第二章 逻辑代数基础 2.1本章习题类型与解题方法 这一章的习题从内容上可以分为四种类型:逻辑等式的证明逻辑函数不同 表示方法之间的转换、逻辑函数形式的变换和逻辑函数的化简。下面分别总结、 归纳一下这几种类型习题的解题方法并给出相应的例解。 一、逻辑等式的证明 解题方法和步骤: 方法一,分别列出等式两边逻辑式的真值表,若真值表完全相同,则等式成立 方法二,若能利用逻辑代数的公式和定理将等式两边化为完全相同的形式, 则等式成立 方法三,分别画出等式两边逻辑式的卡诺图,若卡诺图相同,则等式成立 方法四,用 Multisim的逻辑转换器将等式两边的逻辑式分别化简,若化简结 果相同,则等式成立。 【例2-1】试用列真值表的方法证明下面的等式 a'=aB 解:分别列出A⊕B和A⊕B的真值表,如表-1可见,a'与AB 的真值表完全相同,故等式成立。 表2-1例2-1的真值表 A B A B A A'⊕B 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
2.1本章习题类型与解题方法25 【例2-2】试用公式变换的方法证明下面的等式 (AOB)+A=(AOB)+B 解:左式(4eB)+A=AB'+A'B+A =AB+4 (根据A+AB=A) =4+B (根据A+A'B=A+B) 右式(AB)+B=AB'+A"B+B 4B′+B (根据A+AB=A) =A+B (根据A+A'B=A+B) 故等式成立 【例2-3】试用卡诺图证明下询的等式 AB′+A’C+BC'=AC′+B'C+A'B 解:画出等式两边对应的卡诺图,均得到图2-1的结果,故等式成立 从以上的三个例子还可以看出,列真值表的、BC 方法般适合于证明变量数较少(例如不多于四4_0001 个)、逻辑式也比较简单的等式。变量数较多、函 0 数式又比较复杂的情况卜,一般适于使用公式变 换的方法去证明。画卡诺图证明的方法通常用在 0 变量数较少(不多于四个),而且逻辑式是与或形 式的情况 图2-1例2-3的卡诺图 、逻辑函数不同表示方法之间的转换 用于表示逻辑函数的方法有逻辑真值表(简称真值表)、逻辑函数式(简称 逻辑式)逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语吉(简称HDL)等几种。由于每 种描述方法各有其特点和应用场合,所以经常要求将用某一种表示方法给定 的逻辑函数改用另外的表示方法来描述。尽管目前已经有计算机软件能自动完 成这些转换,但为了理解和掌握这些转换方法的基本原理,通过手工的方法去解 这一类题H仍然是必不可少的 1.真值表→逻辑式 解题方法和步骤 (1)首先从真值表中找出所有使函数值等于1的那些输入变量取值组合。 2)每一组使输出为1的输入变量取值下,必然有一个最小项的值等于1。 取值为1的交量在这个最小项中写为原变量,取值为0的变量在这个最小项中 写为反变量。 (3)将所有的这些最小项相加,就得到∫所求的逻辑函数式。 【例2-4】给出逻辑函数的真值表如表2-2,试写出这个逻辑函数的逻 辑式
26第_章逻辑代数基础 表2-2例2-4的逻辑真值表 B D 00000000 01010r0 1→A'B'CD′=1 1→A'B'CD=1 1-,A'BC'D=1 1→A'BCD'=1 11t111 1→AB'CD'=1 1-→AB'CD=1 10101 解:由真值表可见,当输入变量ABCD的取值为0010、0011、0100、0110 1010和1011之中的任何一种时,Y都等于1。这六种输人变量取值的每一种都 使一个对应的最小项等于1所以输出Y就等于这些最小项之和。例如,当AB CD取值为0010时,最小项A'B'CD=1,所以Y的函数式中应包含这一项。而 当ABCD取值为0011时,最小项ABCD=1,所以Y的函数式中也应包含这 项。依此类推,于是得到 Y=ABCD+A'B'CD+A'RC'D+A'BCD+AB'CD'+AB'CD 2.逻辑式→逻辑图 解题方法和步骤: (1)如果没有附加限制条件,则只要用逻辑图形符号取代逻辑函数式中的 代数运算符号,将这些图形符号按输入到输出的顺序连起来,就得到所求的逻辑 图了 (2)如果对使用的逻辑图形符号有限制,则往往还需要将函数式变换为适 于使用限定图形符号的形式,然后再用图形符号代替代数运算符号。例如,规定 全部使用与非图形符号画出逻辑图,那么就必须先将函数式化为全部由与非运 算组成的形式。这个问题我们在后面还会讲到
2,1本章习题型与解题方法27 例2-5】给定逻辑函数式为 Y=A'BD+A'CD′+B'C 试画出对应的逻辑图。 解:由于本题对逻辑图中可以使用的图形符号种类没有限制,所以直接用 与、或、非逻辑图形符号取代式中的代数运算符号就行了,于是得到如图2-2所 示的逻辑图。 3.逻辑式→卡诺图 解题方法和步骤: (1)将逻辑函数式展开为最小项之 和的形式。 (2)画出最小项的卡诺图,在函数D- 式中包含的最小项对应的位置上填人 其余位置上填人0,就得到了表示该 图2-2例2-5的逻辑图 逻辑函数的卡诺图。如果函数式中包含无关项,则在相应位置上填人“ⅹ”,表 示填入0或1均可。 【例2-6】给定逻辑函数式为 Y=A'BC'D+B'C'D′+A'C 试画出表示该逻辑函数的卡诺图。 解:首先将y化为最小项之和形式。式中第一项是最小项,第二、三项不是 最小项。第二项缺少A或A'因子,第三项缺少B或B'和D或D因子。利用公 式A+A=1,将所缺的因子补齐,于是得到 Y=A'BC'D+BCD(A+4)+A'C(B+B(D+D' =A'BC D+A'B'C'D+AB'C'D+A'B'CD'+A'B'CD+A'BCD+ABCD =mo t m2+ m3 +ms +m6+m, m& AB 画出四变量的卡诺图,在其中mo、m2 01 11 10 m3ym、m,m和m的位置填人1,其余位置1013-2 填入0,即得到如图2-3所示的卡诺图。 在解这类题目的过程中,完全可以跳过 将函数展开为最小项之和的这一步,根据给 出的逻辑式直接填写卡诺图中的1和0。例1l 如B'C'D'一项包含了所有含B'、C'、D因子的 最小项,而A'C则包含了所有含有A和C两 101 个因子的最小项,这样就可以直接填写出函 图2-3例2-6的卡诺图 数的卡诺图了。 【例2-7】已知逻辑函数式为
28第二章逻辑代数基础 =AB+A'D′+AB'C 试画出表小Y的卡诺图。 解:因为AB这一项包含了所有含AB的最小项,所以可以直接在四变量卡 诺图上标为A=1、B=1的最小项(m1、m1、、CD m1、m3)位置上填入1。同理,AD一项包含4 00非111 所有含有AD'的最小项,所以在对应A=0 D=0的最小项(mn、m2、m4、m5)位置上填入 1。AB'C包含了所有含AB'C'的最小项,所以 0 应在对应A=1、B=0、C=0的最小项(m )位置卜:填入1。这样就直接得到了如图11 2-4所示的卡诺图,而不必事先将Y化成最 小项之和的表达式 4.波形图→真值表 解题方法和步骤: 图2-4例2-7的卡诺图 (1)在周期性重复的波形图屮,将每个 时问段内输入变量和输出的取值对应列表,即可得到函数的真值表 (2)若波形图中有些输入变量状态组合始终没有出现,则这些输入变量组 合下等于1的最小项为函数的约束项。 【例2-8】由逻辑分析仪给出了某逻辑电路输人与输出的波形图如图 2-5所示,试列出描述该电路逻辑功能的真值表。 A1000 输 011 10|1 c…,冋l,! 输出F0 图2-5例2-8的函数波形图 解:由波形图」可以看出,从ABC的01状态至111状态为一个循环周期 也可以从低何个其他状态算起,七个输入状态为一个循环周期),将ABC的
2.1本章习题类型与解题方法29 七个不同的状态组合与的对应状态列表,即得表2-3的真值表。由于波形佟 中始终没有出现ABC=000的状态,所以最小项A'B'C"始终等于0,是一个约束 项,在真值表中以“x”表示。Y的函数式中可以包含A'B'C'这个鼓小项,也可 以不包含这…项。 表2-3例2-8的逻辑真值表 C101010 0110 00111 5.逻辑式→真值表 解题方法秈步骤 将所有的输入变量取值组合逐一代入逻钭式,算出输出的函数值,然后将输 入与输出的取值对应列成長格,得到的就是貞值表。 【例2-9】已知逻辑函数式为 y=ABC +ABD+acl+BcD 试列出此函数的真值表。 解:将ABCD四变量全部16种取值的组合(00~1111)逐个代入Y的丽 数式中,求出对应的y值,然后列表,就得到∫山表2-4所示的真值表。由真值 表可以看出,这是个代码判断数,当输入代码屮含有个和个以上的1 时,Y=1;否则y=0 表2-4例2-9的真值表 A000000 0 100 0
第二章逻辑代数基础 续表 B D 0 6.逻辑图→逻辑式 解题方法和步骤: 通常采用的方法是从电路的输入端到输出端逐级写出逻辑图形符号所表示 的逻辑代数运算式,从而得到所求的逻辑式。 【例2-10】写出图2-6所示电路输出Y的逻辑函数式 A B 4(B+C B+Cr B(B+C) C))+B(B- 图2-6例2-10的逻辑图 解:从输入端开始,逐级写出图形符号代表的代数运算式,如图2-6中所 示,最后得到 Y=AB+(A'(B+C))+B(B+C) 7.其他的互相转换 利用上面几种基本的转换方法,可以实现任何两种表示方法之间的转换 例如我们要找出给定逻辑图的真值表,就可以先写出等效的逻辑式再从逻辑式 列出真值表。又比如我们需写出给定波形图所代表的逻辑式,这时可以先列出 与波形图对应的真值表,然后从真值表写出逻辑式
2.1本章习題类型与解题方法31 、逻辑函数式的变换 在设计逻辑电路的过程屮,往往首先得到的是逻辑函数的与或形式(也称 为积之和形式)。如果规定全部使用与非门组成这个逻辑电路,这时就必须把 与或形式的逻辑函数式变换成全部由与非运算组合成的形式(也称为与非-与 非形式)。又如,在使用ROM实现一个组合逻辑函数时,则要求将逻辑函数式 化为最小项之和的形式,等等。 1.与或形式→与非-与非形式 解题方法和步骤: 利用摩根定理将整个与或式两次求反,即可将与或形式化为与非-与非形 式 【例2-11将下面的逻辑函数化为与非-与非形式 Y=AB+A'BD+CD' 解:应用摩根定理将上式两次求反,得到 Y=(Y)’=((AB'+A'BD+CD')) ((AB)'(A'BD)'(CD)) 这样就把函数式化成了全部山与非运算组成的形式。 2.与或形式→与或非形式 解题方法和步骤 根据逻辑代数的基本公式和代入定理可知,任何一个逻辑函数都遵守公式 Y+Y=1。又知所有最小项之和恒等于1,所以若将不包含在y式中的所有最 小项相加,得到的就是Y。将这些最小项之和再求反,也得到Y。因此,将不包 含在函数式中的那些最小项相加然后求反,得到的就是函数式的与或非形式。 如果画出函数的卡诺图,则只需将图中填入0的那些最小项相加,再求反, 就可得到与或非形式的逻辑函数式了 【例2-12】将下面的逻辑函数式化为与或非形式 Y=A'C'D+A'BD+AB+BCD 解:首先画出Y的卡诺图,如图2-7所示。 将卡诺图中的0合并,然后求反,得到 Y=(A'B'D+AB+ BCD') 3.与或式→或与式 解题方法和步骤: 方法一,首先用上面所讲的方法将与或形式的逻辑函数转换成与或非形式。 然后,利用摩根定理就可以将与或非形式的逻辑式转换成或与形式的逻辑式了 方法二,反复运用公式A+BC=(A+B)(A+C)进行运算,也可以将与或形 式的逻辑函数式变换为或与形式的逻辑函数式
32第二章逻辑代数基础 CD ABD |06CD 1B 图2-7例2-12的卡诺图 【例2-13」将下面给出的逻辑函数转换为或与形式的逻辑式 =AC+A'B′+A'C 解:采用第··种方法时,需首先画出Y的卡诺图,如图2-8所小 将图中的0合并,然后求反,得到 ABC Y=(A'RC+AC')′ 0001111 再利用摩根定理将上式展开 Y =(A'BC).(AC) =(A+B'+C')(A+C) 也可以采用第二种方法,直接进行公式运算 Y=AC+A'B+A'c 图2-8例2-!3的卡诺图 (A+A'B'+A'C)(C+A'B'+A'C') =(A+B+C")(C+AB'+A) (A+B'+C)(A'+C) 也得到同样的变换结果。 这里需要提醒一点,用第二种公式推演方法得到的或与式有时不是最简的 还能进一步化简;而用第一种方法,在合并卡诺图上的0时已经进行了合并化 简,所以得到的或与表达式应当是最简的了。 4.与或式→或非-或非式 解题方法利步骤: (1)先按前述方法将与或式转换为与或非形式。 (2)用摩根定理将与或非式中的每个乘积项化为或非的形式,即可得到或 非-或非形式的函数式了 【例2-14】将下面的逻函数式化为或非一或非形式 Y=AD+A'B'C+AC'D+CD
2.1章习题类型与解题方法33 解:画出Y的卡诺图,如图2-9所示。 将图中的0合并后得到 CD Y =(ACD+ACD+ACD+ BCD) =((A′+C+D)+(A4+C+D')′ (A'+C+D)'+(B'+C′+D')) 5.将逻辑函数式化为最小项之和的形式 解题方法利步骤 1)首先利用逻辑代数的公式和定理将函 数式化成与或形式 (2)利用公式A+A′=1将每个乘积项中 缺少的因子补齐。例如某个乘积项中缺少因子图2-9例2-14的卡诺图 B,则应在该项上乘以(B+B'),然后拆成两项,每项中便分别增加了B或B'因 子 【例2-15】试将下向的逻辑函数式化为最小项之和的形式 Y=((AB)'+C)+AD 解:首先将上式化为与或形式 Y=(AB')C′+AD=AB'C′+AD 然后在第一项乘以(D+D'),在第二项上乘以(B+B'),得到 Y=ABC(D+D)+AD(B+B' AB'C'D+AB'C'D+AB'D+ABd 冉将上式的最后两项上各乘以(C+C),最后得到 Y=ABCD+AB'CD+ABD(C+C")+ABd(C +C) AB'C'D+AB'C D+AB'CD+ABCD+ABcD +m。+ 十丑, 6.将逻辑函数式化为最大项之积的形式 解题方法和步骤: 1)若给出的函数式已经是或与形式,则可以利用公式AA’=0将每个括号 内缺少的因子补齐。例如(A+C)中缺少B或B',这时就可以在括号里加上 BB’,然后再利用公式A+BC=(A+B)(A+C)将它拆廾,就得到∫两个最大项 的乘积 (A+C"+BB')=(A+B'+C")(A+B+C') (2)若给出的函数式是与或形式,则应当先利用上面介绍的方法将它变换 为或与形式,然后再按(1)中所说的方法去做。 【例2-16】将下面的逻辑函数式化为最大项之积的形式 Y=(B+C')(A+B'+C)
