中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 §1-7电势 一、电势差与电势 1.静电场是保守力场 由静电场的环路定理,即电场力作功与路径无关的性质,可知静电场是保守力场。 A Q B 图1-57电场力作功与路径无关 试探点电荷o沿 QAPBQ一周作的功为零,即 90 =0 QAPBQ
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 1 ⬉§ ህ Ȣ ދ༠يٴናދ༠ 1. 䴭⬉എᰃֱᅜഎ ⬅䴭⬉എⱘ⦃䏃ᅮ⧚ˈे⬉എࡳϢ䏃ᕘ᮴݇ⱘᗻ䋼ˈৃⶹ䴭⬉എᰃֱᅜഎDŽ 1-57 ⬉എࡳϢ䏃ᕘ᮴݇ 䆩⚍⬉㥋 q0⊓ QAPBQ ϔ਼ⱘࡳЎ䳊ˈे ⋅ = QAPBQ 0 q E dl 0
中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 EdI=EdI 即沿闭合环路的积分为零,与积分与路径无关等价 2.静电场是有势场 保守力场必是有势场。我们可以引进电势差和电势的概念。 (1)电势能 静电场可以与引力场类比,两者都是做功与路径无关的矢量场,即保守力场,都可以引进势能的概念。在引力场中 将质点从场中的点P移到点Q时,引力做功等于由P到Q点势能的减少。 图1-58电场力作功,电势能减少
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 2 ⬅ℸৃᕫ˖ ⋅ = ⋅ QAP QBP E dl E dl े⊓䯁ড়⦃䏃ⱘ⿃ߚЎ䳊ˈϢ⿃ߚϢ䏃ᕘ᮴݇ㄝӋDŽ 2ˊ䴭⬉എᰃ᳝എ ֱᅜഎᖙᰃ᳝എDŽ៥Ӏৃҹᓩ䖯⬉Ꮒ⬉ⱘὖᗉDŽ ˄1˅ ⬉㛑 䴭⬉എৃҹϢᓩഎ㉏↨ˈϸ㗙䛑ᰃࡳخϢ䏃ᕘ᮴݇ⱘⶶ䞣എˈेֱᅜഎˈ䛑ৃҹᓩ䖯㛑ⱘὖᗉDŽᓩഎЁˈ ᇚ䋼⚍ҢഎЁⱘ⚍ P ⿏ࠄ ⚍Q ᯊˈᓩࡳخㄝѢ⬅ P ࠄ Q ⚍㛑ⱘޣᇥDŽ 1-58 ⬉എࡳ⬉ˈ㛑ޣᇥ
中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 图1-59水流倾泻而下,水的势能也减少 类似地,在静电场中,当把试探电荷P移到点Q时,电场力作的功应当等于由P到Q试探电荷电势能的减少 Wo=W-W 或 Q Wp称电势能P点的电势能,通常把无限远处的电势能作为参考点,因为对于分布于有限空间范围内电荷产生的电场来说 可把无限远处的电势能作为零点,即:
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中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 W=go Edl (2)电势与电势差 试探电荷Φ要克服电场力做功。但Wo/o与试探电荷无关,只与静电场的性质有关。 E·dl 称为电势差,通常取无穷远点电势为零,则可认为q在P的电势为: U(P)=Edl=-Ed 那么,PQ两点间的电势差为: Ed=E·d+E:d=Ed-Ed Umo =U()-U(Q) 即与参考电势无关。 以上把电势能的零点选在无穷远处,相应电势的零点也选在无穷远处。在实际问题中,常以大地或电器外壳的电势为
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 4 ∞ = ⋅ P P 0 W q E dl ˄2˅⬉Ϣ⬉Ꮒ 䆩⬉㥋 q0 㽕ܟ᳡⬉എࡳخDŽԚ WPQ/q0 Ϣ䆩⬉㥋᮴݇ˈাϢ䴭⬉എⱘᗻ䋼᳝݇DŽ = = ⋅ Q 0 P PQ PQ E dl q W U ⿄Ў⬉Ꮒˈ䗮ᐌপ᮴か䖰⚍⬉Ў䳊ˈ߭ৃ䅸Ў q0 P ⱘ⬉Ў˖ ∞ ∞ = ⋅ = − ⋅ P P U( P ) E dl E dl 䙷МˈPQ ϸ⚍䯈ⱘ⬉ᏂЎ˖ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ Q P P Q P Q E dl E dl E dl E dl E dl U U( P ) U(Q ) PQ = − ेϢখ㗗⬉᮴݇DŽ ҹϞᡞ⬉㛑ⱘ䳊⚍䗝᮴か䖰໘ˈⳌᑨ⬉ⱘ䳊⚍г䗝᮴か䖰໘DŽᅲ䰙䯂乬Ёˈᐌҹഄ⬉఼ⱘ⬉Ў
中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 零。改变零点的位置,各点的电势能和电势的数值将随着变化,但都改变一个相同量,以至不会影响两点问的电势能差以及 两点问的电势差 (3)电势的单位 电势能的单位与能量的单位相同,用焦耳(J)。而电势的单位与电势能完全不同,电势是纯粹描述电场性质的物理量, 与电场中有没有电荷无关 电势差和电势的单位均为焦耳/库仑,在SI中称为伏特,用英文V上式可写成如下关量形式: 1=1 二、电券的一般表达式 1.点电荷的电势 点电荷的电场强度为 E 4元E。 4mEo, r 4Eo,r mor 2.电势叠加原理
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 5 䳊DŽᬍব䳊⚍ⱘԡ㕂ˈ⚍ⱘ⬉㛑⬉ⱘ᭄ؐᇚ䱣ⴔব࣪ˈԚ䛑ᬍবϔϾⳌৠ䞣ˈҹ㟇ϡӮᕅડϸ⚍䯂ⱘ⬉㛑Ꮒҹঞ ϸ⚍䯂ⱘ⬉ᏂDŽ ˄3˅⬉ⱘऩԡ ⬉㛑ⱘऩԡϢ㛑䞣ⱘऩԡⳌৠˈ⫼⛺㘇˄J˅DŽ㗠⬉ⱘऩԡϢ⬉㛑ᅠܼϡৠˈ⬉ᰃ㒃㊍ᦣ䗄⬉എᗻ䋼ⱘ⠽⧚䞣ˈ Ϣ⬉എЁ᳝≵᳝⬉㥋᮴݇DŽ ⬉Ꮒ⬉ⱘऩԡഛЎ⛺㘇ˋᑧҥˈ SI Ё⿄Ўӣ⡍ˈ⫼㣅᭛ V Ϟᓣৃݭ៤བϟ݇䞣ᔶᓣ˖ 1C 1J , , 1V 11 1 = = ᑧҥ ⛺㘇 ӣ⡍ ࠀȢދ༠ݨህֱؙܵ༗ 1ˊ⚍⬉㥋ⱘ⬉ ⚍⬉㥋ⱘ⬉എᔎᑺЎ 2 r 0 e r q 4 1 E πε = ⬅⬉ⱘᅮНৃᕫ˖ 4 r q r dr 4 q r e dl 4 q U(r ) E dl r 0 2 r 0 2 r r πε 0 πε πε = = ⋅ = ⋅ = ∞ ∞ ∞ ⧛ॳࡴ⬉ˊ2
中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 对点电荷系,有电场的叠加原理,有: U(r)=Ed-j∑Ed=∑Ed=∑r) 此式表明,点电荷组的电势等各个电荷单独存在时电势的代数和 3.点电荷组的电势 N个点电荷组成的体系,q,④2④,…,分别位于r,r2,r2…,处,位于r处q单独在r处产生的电势为: U( 由电势叠加原理,N个电荷在r处产生的总电势为: U(r)=∑Ur)= 4.带电体的电势 对连续分布的带电体产生的电势时,先把带电体分割成许许多多的点电荷,位于r处点电荷的电量为d,由电势的叠 加原理,连续带电体在r处产生的总电势为: U(r)
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中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 图1-60带电体的电势 对体带电体、面带电体和线带电体,若其电荷密度分别为p(r'),o(r’)和(r),则: =l[prl du U(r) 4
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中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 三、等势面 1.等势面 从上述电势的定义及其一般表达式可知,电势为空间坐标的标量函数,是标量场。标量场常用等值面来进行形象的几何描述 电势的等值面称为等势面,在同一等势面上,电势处处相等 图中对应的正负点电荷系统的等势面(实线)的示意图。图中还用虚线画出了电场线的分布。图给出了电偶极子的等势面。 1-61正负点电荷的等势面
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中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 图1-62两个正电荷的等势面 2.等势面的特性 (1)一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次 (2)空间共点的电场强度应与该处的等势面垂直 用反证法来证明。设该结论不真,即电场强度不垂直等势面,这时电场强度可分解为沿等势面的法向和切向的两个 分量,且切向分量却不为0。再由电势的公式,等势面上位于该切向方向的两点之间将存在电势差,以至与等势面的定义 发生矛盾,所以原结论成立。由这个结论可知,电场线和等势面之间将处处正交。 (3)电场强度的大小也可用等势面的疏密程度来量度 为此可设备相邻等势面的电势差都一样,那末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到与其相邻的等势面上电场 所作的功的大小也会一样。这功的大小为电场强度与相邻等势面间距离的乘积。因此,等势面间距越小,电场就越大。 等势面间距的大小正反映了等势面的疏密程度。所以,电场的大小可用等势面的疏密程度来量度
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 9 1-62 ϸϾℷ⬉㥋ⱘㄝ䴶 2ˊㄝ䴶ⱘ⡍ᗻ ˄1˅ ϔḍ⬉എ㒓ϡৃ㛑Ϣৠϔㄝ䴶ⳌѸϸ ˄2˅ ぎ䯈݅⚍ⱘ⬉എᔎᑺᑨϢ䆹໘ⱘㄝ䴶ൖⳈ ⫼ড䆕⊩ᴹ䆕ᯢDŽ䆒䆹㒧䆎ϡⳳˈे⬉എᔎᑺϡൖⳈㄝ䴶ˈ䖭ᯊ⬉എᔎᑺৃߚ㾷Ў⊓ㄝ䴶ⱘ⊩ߛⱘϸϾ ߚ䞣ˈϨߛߚ䞣ैϡЎ 0DŽݡ⬉⬅ⱘ݀ᓣˈㄝ䴶ϞԡѢ䆹ߛᮍⱘϸ⚍П䯈ᇚᄬ⬉Ꮒˈҹ㟇Ϣㄝ䴶ⱘᅮН থ⫳Ⳓˈ᠔ҹॳ㒧䆎៤ゟDŽ⬅䖭Ͼ㒧䆎ৃⶹˈ⬉എ㒓ㄝ䴶П䯈ᇚ໘໘ℷѸDŽ ˄3˅⬉എᔎᑺⱘᇣгৃ⫼ㄝ䴶ⱘ⭣ᆚᑺᴹ䞣ᑺ Ўℸৃ䆒Ⳍ䚏ㄝ䴶ⱘ⬉Ꮒ䛑ϔḋˈ䙷ᇚऩԡℷ⬉㥋⊓⊩㒓ᮍҢϔϾㄝ䴶⿏ࠄϢ݊Ⳍ䚏ⱘㄝ䴶Ϟˈ⬉എ ᠔ⱘࡳⱘᇣгӮϔḋDŽ䖭ࡳⱘᇣЎ⬉എᔎᑺϢⳌ䚏ㄝ䴶䯈䎱⾏ⱘЬ⿃DŽℸˈㄝ䴶䯈䎱䍞ᇣˈ⬉എህ䍞DŽ ㄝ䴶䯈䎱ⱘᇣℷডњㄝ䴶ⱘ⭣ᆚᑺDŽ᠔ҹˈ⬉എⱘᇣৃ⫼ㄝ䴶ⱘ⭣ᆚᑺᴹ䞣ᑺDŽ
中国科学技术大学《电磁学》 第一章真空中的静电场 作者:叶邦角 四、E与U的关泉 电势是标量,从电荷分布计算电势比计算场强方便.若能从电势分布求出场强,这显然是非常有意义的。 1.电势梯度 三个非常靠近的等势面A,B和C,它们的电势值分别为 U-40.UU+40 单位点电荷从B移至C,电场力做的功等于电势能的减少,即: E·=-LU AU=-E,4 亦即: E 图1-63电势的方向导数
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ ϔゴ ⳳぎЁⱘ䴭⬉എ 㗙˖䙺㾦 10 ོȢE ና U ࣴݨქ ⬉ᰃᷛ䞣ˈҢ⬉㥋ߚᏗ䅵ㅫ⬉↨䅵ㅫഎᔎᮍ֓ˊ㢹㛑Ң⬉ߚᏗ∖ߎഎᔎˈ䖭ᰒ✊ᰃ䴲ᐌ᳝ᛣНⱘDŽ 1. ⬉ẃᑺ ϝϾ䴲ᐌ䴴䖥ⱘㄝ䴶 AˈB CˈᅗӀⱘ⬉ؐ߿ߚЎ˖ U − ∆U , U , U + ∆U ऩԡ⚍⬉㥋Ң B ⿏㟇 Cˈ⬉എخⱘࡳㄝѢ⬉㛑ⱘޣᇥˈे˖ E ⋅∆l = −∆U ˖ U E l ∆ = − l∆ Ѻे˖ l U El ∆∆ = − 1-63 ⬉ⱘᮍᇐ᭄
