第十章拉普拉斯变换 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
第十章 拉普拉斯变换 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
积分规则若f)→F(s)3:(h F(s) S f∫(t)d f(tdt] ←由初始条件引起 i1(0) v()dt+i1(0) 1(s)=V(s)+ ls S +V(s) Cai(tdt+.(0_) e(s)+"(0) V(s)
积分规则 若f(t)→F(s) ←由初始条件引起 0 ( ) [ ( ) ] t F s f t dt s − = £ 0 ( ) ( ) [ ( ) ] t F s f t dt f t dt s s − − − = + £ 0 1 ( ) ( ) (0 ) 1 (0 ) ( ) ( ) t L L L L L L i t v t dt i L i I s V s Ls s − − − = + = + ( ) L I s ( ) V s L + − (0 ) L i s − 1 Ls 0 1 ( ) ( ) (0 ) 1 (0 ) ( ) ( ) t C C C C C C v t i t dt v C v V s I s Cs s − − − = + = + ( ) C I s ( ) + V s C − + − (0 ) Cv s 1 − Cs
●延迟定理(时域平移性质) 电路中所讨论的函数都是有始函数(起始函数), 即在0时,f(t)=0,所以函数可用f(u(表示 当该函数延迟出现,便成为f(t-u(t) 若f(→F(s)则f(t-)(t-)=F(s)e 原函数在出现的时间上推迟τ,(即其图形沿时 间轴向右移动),则其象函数乘以延时因子e 象函数乘以延迟因子,其原函数在时域中平移τ
延迟定理（时域平移性质） 电路中所讨论的函数都是有始函数(起始函数)， 即在t<0时，f(t)=0，所以函数可用f(t)u(t)表示， 当该函数延迟出现，便成为f(t-)u(t-) 若f(t)→F(s) 则 [ ( ) ( )] ( ) s f t u t F s e − £ − − = 原函数在出现的时间上推迟 ，(即其图形沿时 间轴向右移动)，则其象函数乘以延时因子 象函数乘以延迟因子, 其原函数在时域中平移 s e −
▲f1(t)=f()u(t) ▲2()=f(t-r)(t) 43(t)=f(1)(t-r) ▲f4(t)=f(t-t)u(-z) 对延迟函数的表示应注意上述fu(是指上图 的f1(),而其延迟函数是指f4(t),不要误解为 f2(或f3(t)
对延迟函数的表示应注意:上述f(t)u(t)是指上图 的f1 (t)，而其延迟函数是指f4 (t)，不要误解为 f2 (t)或f3 (t) f t( ) 0 t 1 f t f t u t ( ) ( ) ( ) = 0 t 2 f t f t u t ( ) ( ) ( ) = − 0 t 3 f t f t u t ( ) ( ) ( ) = − 0 t 4 f t f t u t ( ) ( ) ( ) = − − 0 t
●复频域平移性质 若f→F(s)则ef()=F(s+a) 原函数乘以e其原函数在复频域上平移 初值定理 若f)→F(s),且!msF(s)存在,则 lim f(t=f(o.=lim sF(s ●终值定理 S→00 若f→F(s),且mf存在,则 lim f(t=f(oo)=lim SF(s) →)∞ S→》 借助于初值定理和终值定理,对某象函数F(s),可 以不求出它的原函数f(,就能求出(0+)和f(∞)
复频域平移性质 若f(t)→F(s) 则 [ ( )] ( ) t e f t F s − £ = + 原函数乘以 其原函数在复频域上平移 初值定理 若f(t)→F(s) ，且 lim ( ) s sF s → 存在，则 0 lim ( ) (0 ) lim ( ) t s f t f sF s + + → → = = 终值定理 若f(t)→F(s) ，且 lim ( ) t f t → 存在，则 0 lim ( ) ( ) lim ( ) t s f t f sF s → → = = 借助于初值定理和终值定理,对某象函数F(s),可 以不求出它的原函数f(t),就能求出f(0+)和f() e −
●卷积定理 个线性电路对任意激励f(t的零状态响应z0(t), 等于激励函数f(和该电路冲击响应h(的卷积。 5(0 h(t) f() h()*f(1)=f()h(t-r)dz 若f()→F(s),h(t)→H(),2z0(t)→z0(s)则 elf(t)*h(t)= F(sH(s z0(s)=F(s)H() H(S F(S) H(SF(S) 时城中的卷积,等于复频域中的乘积
卷积定理 1 F s( ) H s( ) H s F s ( ) ( ) N s( ) 一个线性电路对任意激励f(t)的零状态响应z0 (t), 等于激励函数f(t)和该电路冲击响应h(t)的卷积。 若f(t)→F(s), h(t)→H(s), z0 (t)→Z0 (s) 则 £[ ( )* ( )] ( ) ( ) f t h t F s H s = 0 Z s F s H s ( ) ( ) ( ) = 时域中的卷积，等于复频域中的乘积 ( )t f t( ) h t( ) 0 ( ) * ( ) ( ) ( ) t h t f t f h t d − = − N
●展开定理 展开定理可以把任-s的有理函数分解成许多简单的单 元,这称部分分式展开。 设有有函数F(2以(s)+as+…+an+s+a P(s bs"+6s +.+bm-S+b 式中P(s)、Q(s)都是复变量s的多项式,系数 bb1、、bn,a1、、an都是实数。 F(S)的另一种表示 ∏ (S-,) s)=bo (s-p) 其中zi=1,,mpj=1,,n分别称有理函数F(s)的零 点和极点。如果p是Q(s)的单零点称F(s)的单极点,pk 是Q(s)的r阶零点称F(s)的r阶极点
展开定理 展开定理可以把任一s的有理函数分解成许多简单的单 元，这称部分分式展开。 设有有函数 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n P s b s b s b s b F s Q s s a s a s a − − − − + + + + = = + + + + 式中P(s)、Q(s)都是复变量s的多项式，系数 b0、b1、 、bm，a1、 、an 都是实数。 F(s)的另一种表示 1 0 1 ( ) ( ) ( ) m i i n j j s z F s b s p = = − = − 其中zi i=1, ,m pj j=1, ,n分别称有理函数F(s) 的零 点和极点。如果pj是Q(s)的单零点, 称F(s)的单极点, pk 是Q(s)的r 阶零点, 称F(s)的r 阶极点
①展开定理的第一步是把有理函数真分数化(真分式化) 若m<n称有理函数是真分数式 若mn则F( P(S) R(S) (S)+ O(s) O(s R(s)是P(s)除以Q(s)的余数,P()是一个多项式,其对 应的时间函数是8,8′,8″等的线性组合 R(s) QC 是真分数(真分式),对此真分式 ②单极点情况 F(S) R(S) R(S) f()=∑k S( n1)…(S-pn) P 其中k=(s-p)F(s)-
①展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化） 若m<n 称有理函数是真分数式 若m n 则 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) P s R s F s P s Q s Q s = = + R(s)是P(s)除以Q(s)的余数， ( ) ( ) R s Q s 是真分数（真分式），对此真分式 ②单极点情况 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n n i p t i n i i i R s R s k F s f t k e Q s s p s p s p = = = = = = − − − 其中 ( ) ( ) i i i s p k s p F s = = − ˆ P s( ) 是一个多项式，其对 应的时间函数是，’， ”等的线性组合
②单极点情况 R(S) R(S) k Q((((((((((((s(s-p).(s-P,)fs-p f()=∑ke 其中k=( P)F(S ③共轭复根情况k +气 jB S-a+jB 则k f()→2kle"cos(所+∠k) ④重极点情况F(s)(Py…()=∑专 R(S) =1/=(S p) n 其中k (n1-)d"-(s-p)"F(S) s=p
③共轭复根情况 1 2 k k s j s j + − − − + 则 1 2 k k = 1 1 ( ) 2 cos( ) t f t k e t k + ④重极点情况 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i r r n ij n n j r i i j R s k F s s p s p s p = = = = − − − 其中 1 ( ) ( ) ( )! i i i i n j n ij i n j s p i d k s p F s n j ds − − = = − − ②单极点情况 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n n i p t i n i i i R s R s k F s f t k e Q s s p s p s p = = = = = = − − − 其中 ( ) ( ) i i i s p k s p F s = = −
用拉氏变换求解网络的响应(运算法) KCL(t) K(O)(法→网络方程网络方程一颦()c,rO (积分微分方程) (代数方程) 支路关系(t) KCL(S) ￡ KVL(S) 节点法 支路关系()回路法 上面方法是数学方法的运用。在电路分析中,主要采用 下面的方法即先求得网络定律和支路关系的,得到这 算电路,然后用直流或正弦稳态中所应用的方法来求解 网络。这种方法称运算法。不管哪种方法,运用拉氏变 换的目的,是要把电路在时城的微分方程化为复频域的 代数方程
用拉氏变换求解网络的响应（运算法） 上面方法是数学方法的运用。在电路分析中，主要采用 下面的方法,即先求得网络定律和支路关系的ℒ，得到运 算电路，然后用直流或正弦稳态中所应用的方法来求解 网络。这种方法称运算法。不管哪种方法，运用拉氏变 换的目的，是要把电路在时域的微分方程化为复频域的 代数方程。 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KCL t V s v t KVL t I s i t t − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 节点法 £ 解 £ 回路法 积分微分方程 代数方程 网络方程 网络方程 支路关系 ( ) ( ) ( ) KCL s KVL s s 支路关系 £ 节点法 回路法