《随机过程》教程 第8讲随机过程通过线性系统的表示 东南大学移动通信国家重点实验室 陈明制作 chenmingaseueau. cn ftp seu. edu.cn/ Incoming/ document,/随机过程 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 1 《随机过程》教程 第8讲 随机过程通过线性系统的表示 东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作 chenming@seu.edu.cn ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程
内容提要 随机变量的无穷和 随机序列通过离散时间线性系统的表示 连续时间随机过程的微积分 ●随机过程通过连续时间线性系统的表示 由差分方差和微分方程定义的线性系统 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 2 内容提要 ⚫ 随机变量的无穷和 ⚫ 随机序列通过离散时间线性系统的表示 ⚫ 连续时间随机过程的微积分 ⚫ 随机过程通过连续时间线性系统的表示 ⚫ 由差分方差和微分方程定义的线性系统
二阶矩空间 集合 集 线性空间(代数结构) ●内积空间 距离空间 ●距离空间(拓扑空间) 线性空间 在距离空间中可以定义序列的收敛 内积空间 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 3 二阶矩空间 ⚫ 集合 ⚫ 线性空间（代数结构） ⚫ 内积空间 ⚫ 距离空间（拓扑空间） • 在距离空间中可以定义序列的收敛 集合 距离空间 线性空间 内积空间
内积空间的三条公理 1)(X,X)≥0,P{X=0}=1兮(X,X)=0; 2)复对称性:(X,Y)=(Y,X)*; 3)复线性:(c1X1+c2X2,Y)=c1(X1,Y)+e2(X2,Y) (X,c1Y1+c2Y2)=c(X,Y1)+c2(X,Y2)。 2021/2/22 东南大学无线电工程系 4
2021/2/22 东南大学无线电工程系 4 内积空间的三条公理
距离空间的三条公理 1)非负性:d(X,Y)≥0,P{X=Y}=1兮d(X,Y)=0; 2)对称性:d(X,Y)=d(Y,X); 3)三角不等式:d(X,Z)≤d(X,Y)+d(Y,Z)图41) d(X, y d(, z X d(x, z) 2021/2/22 东南大学无线电工程系 5
2021/2/22 东南大学无线电工程系 5 距离空间的三条公理
二阶矩空间上的距离 ●通过内积得到距离的定义 ●均方收敛 ●性质4.1的证明 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 6 二阶矩空间上的距离 ⚫ 通过内积得到距离的定义 ⚫ 均方收敛 ⚫ 性质4.1的证明
性质4.1若 ms lim X=X, ms lim y=Y,则 n→ n→∞ 1. lim E(Xn=Ems lim Xn=EXI n→ n→ 2.limE{|Xn}2}=E{X|2}; n→ 3. lim EXmYn=EiXY; m,n→ 4. ms lim(aXn+bYn=ax+b n→。o 5.(均方极限的惟一性)若 ms lim Xn=Y,则P{X=Y}=1; n2→∞ 6.(均方收敛的 Cauchy准则)Xn均方收敛,当且仅当Xn为 Cauchy 序列,也即limE{|Xm-Xn2}=0; m,n→∞ 7.( Loeve准则)Xn均方收敛,当且仅当序列Xn的自相关函 数Rx{n1,m2]满足 lim Rxl (4.5) 其中C为常数 2021/2/22 东南大学无线电工程系 7
2021/2/22 东南大学无线电工程系 7
通过序列收敛的定义得到无穷和的定义 S=∑X lim ES ∑X2}=0 n→∞ =0 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 8 通过序列收敛的定义得到无穷和的定义
随机序列通过离散时间线性系统的表示 0=∑ laminin: m 离散时间线性系统 X 冲激响应h;m Yn ∑ Cmhn; m 有界、稳定、因果、时不变等概念和确定性系统一样 2021/2/22 东南大学无线电工程系 9
2021/2/22 东南大学无线电工程系 9 随机序列通过离散时间线性系统的表示 有界、稳定、因果、时不变等概念和确定性系统一样
均方连续的概念 定义44设有连续时间随机过程X(t),t∈T。若对to∈T 有 mslim X(t)=X(to) (4.17) t→t 则称随机过程X(t)在t0点均方连续;若对T内任意一点to, X(t)都在to点连续,则称X(t)在T上均方连续 2021/2/22 东南大学无线电工程系 10
2021/2/22 东南大学无线电工程系 10 均方连续的概念