中国科学技术大学：《电磁学》课程教学资源（教案讲义）第九章 介质中的电磁理论

第九章介质中的电磁理论 第九章介质中的电磁理论(6+4学时) §9-1介质中的麦克斯韦方程组 在第六章中,我们已经学习了真空中的电磁理论,这为我们奠定了好的基础。许多的实际问题要我 们去解答各种介质中的电磁场,这就要求我们掌握介质中的电磁理论,本章将从普通物理的电磁学角度 来讨论这类问题。 与第六章类似,真空中的电磁理论的核心是真空中的麦克斯韦方程组,介质中的电磁理论的核心是 介质中的麦克斯韦方程组。它是麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上,发展和创造后取得的,麦 克斯韦的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设 、两个大胆的推广 1.麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对变化的电场同样适用,即

第九章 介质中的电磁理论 1 第九章 介质中的电磁理论 6+4 学时 §9-1 介质中的麦克斯韦方程组 在第六章中 我们已经学习了真空中的电磁理论 这为我们奠定了好的基础 许多的实际问题要我 们去解答各种介质中的电磁场 这就要求我们掌握介质中的电磁理论 本章将从普通物理的电磁学角度 来讨论这类问题 与第六章类似 真空中的电磁理论的核心是真空中的麦克斯韦方程组 介质中的电磁理论的核心是 介质中的麦克斯韦方程组 它是麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上 发展和创造后取得的 麦 克斯韦的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设 一 两个大胆的推广 1. 麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对变化的电场同样适用 即

电磁学网上课件 本章撰稿人:程福到 Pod =go V·D (9-1-1) 其中D为介质中的电位移矢量,P为介质中的自由电荷密度,V为闭合曲面S所包围的体积 2.麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对变化的磁场同样适应,即 B·dS=0 V·B=0 (9-1-2) 这两个推广的基础是,设想库仑定律与安培定律在有介质时仍然成立。 二、两个重要的假设 1.涡旋电场假设:随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场,感生电动势正是来源于感应 电场所产生的非静电力。于是,得到新的环路定理,其数学表达式为: 它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果。 2.位移电流假设:随时间变化的电场和电流(包括传导电流、极化电流和磁化电流)一样能激发磁

2 电磁学网上课件 本章撰稿人 程福臻 ; (9 1 1) ⋅ = 0 = 0 ∇ ⋅ = 0 − − ∫∫ ∫∫∫ D dS ρ dV q D ρ S V v v v v 其中D为介质中的电位移矢量 ρ 0为介质中的自由电荷密度 V 为闭合曲面 S 所包围的体积 2. 麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对变化的磁场同样适应 即 ⋅ = 0; ∇ ⋅ = 0 (9 −1− 2) ∫∫ B dS B S v v v 这两个推广的基础是 设想库仑定律与安培定律在有介质时仍然成立 二 两个重要的假设 1. 涡旋电场假设 随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场 感生电动势正是来源于感应 电场所产生的非静电力 于是 得到新的环路定理 其数学表达式为 ⋅ = ⋅ (9 −1− 3) ∂∂ = −∫∫ ∫ dS E dl tB S C v v ε v v 它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果 2. 位移电流假设 随时间变化的电场和电流 包括传导电流 极化电流和磁化电流 一样能激发磁

第九章介质中的电磁理论 场。引入位移电流密度:元1=0=62+m,其中第一项表达电场随时间的变化率,第二项表示电束缚 电荷的微观运动产生的极化电流。于是,磁场的环路定理应表达为: 5B:d=(+1)△=(n+2), 这个假说的产生,源于麦克斯韦研究稳恒磁场的环路定理,他发现稳恒电流的条件 手元d=0 能保证∮d=元·右边积分值的唯一性,所以这定理对稳恒磁场是合理的。但是,对于非稳恒 电流,这时只能有电荷守恒定律成立,即 + 将式(91)代入上式得手元+D=0 于是定义了位移电流密度=改(+方)d=0是电荷守恒定律的结果在非稳恒电流情况下成立

第九章 介质中的电磁理论 3 场 引入位移电流密度 t P t E t D jd ∂∂ + ∂∂ = ∂∂ = v v v v 0 ε 其中第一项表达电场随时间的变化率 第二项表示电束缚 电荷的微观运动产生的极化电流 于是 磁场的环路定理应表达为 ( ) ( ) (9 1 4) 0 0 ⋅ − − ∂∂ ⋅ = + ⋅ = + ∫ ∫∫ ∫∫ dS tD H dl j j dS j S d C S v v v v v v v r 这个假说的产生 源于麦克斯韦研究稳恒磁场的环路定理 他发现稳恒电流的条件 0 0 ⋅ = ∫∫ j dS S v v 能保证 H dl j dS C SC v v v v ⋅ = ⋅ ∫ ∫∫ 0 右边积分值的唯一性 所以这定理对稳恒磁场是合理的 但是 对于非稳恒 电流 这时只能有电荷守恒定律成立 即 0 0 0 ⋅ + = ∫∫ dt dq j dS S v v 将式 9-1-1 代入上式得 0 0 ⋅ + ⋅ = ∫∫ ∫∫ D dS dtd j dS S S v v v v 即 ( ) 0 0 ⋅ = ∂∂ + ∫∫ dS tD j S v v v 于是定义了位移电流密度 , ( ) 0 0 + ⋅ = ∂∂ ≡ ∫∫ j j dS tD j d S d v v v v v 是电荷守恒定律的结果在非稳恒电流情况下成立

电磁学网上课件 本章撰稿人:程福到 这就产生了新的环路定理,它是电荷守恒定律和位移电流假说的结果。 我们可以将介质中,非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组: 积分形式 微分形式 P P0, s∮c E·dl ds V×E (9-1-6) ar at H. dl ds H=jo 从麦克斯韦方程组的积分形式(9-1-5)一(9-1-8)出发,作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近 两介质的界面,从而得到边值关系: (D2-D1) ×(E2-E1)=0, (9-1-10) (B2-B1)=0, X(H2-H1)=0, 其中,σ。是界面上的面电荷密度,石是界面上的面电流密度

4 电磁学网上课件 本章撰稿人 程福臻 这就产生了新的环路定理 它是电荷守恒定律和位移电流假说的结果 我们可以将介质中 非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组 积分形式 微分形式 ( ) . . (9 1 8) 0, 0, (9 1 7) , , (9 1 6) , , (9 1 5) 0 0 0 0 − − ∂ ∂ ⋅ ∇ × = + ∂ ∂ ⋅ = + ⋅ = ∇ ⋅ = − − − − ∂ ∂ ⋅ ∇ × = − ∂ ∂ ⋅ = − ⋅ = ∇ ⋅ = − − ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ t D dS H j t D H dl j B dS B t B dS E t B E dl D dS dV D C S S C S S V C v v v v v v v v v v v v v v v v v ρ ρ v v v 从麦克斯韦方程组的积分形式 9-1-5 9-1-8 出发 作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近 两介质的界面 从而得到边值关系 v ( ) , (9 1 12) ( ) 0, (9 1 11) ( ) 0, (9 1 10) ( ) , (9 1 9) 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 × − = − − ⋅ − = − − × − = − − ⋅ − = − − n H H i n B B n E E n D D v v v v v v v v v v σ v v v 其中 σ 0 是界面上的面电荷密度 0i 是界面上的面电流密度

第九章介质中的电磁理论 §9-2电磁场的能量、动量和角动量 在第六章中,我们已学过真空中电磁场的能量、动量,对静止各向同性介质中的电磁场,场的能量 密度w,能流密度(又称坡印适磁量)§,动量密度g,角动量密度冮表达式如下 W=IDE+IB H (9-2-1) S=ExH (9-2-2) g= 于是,体积κ中电磁场的总能量、总动量和总角动量分别为如下体积分 W=[ war, G=[ gdv, L=[ idr 能量守恒定律的表达式为: S w+W) 上式中面为积分的面元,是非电磁的总能量。可将上式与电荷守恒定律比较,以便加深理解

第九章 介质中的电磁理论 5 §9-2 电磁场的能量 动量和角动量 在第六章中 我们已学过真空中电磁场的能量 动量 对静止各向同性介质中的电磁场 场的能量 密度w 能流密度 又称坡印适磁量 动量密度 gv 角动量密度l 表达式如下 v = 9 − S v . (9 2 4) , (9 2 3) , (9 2 2) 2 2 = × − − = × − − = × − − l r g g D B S E H v v v v v v v v v , ( 2 1) 1 1 w D ⋅ E + B ⋅ H − v v v v 于是 体积 V 中电磁场的总能量 总动量和总角动量分别为如下体积分 = , = , = , (9 − 2 − 5) ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ W WdV G gdV L l dV v v v v v V V V 能量守恒定律的表达式为 ⋅ = − ( + ) (9 − 2 − 6) ∫∫ W Wn d S dA v v dA v dt 上式中 为积分的面元 Wn 是非电磁的总能量 可将上式与电荷守恒定律比较 以便加深理解 v

电磁学网上课件 本章撰稿人:程福臻 为加深对电磁场角动量的理解,我们可以作一个简单的实验,如图 9-2-1,一圆柱形介质电容器,长度为l,充满介电常数为ε的均匀各向同 性介质,内外半径为r1,n2,绕轴的转动惯量为J,板极充电荷为±Q,置 于一均匀磁场B中,当电容器放电后,电容器便绕轴旋转,其角速度为o⑥ 的大小可通过电磁场的角动量计算如下 略去边缘效应,电容器中 手E△=g 图92-1轴向均匀磁场中得 的圆柱电容器 E D=see= 2 2IrI g=D×B= EOB aOB 于是电容器内电磁场的总角动量为 L=「a B(n2-m3)=-12B(n2-n)2 aOB 放电后,电容器内E=0①=0。由总角动量守恒,则

6 电磁学网上课件 本章撰稿人 程福臻 图 9-2-1 轴向均匀磁场中 的圆柱电容器 为加深对电磁场角动量的理解 我们可以作一个简单的实验 如图 9-2-1 一圆柱形介质电容器 长度为 l 充满介电常数为 的均匀各向同 性介质 ε 内外半径为 r1 r2 绕轴的转动惯量为 I 板极充电荷为 Q 置 于一均匀磁场B 中v 当电容器放电后 电容器便绕轴旋转 其角速度为 ω 的大小可通过电磁场的角动量计算如下 ωC 略去边缘效应 电容器中 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫∫ v v , 2 , 2 2 , 2 0 0 Z l QB l r g rl QB g D B r rl D E r l E ) v v v ) v v v ) π ε ϕ π ε π εε π ε = × = − = × = − = = ⋅ ⋅ 得 = Q v v εQ 于是电容器内电磁场的总角动量为 r r lZ QB r r Z l QB L l dV V ( ) 21 ( ) 2 21 22 21 2 = = − 2 − ⋅ = − − ∫∫∫ π π ε π v v ε ) ) v v 放电后 电容器内E = 0CD = 0 由总角动量守恒 则

第九章介质中的电磁理论 Ln=L即o=-2QB(2-r2) 于是得: -a2B(52-) 上式中负号表示电容器逆时针旋转。 §9-3介质的电磁性能方程和平面电磁波 介质的电磁性能方程是电磁场和介质相互作用的宏观描述 其形式表达为如下函数: D(E, B), (9-3-1) H=H(E, B) jo=jo(E, B 研究某种介质的电磁场,不知道这种介质的电磁性能方程,是无法取得结果的。从数学上看,麦克斯 韦方程是一组偏微分方程组,它本身是不闭合的。在任何介质中,它的形式都相同,只有加上所要研究

第九章 介质中的电磁理论 7 ( ). 21 21 22 L LC I QB r r n = 即 ω = − ε − v v 于是得 ( ) 21 21 22 QB r r I ω = − ε − 上式中负号表示电容器逆时针旋转 §9-3 介质的电磁性能方程和平面电磁波 一 介质的电磁性能方程是电磁场和介质相互作用的宏观描述 其形式表达为如下函数   = − − = − − = − − ( , ). (9 3 3) ( , ), (9 3 2) ( , ), (9 3 1) j0 j0 E B H H E B D D E B v v v v v v v v v v v v 研究某种介质的电磁场 不知道这种介质的电磁性能方程 是无法取得结果的 从数学上看 麦克斯 韦方程是一组偏微分方程组 它本身是不闭合的 在任何介质中 它的形式都相同 只有加上所要研究

电磁学网上课件 本章撰稿人:程福臻 的介质的电磁性能方程,才能得到这种介质中的电磁场的解。所以研究某种介质中的电磁场问题,必须 要知道该介质的电磁性能方程 如何得到介质的电磁性能方程呢?回答是由实验直接确定,或是由建立在实验基础上的合理分析得 到。例如,我们已经学过的不同性质的介质有: 1.各向同性介质 实验得 P=x.=E,D=6E+P=8,其中E=1+x 1=z.B.B=B-M==mB.其中=1+x E 最后写成 D=EEgE B=40H 2.各向异性电介质 实验得: P=(ie 9-3-7)

8 电磁学网上课件 本章撰稿人 程福臻 的介质的电磁性能方程 才能得到这种介质中的电磁场的解 所以研究某种介质中的电磁场问题 必须 要知道该介质的电磁性能方程 如何得到介质的电磁性能方程呢 回答是由实验直接确定 或是由建立在实验基础上的合理分析得 到 例如 我们已经学过的不同性质的介质有 1. 各向同性介质 实验得   = = ≡ − ⇒ = ≡ + = ≡ + = ≡ + . ; , 1 ; , 1 0 0 0 0 0 0 j E M B H B M H H P E D E P E m m e e v v v v v v v v v σ µµ µ χ µ χ χ ε ε εε ε χ 其中 其中 v v v v v v 最后写成   = − − = − − = − − (9 3 6) (9 3 5) (9 3 4) 0 0 0 j E B H D E v v v w σ µµ εε v v 2. 各向异性电介质 实验得 = ( ) . (9 − 3 − 7) Pi χ e ij E j

第九章介质中的电磁理论 z是张量,(x)是分量;于是c也是张量, 其分量为 3.铁磁质 M与B的实验关系复杂,且与磁化历史有 关,一般为形如图9-3-1的曲线 关系,称为磁滞回线。写成公式为: B=0(H+M) 9-3-8 图9-3-1磁滞回线 二、研究均匀各向同性介质中自由空间的平面电磁波 1.波动方程 这是一个重要的实例,我们从式(9-1-5-(9-1-8)微分形式的麦克斯韦方程和式(9-3-4)-(9-3-6) 均匀各向同性介质的电磁性能方程出发。 自由空间的含意是:p0=0g=0,研究σ=0的介质中的电磁场。于是,可得下面的方程组:

第九章 介质中的电磁理论 9 χ e是张量 e ij (χ ) 是分量 于是ε 也是张量 其分量为 ij ε 3. 铁磁质 M v 与 H 的实验关系复杂 v 且与磁化历史有 关 一般为形如图 9-3-1 的曲线 关系 称为磁滞回线 写成公式为 图 9-3-1 磁滞回线 ( ). (9 3 8) B = 0 H + M − − v v v µ 二 研究均匀各向同性介质中自由空间的平面电磁波 1. 波动方程 这是一个重要的实例 我们从式 9-1-5 9-1-8 微分形式的麦克斯韦方程和式 9-3-4 9-3-6 均匀各向同性介质的电磁性能方程出发 自由空间的含意是 0 0, 0 ρ 0 = Cj0 = 研究σ = v 的介质中的电磁场 于是 可得下面的方程组

电磁学网上课件 章撰稿人:程福臻 V·E=0C V·H=0 (9-3-10) (9-3-11) dE yeo at (9-3-12) 将它们与真空中自由空间的麦克斯韦方程组相比较,容易发现在方程(9-3-11)中右边项仅多了磁导 率μ,在方程(93-12)中右边项仅多了电容率E。在均匀各向同性介质中,c和μ是与时间t和空间位置 F无关的。于是,可以仿效真空情况下的作法,得到: ae 1 VE=0, (9-3-13) at. uEfa a2H 1 这是典型的波动方程,即脱离了场源的电磁场是以波的形式在无界的、自由的均匀各向同性介质中传播, 它的传播速度为 C C是真空中的光速

10 电磁学网上课件 本章撰稿人 程福臻   − − ∂ ∂ ∇ × = − − ∂ ∂ ∇ × = − ∇ ⋅ = − − ∇ ⋅ = − − . (9 3 12) , (9 3 11) 0, (9 3 10) 0 (9 3 9) 0 0 t E H t H E H E C v v v v v εε µµ v 将它们与真空中自由空间的麦克斯韦方程组相比较 容易发现在方程 9-3-11 中右边项仅多了磁导 率µ 在方程 9-3-12 中右边项仅多了电容率ε 在均匀各向同性介质中 ε和µ 是与时间 t 和空间位置 r 无关的 v 于是 可以仿效真空情况下的作法 得到   − ∇ = − − ∂ ∂ − ∇ = − − ∂ ∂ 0. (9 3 14) 1 0, (9 3 13) 1 2 0 0 2 2 2 0 0 2 H t H E t E v v v µεµ ε µεµ ε 2 v 这是典型的波动方程 即脱离了场源的电磁场是以波的形式在无界的 自由的均匀各向同性介质中传播 它的传播速度为 . (9 3 15) 1 0 0 = = − − µεµ ε µε C V C 是真空中的光速