第十章拉普拉斯变换 上海交通大本科学课程 2003年9月
第十章 拉普拉斯变换 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
拉氏变换是研究线性完常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题 变换成复频域中的代数运算,因此,在五十 年代、六十年代,人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别,可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是,拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的,而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题, 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位,但在线性定常网络 中,对它的作用是不能低估的
拉氏变换是研究线性定常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题， 变换成复频域中的代数运算，因此，在五十 年代、六十年代，人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别，可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是，拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的，而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题， 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位，但在线性定常网络 中，对它的作用是不能低估的
拉氏变换的定义和性质 ●定义有时城函数(则F(2f()"t 也可表示成F(s)=Cf(t 拉氏反变换f(t)=C1[F(s)] 其中s=σ+jo是复数,f(称原函数F()称象函数。 ①积分下限为何为0 f(t) f(t)=6(t)+u(t 取积分下限为0-,使积 分中包含了冲击函数
拉氏变换的定义和性质 定义 有时域函数f(t) 则 0 ( ) ( ) st F s f t e dt − − 也可表示成F(s)= ℒ[f(t)] 拉氏反变换f(t)= ℒ -1 [F(s)] 其中s=+j 是复数， f(t)称原函数 F(s)称象函数。 ①积分下限为何为0- f(t)=(t)+u(t) 取积分下限为0- ，使积 分中包含了冲击函数。 t f t( ) 1 0
②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的满足绝对可 积)。函数O=e随时间增长的速度比e 随时间衰减得快当t→∞,被积函数的积分式 「ee"h→o,所以函数f()=e没有拉氏变换 但在工程上,即在电路问题中,由于激励总有 起始时间,响应总对应某一时刻,所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应 设 ()=e01x4!t可任意大,但总对应 t1+ 具体时间位置
②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的(满足绝对可 积)。函数 随时间增长的速度比 2 ( ) t f t e = st e − 随时间衰减得快,当t→，被积函数的积分式 2 0 t st e e dt − − → ，所以函数 2 ( ) t f t e = 没有拉氏变换 但在工程上，即在电路问题中，由于激励总有 起始时间，响应总对应某一时刻，所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应。 设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t + = + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置
设 f(D)= 0?tt,+1 具体时间位置。 如果在tt1+1 f() N 那么在tt1+1 y2(t) N 则y2(t)=y1( 这说明,只要t<t+1,则任意网络对f的响应 和对f()=e的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的,变换就具 有普遍性
设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t + = + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置。 如果在t<t1+1 那么在t<t1+1 则 y2 (t)=y1 (t) 这说明，只要t<t1+1，则任意网络对f1 (t)的响应 和对 2 ( ) t f t e = 的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的，变换就具 有普遍性。 1 f t( ) 1 y t( ) N 2 t e 2 y t( ) N 2 t e 1 0 t l +1 t
●唯一性原函数和象函数是一一对应关系 唯一地 唯一地 f(t)→>F(S),F(s)→>f(t) 现在有 1t>0 f(1)=105t=0 g()={1t=0 0t<0 0t<0 从表达式中可看出,f)与g()是有区别的,数学 上认为是两个函数。但在工程上:f()=u(), CI(t=1/s g(t=u(t, LIg(t]=1/s 在工程上,这是无关紧要的差别
唯一性 原函数和象函数是一一对应关系 f t F s F s f t ( ) ( ), ( ) ( ) → → 唯一地 唯一地 现在有 1 0 ( ) 0.5 0 0 0 t f t t t = = 1 0 ( ) 1 0 0 0 t g t t t = = 从表达式中可看出，f(t)与g(t)是有区别的，数学 上认为是两个函数。但在工程上：f(t)=u(t)， ℒ[f(t)]=1/s；g(t)=u(t)，ℒ[g(t)]=1/s 在工程上，这是无关紧要的差别
直线性(线性性) gc1f1(t)+c2f2()=c12[1()]+c22(t) 其中c1、c2是任意常数。 拉氏变换是线性函数,由若干原函数组合的象 函数,等于各原函数的象函数的同样形式的线 性组合。 v(t=Ri(t LIv(t]= C[Ri(t]=RC[i(t) V(S=RI(S) P V(s) S i(t). R 1(s)k +V(s)
直线性（线性性） i t( ) + v t( ) − R ℒ[c1 f1 (t)+c2 f2 (t)]=c1ℒ[f1 (t)]+c2ℒ[f2 (t)] 其中c1、c2是任意常数。 拉氏变换是线性函数，由若干原函数组合的象 函数，等于各原函数的象函数的同样形式的线 性组合。 v(t)=Ri(t) ℒ[v(t)]= ℒ[Ri(t)]=Rℒ[i(t)] V(s)=RI(s) ( ) ( ) V s R I s = I s( ) + V s( ) − R
微分规则若f(→F(s)则c[4f()=sF(s)f(0-) 时域中的求导运算,相当于复频域中乘以s的运 算,并以f(0)计入初始条件。 f(=e u(t) f2(1)=-l(-D)+e“l() fi(t=e -aI 以上三个函数在t>0时是一样的,但在t0点各不 相同,它们的拉氏变换是相同的
微分规则 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 若f(t)→F(s) 则ℒ [ f(t)]=sF(s)-f(0-) d dt 时域中的求导运算，相当于复频域中乘以s的运 算，并以f(0-)计入初始条件。 以上三个函数在t>0时是一样的，但在t=0点各不 相同，它们的拉氏变换是相同的。 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t
Af1()=e“u() Af2(t)=-l(-1)+eu(t) 以上三个函数在t>0时是一样的,但在t=0点各 不相同,它们的拉氏变换相同 C[f4(=C[f2(= s+a 但它们微分的我民变换各不相同 S f,f()= 0f,f2(t) +1ff3() S S+a s+a s+a
以上三个函数在t>0时是一样的，但在t=0点各 不相同，它们的拉氏变换相同 ℒ[f1 (t)]= ℒ[f2 (t)]= ℒ[f3 (t)]= 1 s + 但它们微分的拉氏变换各不相同 1 [ ( )] 0 d s f t dt s = − + £ 2 [ ( )] 1 d s f t dt s = + + £ 3 [ ( )] 1 d s f t dt s = − + £ 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t
Af(t=e u(t) Af2(t)=-l(-1)+eu(t) ▲f3(t) e ￡4f()2=-0af()=-5+124/(O s+a s+a S+a f1( 2(t) f() s(t)-ae d2(t) 26(1)-ae -ae dt dt
1 [ ( )] 0 d s f t dt s = − + £ 2 [ ( )] 1 d s f t dt s = + + £ 3 [ ( )] 1 d s f t dt s = − + £ 1 ( ) ( ) df t t t e dt − = − 2 ( ) 2 ( ) df t t t e dt − = − 3 ( ) df t t e dt − = − 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t 1 f t '( ) 1 0 t 2 f t '( ) 0 t 2 3 f t '( ) 0 t