b = 0a不是左零因子……2 分 同理 a 也不是右零因子，……2 分 ∴a 不是零因子。……2 分