31逻辑代数 教学基本要求: 掌握逻辑代数的基本定律与规则; 掌握代数法化简逻辑函数。 重点、难点:代数法化简逻辑函数 作业:P120313
3.1 逻辑代数 教学基本要求： •掌握逻辑代数的基本定律与规则; •掌握代数法化简逻辑函数。 重点、难点: 代数法化简逻辑函数 作业: P120 3.1.3
31逻辑代数 在数字电路中,我们要研究的是电路的输 入输出之间的逻辑关系,所以数字电路又称 逻辑电路,相应的研究工具是逻辑代数(布 尔代数)。 在逻辑代数中,逻辑函数的变量只能取两 个值(二值变量),即0和1,中间值没有意义, 这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态,如电 位的低高(0表示低电位,1表示高电位)、开 关的开合等
3.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式 、基本运算规则 A+0=4 A+1=1 A·0=0·A=0 4·1=A A+A A+A=A A·A=0 A·A=A
A A 1 A A A A A 0 A A A A A
基本代数规律 交换律A+B=B+4 A·B=B·4 结合律A+(B+O=+B)+C=(4+O+B A(B·O=(4·B·C 分配律A(B+O=4·B+AC 普通代 A+B·C=(4+B(A+O数不适 用!
A+B=B+A A• B=B • A A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C) 普通代 数不适 用!
三、吸收规则 1原变量的吸收: 4+AB=4 证明:A+AB=4(+B)=A1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简 例如: AB+CD+ABD(E+F)=AB+CD 被吸收
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： AB CD ABD(E F) AB CD 被吸收
2反变量的吸收: A+AB=atB 证明:④+ABAA+④B+AB AB(A+AA+B 例如:A+ABC+DC=A+BC+DC 被吸收
2.反变量的吸收： A AB A B 证明：A AB A AB AB A B(A A) A B 例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
3混合变量的吸收: AB+ac +bc= ab+ac 证明:AB+AC+BC AB+AC+(A+A)BC AB+4C+BC+ABC)吸收 AB+ac 例如:AB+AC+BCD AB+AC +BC +BCD =AB+ac +bc AB+ac 吸收
3.混合变量的吸收： AB AC BC AB AC 证明： AB AC A A BC AB AC BC ( ) AB AC AB AC ABC ABC 例如： AB AC AB AC BC AB AC BC BCD AB AC BCD 1 吸收 吸收
四反演定理:(摩根定律) A●B=A+B A+B=A●B 可以用列真值表的方法证明: B AB AB A B A+B 00 0 000 0 0 0 0 0 0
四. 反演定理：(摩根定律） A B A B A B A B A B AB 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 AB A B A B 可以用列真值表的方法证明：
3.1.2逻辑代数运算的基本规则 1)代入规则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则 例如,已知等式AB=A+B,用函数Y=AC代替等式中 的A,根据代入规则,等式仍然成立,即有: (AC)B=AC+B=A+B+C 2)反演规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式 中的所有“·”换成“+”,“+”换成“.”,“0”换成“1”,“1 换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得 到的表达式就是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称 为反演规则。例如: Y=AB+CDEY=(A+B)C+D+E Y=A+B+C+D+e Y=A·B·C·D·E
例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有： 3.1.2逻辑代数运算的基本规则 （1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。 AB A B (AC)B AC B A B C （2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋” ， “＋”换成“·” ， “0”换成“1” ， “1” 换成“0” ， ，那么所得 到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称 为反演规则。例如： Y AB C D E Y (A B)(C D E) Y A B C D E Y A B C D E
(3)对偶规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中 的所有“”换成“+”,“+”换成“”,“0”换成“1”,“1 换成“0”,而变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y′,Y′称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如: Y=AB+CDE Y'=(A+B)(C+D+E) Y=A+B+C+D+E A.B.C D·E 对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 半。例如: B+A·B=A (A+B)·(A+B)=A A(B+C)=AB+A0 A+BC=(A+ B(A+C 注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算 的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后非 运算,否则容易出错
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“·”换成“＋” ， “＋”换成“·” ， “0”换成“1” ， “1” 换成“0” ，而 ，则可得到的一个新的函数表达式 Y＇ ，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如： Y A B C D E 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如： ：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算 的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非 运算，否则容易出错。 A(B C) AB AC A BC (A B)(A C) A B A B A (A B) (A B) A Y ( A B )(C D E) Y A BC D E Y A B C D E
