座位号 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数试题及答案 题号 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、填空题（每空4分，共20分） 1.当群G的运算满足 律时，称G为交换群。 2.设群G的每个元a都满足a2=e,则G是群。 3.循环群的同态像是 群。 4.G的阶是p的方幂，p是素数，则G中有阶元。 5.Z的理想(n)为极大理想的充分必要条件是n为数。 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.若群G的n阶子群只有()个，则此n阶子群必是G的正规子群。 Al B2 C3 D4 2.每个循环群都同构于无限循环群的( )个商群。 A0B1C2D无穷多 3.在同构意义下，6阶非交换群只有( A S B S2 C S:D S 4.无限循环群有()个子群。 A0B1C有限D无限多 5.环Z:中的零因子有()个。 A 1 B2 C3D4 9036号近世代数试题 第1页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 1 页（共 5 页） 试卷代号：9036 数学与应用数学专业 近世代数 试题及答案 题号 一 二 三 四 总 分 得分 一、填空题（每空 4 分，共 20 分） 1. 当群 G 的运算满足_____律时，称 G 为交换群。 2. 设群 G 的每个元 a 都满足 a = e 2 ，则 G 是______群。 3. 循环群的同态像是______群。 4. G 的阶是 p 的方幂，p 是素数，则 G 中有_____阶元。 5. Z 的理想(n)为极大理想的充分必要条件是 n 为_____数。 二、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 若群 G 的 n 阶子群只有（ ）个，则此 n 阶子群必是 G 的正规子群。 A 1 B 2 C 3 D 4 2. 每个循环群都同构于无限循环群的（ ）个商群。 A 0 B 1 C 2 D 无穷多 3. 在同构意义下，6 阶非交换群只有（ ）。 A 1 S B 2 S C 3 S D 6 S 4. 无限循环群有（ ）个子群。 A 0 B 1 C 有限 D 无限多 5. 环 Z8 中的零因子有（ ）个。 A 1 B 2 C 3 D 4 座位号 得分 评卷人 得分 评卷人
得分评卷人 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.写出S4的全部共轭类。 2.确定S,中的所有子群 3.求36阶可换群的所有类型. 9036号近世代数试题第2页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 2 页（共 5 页） 三、计算题（每小题 11 分，共 44 分） 1. 写出 4 S 的全部共轭类。 2. 确定 3 S 中的所有子群 3. 求 36 阶可换群的所有类型. 得分 评卷人
4.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵关于方阵普通乘法作成的群，求G中 下列元素的阶 已期a-06-(9 求ab的阶 得分评卷人 四、证明题（下列2个题中任选一个.16分） 1.设G是有限交换群，则G是循环群当且仅当exp(G)|G|· 9036号近世代数试题第3页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 3 页（共 5 页） 4. 设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵关于方阵普通乘法作成的群，求 G 中 下列元素的阶. 已知 − = 1 0 0 1 a ， − − = 1 1 0 1 b ，求 ab 的阶 四、证明题（下列 2 个题中任选一个.16 分） 1. 设 G 是有限交换群，则 G 是循环群当且仅当 exp(G)=︱G ︳. 得分 评卷人
2.任意有限域F都是特征为p的，p是与F有关的一个素数。 试题答案及评分标准 (供参考) 一、填空题 1.交换2.交换3.循环 4.p5.素 二、单项选择题 1.A2.B3.C 4.D5.D 三、计算题 1.解(1)： (12),(13),(14),23),(24),(34)月 (123).,(132),(124),(142),134),(143),(234),(243) (1234),(1243),(1324),(1342),(1423).(1432)月 (12)(34),(13)(24),(14)(23)。 2.解：因为S=6,除平凡子群外，S,中只可能有2阶或3阶子群， 又因2与3皆为素数，故它们都是循环子群，由2阶元和3阶元生成 从而S,中全部子群为 H1=1 H=,H3=,H4=,H,=,H6=S36分 3.解：由36=2232， 于是它的初等因子组有22,32}22,32}，223,3,2,2,33} 因而36阶可换群有4个。 4.）因为a2 d-(9-09 故a的阶是4. 汉8-气。6-0)于起6的骑是a 9036号近世代数试题 第4页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 4 页（共 5 页） 2. 任意有限域 F 都是特征为 p 的， p 是与 F 有关的一个素数。 试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题 1. 交换 2. 交换 3. 循环 4. p 5. 素 二、单项选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. D 三、计算题 1. 解 (1); (12),(13),(14),(23),(24),(34); (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243); (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432); (12)(34),（13）（24），（14）（23）。 2. 解：因为 3 S =6，除平凡子群外， 3 S 中只可能有 2 阶或 3 阶子群， 又因 2 与 3 皆为素数，故它们都是循环子群，由 2 阶元和 3 阶元生成. 从而 3 S 中全部子群为 H1 =1 ， H =, H3 =, H4 =, H5 =, H6 = 3 S ……6 分 3. 解：由 36= 2 2 2 3 ， 于是它的初等因子组有 2 2 2 ,3 ， 2 2,2,3 ，2 ,3,3 2 ，2,2,3,3 因而 36 阶可换群有 4 个。 4. ）因为 − − = 0 1 1 0 2 a ， − = 1 0 0 1 3 a , = 0 1 1 0 4 a ，故 a 的阶是 4. 又 − − = 1 0 1 1 2 b ， = 0 1 1 0 3 b ，于是 b 的阶是 3
又因为ab= 且对任我正豫数n有ar-日-（0习产09 故ab的阶为无限. 四、证明题 1.证明：设G是循环群，则有g∈G,G=, 则|GI=o(g)=exp(G): 反之，设|GI=exp(G), 由引理5有g∈G,o(g)=exp(G) 于是11=o(g)=1G1, 知=G,即G是循环群。 2.证明：只要证F的特征不为零就行 反证法设F的特征为零， 则任意m,n∈Z,m≠n, 有(m-n)·1≠0， 于是m·1≠n·1. 因而F中有无限个不同的元，矛盾.命题得证. 9036号近世代数试题 第5页（共5页）
9036 号 近世代数试题 第 5 页（共 5 页） 又因为 = 0 1 1 1 ab ， 且对任意正整数 n 有 = = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 ( ) n ab n n 故 ab 的阶为无限. 四、证明题 1. 证明：设 G 是循环群，则有 g∈G,G=, 则︱G ︳=o(g)= exp(G). 反之，设︱G ︳= exp(G)， 由引理 5 有 g∈G，o(g)= exp(G). 于是︱ ︳= o(g)= ︱G ︳， 知=G，即 G 是循环群。 2. 证明：只要证 F 的特征不为零就行. 反证法 设 F 的特征为零， 则任意 m，n∈Z, m ≠n, 有（m －n）·1≠0, 于是 m ·1≠n ·1. 因而 F 中有无限个不同的元，矛盾.命题得证