《随机过程》教程 第12拼随机信号的正交分解 东南大学移动通信国家重点实验室 陈明制作 chenming@seu.edu.cn ftp. seu.edu. cn/ Incoming/ document/随机过程 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 1 《随机过程》教程 第12讲 随机信号的正交分解 东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作 chenming@seu.edu.cn ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程
内容提要 正交分解和随机信号的表示 ■随机信号的 Fourier正交分解 ■随机信号的K正交分解 2021/2/22 东南大学无线电工程系 2
2021/2/22 东南大学无线电工程系 2 内容提要 ◼ 正交分解和随机信号的表示 ◼ 随机信号的Fourier正交分解 ◼ 随机信号的K-L正交分解
正交分解和随机信号的表示 正交函数系 标准正交函数系 ■完备正交函数系 72 m三n a'm(t)v/n(t)dt=Cn&] ≠ 2021/2/22 东南大学无线电工程系 3
2021/2/22 东南大学无线电工程系 3 正交分解和随机信号的表示 ◼ 正交函数系 ◼ 标准正交函数系 ◼ 完备正交函数系
正交分解 X(t) ms ∑ XN(t)=∑Wnn(t) b X(t)y"(t)dt lim EX(t)-XN(=0 2021/2/22 东南大学无线电工程系 4
2021/2/22 东南大学无线电工程系 4 正交分解
随机信号的 Fourier正交分解 定理51若宽平稳随机过程X(t)的自相关函数Rx(T)是一 个周期为T的函数,则在任意一个长度为b-a=T的区间上a,b 有如下 Fourier正交分解 X(t) inwt (5.15) 其中随机变量Cn由下式决定 X(te nu dt 5.16) EiCmCn=Smdm n X(7)e dT 2021/2/22 东南大学无线电工程系
2021/2/22 东南大学无线电工程系 5 随机信号的Fourier正交分解
随机信号的KL正交分解 引理设K(t,s)为(t,s)∈[a,b×a,b上的连续函数,且满 足对称性 K(t, s)=K(s, t) (5.32) 和非负定性,即对任意函数f(t)有 K(t, s)f(t)f*(s)dtds >0 (5.3) 则K(t,s)可展成如下绝对一致收敛的序列 k(8)=∑Av(v(s),(t,)∈,创xa,b(5 其中{vk(t)}e1为标准正交函数系,也即 2021/2/22 东南大学尢线电工程糸 6
2021/2/22 东南大学无线电工程系 6 随机信号的K-L正交分解
wk(t)wlf(t)dt=dk-l (535 该标准正交函数系{vk(t)}1及实数序列{入k}=1为下列齐次积 分方程的特征函数及特征值 K(t,s)y(s)ds=λy(t),a≤t≤b (536) a 此外,当K(t,s)正定时,{vk(t)}e1构成D2[a,b的一个标准完备 正交基 2021/2/22 东南大学无线电工程系 7
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定理53( Karhunen-Loeve展开定理)设X(t)为定义于la,b 上均方连续的随机过程,其自相关函数为Rx(t,s),显然由自相关 函数的性质知,Bx(t,8)满足对称性和非负定性,设标准正交函数 系{vk(t)}=1及实数序列{入k}e≌1为由下列齐次积分方程确定的 2021/2/22 东南大学无线电工程系 8
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特征函数及特征值 Rx(t, s)v(s)ds= Av(t), a<tsb (5.37) 则X()有如下展开 X()∑Vv(t),a≤t≤b 5.38 其中 Vk=/X(t)*(t)dt 5.39 且有 EIVmV)=An8m-n (5.40) 式(538)称为随机过程X()的 Karhunen- Loeve正交分解,简 称K-L正交分解。 2021/2/22 东南大学无线电工程系
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作业 5.1 2021/2/22 东南大学无线电工程系 10
2021/2/22 东南大学无线电工程系 10 作业 ◼ 5.1
