座位号 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数试题及答案 题号 一 三 四 总分 得分 得分评卷人 一、填空题（共24分，每思3分） 1.设G是一个群.若寸a.b∈G皆有(ab)2=a2b2,则G是群. 2.设群G的每个元a都端足a2=e,则G是群。 3.H是拼G的非空子集，如果H对于G的乘法也成为群，则称H为G的群。 4.R是交换环，aER,则aR是R的理想.我们称它为R的理想 5.设R是环，若R除零理想和R本身外投有其它理想，则称R为环： 6.设R是有非零元的环，若它是交换环且无，则称R为整环。 7,设整环R与R,统购，它们分别由分式域E与F,,则是同构的域。 8.R是环S是R的了集，它含有R的乘法单位元1，且对于R的运算仍成为环，则 称S为R的环。 得分 评卷人 二、单项远择题（共24分，每思3分） 1.三次对称拼S,=1).(12)(13).(23).(123).(132的子群有()个. A 1 B6 C 6! D3 2.设H是群G的一个非空子集，且H2=H,当H有限时，则H()G. AD多 3.设P是任意一个素数，m是任意一个正整数，那么P"阶群一定有P阶元，从而 有()阶子群. A p B m C p D pm 906号近世代数试题第1页（共6页）
9036 号 近世代数 试题 第 1 页 （共 6 页） 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数 试题及答案 题号 一 二 三 四 总 分 得分 一、填空题（共 24 分，每题 3 分） 1.设 G 是一个群.若 a, b ∈G 皆有 2 2 2 (ab) = a b ，则 G 是______群。 2.设群 G 的每个元 a 都满足 a = e 2 ，则 G 是______群。 3. H 是群 G 的非空子集，如果 H 对于 G 的乘法也成为群，则称 H 为 G 的____群。 4.R 是交换环， a R，则 a R 是 R 的理想.我们称它为 R 的_____理想。 5.设 R 是环，若 R 除零理想和 R 本身外没有其它理想，则称 R 为____环。 6.设 R 是有非零元的环，若它是交换环且无_______，则称 R 为整环。 7.设整环 R1 与 R2 统购，它们分别由分式域 F1 与 F2 ，则_______是同构的域。 8. R 是环.S 是 R 的子集，它含有 R 的乘法单位元 1，且对于 R 的运算仍成为环，则 称 S 为 R 的_____环。 二、单项选择题（共 24 分，每题 3 分） 1. 三次对称群 (1),(12),(13),(23),(123),(132) S3 = 的子群有（ ）个。 A 1 B 6 C 6！ D 3 2. 设 H 是群 G 的一个非空子集，且 H = H 2 ，当 H 有限时，则 H （ ） G 。 A ＜ B ≤ C ＞ D ≥ 3.设 p 是任意一个素数， m 是任意一个正整数，那么 m p 阶群一定有 p 阶元，从而 有（ ）阶子群。 A p B m C m p D pm 座位号 得分 评卷人 得分 评卷人
4.设G是一个2n阶交换样如果n是个奇数，则G有且只有一·个()阶子拼. A 2 B n C 2n D 2" 5.设G是一个2卫(p为素数)阶有限非交换群则G一定有()个P阶子群， A IB2 C 3 D4 6.设卫，g是两个素数，且p<q则p四阶群G最多有()个g阶子群： A 1 B2 C3 D 4 7.若H是有理数加群Q的一个真子程则存在Q的真子群K〔)H, AC BC C D 8.若N是群G的一个正规子群，且(G:N门=m.则对G中的任意元素， 都有〔)。 Aa"EN B aN C a"CN D a"=N 得分 评娄人 三、计算题（共0分，每题10分） 1,设G是由有理数域上全体2阶满秩方库关于方库普通乘法作成的拼，求G中下 列各元素的阶 2.在同构意义下，利用不变因子给出所有2阶交换带 036号近世代数试愿第2页（共6真）
9036 号 近世代数 试题 第 2 页 （共 6 页） 4.设 G 是一个 2 n 阶交换群.如果 n 是一个奇数，则 G 有且只有一个（ ）阶子群。 A 2 B n C 2 n D n 2 5. 设 G 是一个 2 p （ p 为素数）阶有限非交换群.则 G 一定有（ ）个 p 阶子群。 A 1 B 2 C 3 D 4 6. 设 p,q 是两个素数，且 p ＜ q .则 pq 阶群 G 最多有（ ）个 q 阶子群。 A 1 B 2 C 3 D 4 7. 若 H 是有理数加群 Q+ 的一个真子群.则存在 Q+ 的真子群 K （ ） H 。 A B C D = 8. 若 N 是群 G 的一个正规子群，且 (G : N) = m .则对 G 中的任意元素 a ， 都有（ ）。 A a N m B a N m C a N m D a N m = 三、计算题（共 40 分，每题 10 分） 1. 设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵关于方阵普通乘法作成的群，求 G 中下 列各元素的阶. （1） − = 1 0 0 1 a ， − − = 1 1 0 1 b ， ab =？ （2） = 0 1 1 2 c ， − = 0 1 1 3 d , cd =？ 2. 在同构意义下，利用不变因子给出所有 72 阶交换群. 得分 评卷人
3.求36阶可换群的所有类型 4.求Z8>的切非零理想及其交 得分评卷人 06号近世代数试题第3页（共6真）
9036 号 近世代数 试题 第 3 页 （共 6 页） 3. 求 36 阶可换群的所有类型. 4. 求 Z/的一切非零理想及其交. 得分 评卷人
四、证明题（共12分，每想6分） 1,域F中非零元的乘法有限子群G皆为循环群。 2.设R是整环，则多项式环风x,x,x:】是整环。 试题答案 一、填空趣（共24份，每题3分） 1,交换2交换3.子4主5.单6罗因子7耳与F8.子 二、达择题（共24份，每题3分） 1.B2B3.A4.A5.A 6.A7.C8.A 三、计算题（共40份，每题10分） 1,设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵关于方阵普适乘法作成的群，求G中下 列各元素的阶 awa-0}-0 ￥图为-00d-(日0 a-09 故a的阶是4. 8-0-68 于是b的阶是3 036号近世代数试题第4页（共6页）
9036 号 近世代数 试题 第 4 页 （共 6 页） 四、证明题（共 12 分，每题 6 分） 1. 域 F 中非零元的乘法有限子群 G 皆为循环群。 2. 设 R 是整环，则多项式环 [ , , , ] 1 2 k R x x x 是整环。 试题答案 一、填空题（共 24 份，每题 3 分） 1. 交换 2. 交换 3. 子 4. 主 5. 单 6. 零因子 7. F1 与 F2 8. 子 二、选择题（共 24 份，每题 3 分） 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A 三、计算题（共 40 份，每题 10 分） 1. 设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵关于方阵普通乘法作成的群，求 G 中下 列各元素的阶. （1） − = 1 0 0 1 a ， − − = 1 1 0 1 b ， ab =？ 解：（1）因为 − − = 0 1 1 0 2 a ， − = 1 0 0 1 3 a , = 0 1 1 0 4 a ，故 a 的阶是 4. 又 − − = 1 0 1 1 2 b ， = 0 1 1 0 3 b ，于是 b 的阶是 3
又因为ab 10 且对任意正整数n有 ar-6-6）-09 故b为无果ac-0》a-0到oa- 解：与(1)中类以，c的阶为无限，d的阶为2 a-0 故cd的阶是2 2.在可构意义下，利用不变因子给出所有72阶交换群 解：因为722·3”，于是72阶交换群的初等因子组共有6种 即2,2,2,3,3}，2,22,3,3，{2,3,3}，2,2,2,32}，{2,22， 32),(23产1.于是相应的不变因了组也共有6种. 即2,8,6，{6,12}，3,24)，[2,2,18}，{2,36，{72}. 从而相应地，我们有互不同构的所有T2阶交换群共有6个，即 C2×C6×C6,C6×C2,C3×C,C2×C2×Cw,C2×C6,Cn 3.求36阶可换程的所有类型 解：由30=2232， 于是它的初等因子组有2,32}，2,3223,3引，22,33到 因而36阶可换拼有4个。 4.求Z小8>的一切非零理想及其交 解：28-右，i2…}的非平凡子加群有两个， 即何=6同=2a动达也处司 的全部非平理想， 显然 的全部非零理想交为（④ 036号近世代数试思 第5页（共6页）
9036 号 近世代数 试题 第 5 页 （共 6 页） 又因为 = 0 1 1 1 ab ，且对任意正整数 n 有 = = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 ( ) n ab n n 故 ab 的阶为无限.（2） = 0 1 1 2 c ， − = 0 1 1 3 d , cd =？ 解：与（1）中类似，c 的阶为无限，d 的阶为 2. 又 − = 0 1 1 1 cd ，故 cd 的阶是 2. 2. 在同构意义下，利用不变因子给出所有 72 阶交换群. 解：因为 72= 3 2 2 3 ，于是 72 阶交换群的初等因子组共有 6 种. 即 {2，2，2，3，3}，{2， 2 2 ，3，3}，{ 3 2 ，3，3}，{2，2，2， 2 3 }，{2， 2 2 ， 2 3 }，{ 3 2 2 ,3 }.于是相应的不变因子组也共有 6 种. 即 {2，6，6}，{6，12}，{3，24}，{2，2，18}，{2，36}，{72}. 从而相应地，我们有互不同构的所有 72 阶交换群共有 6 个，即 C2 C6 C6 ，C6 C12 ，C3 C24，C2 C2 C18 ，C2 C36 ，C72 3. 求 36 阶可换群的所有类型. 解：由 36= 2 2 2 3 ， 于是它的初等因子组有 2 2 2 ,3 ， 2 2,2,3 ，2 ,3,3 2 ，2,2,3,3 因而 36 阶可换群有 4 个。 4. 求 Z/的一切非零理想及其交. 解：Z= 0,1,2, ,7 的非平凡子加群有两个， 即 4 = 0,r， 2 = 0,2,4,6 这也是 8 Z 的全部非平理想， 显然， 8 Z 的全部非零理想交为 4
四、证明题（共12份，每愿6分） 1.域F中非零元的乘法有限子群G皆为循环带。 证明：设|G|n,若n>cG-m,则任意g∈G满足方程gL,或G中任一元是 x°-1=0的根， 即域下上多项式x”-1的不同的根的数日≥>它的次数m这是不可能的 又IG|=n总是大于或等于cxp(GFm的， 故|G1=eG)由定理6知G是循环排. 2.设R是整环，则多项式环风x,,,x,是整环 证明：x,x2,,x]Fx小✉小由命题2，从R是整环，知x]为整 环， 于是风xx1是整环，然后xx]儿x,】,风x[x2小x]都是整环。 06号近世代数试题第6页（共6真）
9036 号 近世代数 试题 第 6 页 （共 6 页） 四、证明题（共 12 份，每题 6 分） 1. 域 F 中非零元的乘法有限子群 G 皆为循环群。 证明：设︱G ︳=n，若 n＞exp(G)=m，则任意 g∈G 满足方程 g m =1,或 G 中任一元是 x m -1=0 的根， 即域 F 上多项式 x m -1 的不同的根的数目≥n＞它的次数 m,这是不可能的. 又︱G ︳=n 总是大于或等于 exp(G)= m 的， 故︱G ︳= exp(G).由定理 6 知 G 是循环群。 2. 设 R 是整环，则多项式环 [ , , , ] 1 2 k R x x x 是整环。 证明： [ , , , ] 1 2 k R x x x = [ ][ ] [ ] 1 2 k R x x x .由命题 2，从 R 是整环，知 [ ] 1 R x 为整 环， 于是 [ ][ ] 1 2 R x x 是整环，然后 [ ][ ][ ], , [ ][ ] [ ] 1 2 3 1 2 k R x x x R x x x 都是整环