《随机过程》教程 第2讲概率空间 东南大学移动通信国家重点实验室 陈明制作 chenming(oseu eau cn ftp. seu.e ucn/ Incoming/ document,/随机过程
《随机过程》教程 第2讲 概率空间 东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作 chenming@seu.edu.cn ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程
概率空间 ◆认识随机系统 举例,p.13-14 要点:随机系统的关键在于输出的不可预知性,但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键 ◆认识样本空间 可数和不可数 ■瞬态和过程 ■标准化:数、向量、函数 2021/222 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 2 概率空间 认识随机系统 ◼ 举例，p.13-14 ◼ 要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键 认识样本空间 ◼ 可数和不可数 ◼ 瞬态和过程 ◼ 标准化：数、向量、函数
关于可数和不可数 ◆集合的映射:单射、满射和双射(p.23) 原像集 像集单射(不同的原 像具有不同的像) f(a)≠f(a2) 2021/222 东南大学无线电工程系 3
2021/2/22 东南大学无线电工程系 3 关于可数和不可数 集合的映射：单射、满射和双射(p.23) 原像集 像集 f a f a ( 1 2 ) ( ) f 单射（不同的原 像具有不同的像）
满射(每一个像都有原像) 原像集 像集 Vb,彐a,S b=f(a 2021/222 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 4 满射（每一个像都有原像） ( ) b a s t , , . . b f a = 原像集 像集 f
双射(既是单射,又是满射) 原像集 像集 从直觉上承认能建立双射关系的两个 集合,其所含元素的“个数”一样多 2021/222 东南大学无线电工程系 5
2021/2/22 东南大学无线电工程系 5 双射（既是单射，又是满射） 原像集 像集 f 从直觉上承认能建立双射关系的两个 集合，其所含元素的“个数”一样多
可数和不可数的定义 ◆凡是能和自然数集合或者自然数集合的 个子集建立双射关系的集合称为可数 集合;否则称为不可数集合 ◆可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念,是对无穷的分类 ◆已经证明连续的区间,和实数集等都是 不可数集合:[1,2],(0.1,0.01),R,等等 2021/222 东南大学无线电工程系 6
2021/2/22 东南大学无线电工程系 6 可数和不可数的定义 凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
无穷大的分类 ◆N,N,N2,N,….,(自然数集合的无限多 为N,N集合的所有子集构成的集合的 “无限多(势)”为N,N集合的所有 子集构成的集合的势为N2,…),在 数学上已经严格证明:N,N,N2,N,等 之间不能建立双射的关系 2021/222 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 7 无穷大的分类 0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在 数学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等 之间不能建立双射的关系
对于无穷大,“整体大于部分” 的直觉不再成立 ◆对于自然数集N={12345…},偶数集合 是一个子集E={2,46,,但我们将N中的 和E中的2n建立对应关系,就发现这是一 个双射。 ◆自然数旅馆的“故事” ◆不可数集合的“部分等于全体” 2021/222 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 8 对于无穷大，“整体大于部分” 的直觉不再成立 对于自然数集 ，偶数集合 是一个子集 ，但我们将 中的 和 中的 建立对应关系，就发现这是一 个双射。 自然数旅馆的“故事” 不可数集合的“部分等于全体” E =2,4,6, N 2n N =1,2,3,4,5, E
无穷大的趣闻 次数学危机 ◆第一次危机:无理数的发现(正方形的 对角线) x2=2.x= m/n2=2m2→n=2 →m2=2n12→m=2m1→n1=2m ◆第二次危机:微积分中的无穷小量(确 定无穷小是运动的量,无限趋于零但不 等于零) 2021/222 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 9 无穷大的趣闻——三次数学危机 第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线） 第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零） 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2, 2 2 2 2 2 n x x n m n n m m n m m n m = = = = = = =
第三次数学危机 ◆罗素悖论 A= x is set x≠x ifA∈A. then AeA if A g A, then 4∈A ◆对“无穷问题”的评价:大脑的概念和 存在性问题(认识主体和客体的关系)。 2021/222 东南大学无线电工程系 10
2021/2/22 东南大学无线电工程系 10 第三次数学危机 罗素悖论 对“无穷问题”的评价：大脑的概念和 存在性问题（认识主体和客体的关系）。 is set , if , then ; if , then . A x x x A A A A A A A A =