中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 §2-4欧姆定律 一、欧姆定律的两种表示 1.欧姆定律的微分形式 实验指出,当金属导体中存在电场时,导体中便出现电流。当导体中的电场恒定时,形成的电流也是恒定的,一旦撤 除电场,电流亦随之停止进一步的实验指出:当保持金属的温度恒定时,金属中的电流密度j与该处的电场强度E成正比, 即 =OE 比例系数称为金属的电导率。上式对大部分导体都是成立的,称为欧姆定律的微分形式,它反映了导体内部任一点的电流 密度与该点的电场分布和电导率无关。若导体是均匀的,则导体内各处的电导率都相等,若导体是非均匀的,则电导率是位 置的函数。 在更加一般的情况下,电导率o本身也可以是电场强度E的函数,这时 j=(E)E 这时阻力就不再与定向速度成正比了。电导率o倒数称为电阻率,用p表示 p=-
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 在SI单位制中,电导率的单位是欧米y,或Q-1·m:电阻率的单位是欧米),或Q·m,这里g是电阻的单位,称为欧姆。 欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦适用 2.一段电路欧姆定律 在导体和绝缘体的交界面附近,由电场强度边界条件,即: E)= 对于稳恒电流,电荷不可能在交界面堆积,否则电流不稳恒,因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上,电流密度j只 有切向分量,没有法向分量 稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为S,电导率 为σ.显然,导线的每一横截面都是等势面,相距为1的两个横截面问的电势差为 Ap=E- di=pi-d=j pd 设 R U=R或I= U
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 R为所考察的两等势面间导体的电阻,它与导体材料的性质、导体的形状等因素有关,就是一段导体的欧姆定律。 实际上即使同一导体,当电流流动的方式不同时,对应的电阻也不同。如圆筒形导体,电流沿筒的轴向流动时的电阻与电流 沿筒的径向流动时的电阻就是完全不同的尽管电阻与导体形状及电流流动方式有关,但电阻率却与这些因素无关,仅由材料性 质决定。表2-1给出了几种材料的电阻率。 表21几种材料的电阻率 电阻率/m) 电阻率gm) 石墨 14×105 9.71X10 玻璃 1.59108 石英 l10 551x103 食盐饱和溶液 4.4x10 汞 9.58×103 2x10 镍铬合金 100×103 木材 3.电阻率与温度的关系 材料的电阻率与温度有关。实验测量表明,纯金属的电阻率随温度的变化较有规律,当温度变化的范围不很大时,电阻率与 温度成线性关系,即 p=Po(+a) 式中p是t℃时的电阻率,p是0℃时的电阻率,α称为电阻的温度系数。大部分金属的电阻温度系数在0.4%左右.通常,电阻 随温度变化的关系可以用下式表示
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 R=R0(1+an) 电阻随温度变化的较精确的关系式为: R=R1(1+0.0095-00006 上面两式中,R是tC时导体的电阻,R0是0℃时导体的电阻。 4.纳米材料的电阻 德国萨尔大学的 Gleiter教授等人对纳米金属Cu、Pd、Fe块体的电阻与温度关系,电阻温度系数与颗粒尺寸的关系进行了系 统的硏究。他们发现纳米材料的电阻随温度的变化与纳米颗粒径有关随颗粒尺寸减小,电阻温度系数下降。这个结果表明纳米金 属和合金材料的电阻随温度变化的规律与常规粗晶基本相似其差別在于纳米材料的电阻高于常规材料,电阻温度系数强烈依赖于 晶粒尺寸。当颗粒小于某一临界尺寸(电子平均自由程)时,电阻温度系数可能由正变负。 例如,Ag细粒径和构成粒子的晶粒直径分别减小至等于或小于18m和1m时,室温以下的电阻随温度上升呈线性下降, 即电阻温度系数α由正变负,而常规金属与合金α为正值 纳米金属与合金在电阻上的这种新特性可以这样解释:因为当电子在理想周期场中的运动时,如果势场不发生畸变,电子的 能量状态不会变化,运动的速度不会改变。电子在周期势场中以波的形式(布洛赫波)传播。电子的函数可以看作是前进的平面波 和各晶面的反射波的选加。在一般情况下,各反射波的位相之间没有一定的关系,彼此相互抵消,从理想上可以认为周期势场对电 子的传播没有障碍,但实际晶体存在原子在平衡位置附近的热振动,杂质或缺陷以及畾界。这样,电子在实际晶体中的传播由于散 射使电子运动受障碍,这就产了电阻。纳米材料中大量的晶界的存在,几乎使大量电子运动局限在小颗粒范围,晶界原子排列越混 乱,晶界厚度越大,对电子散射能力就越强,界面这种高能垒是使电阻升高的主要原因
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ Ѡゴ 〇ᘦ⬉⌕ 㗙˖䙺㾦 4 (1 ) 0 R = R +αt ⬉䰏䱣⏽ᑺব࣪ⱘ䕗㊒⹂ⱘ݇㋏ᓣЎ˖ (1 0.003985 0.000000586 ) 2 0 R = R + t − t Ϟ䴶ϸᓣЁˈR ᰃ tćᯊᇐԧⱘ⬉䰏ˈR0ᰃ 0ćᯊᇐԧⱘ⬉䰏DŽ 4ˊ 㒇㉇ᴤ᭭ⱘ⬉䰏 ᖋ㧼ᇨᄺⱘ Gleiter ᬭᥜㄝҎᇍ㒇㉇䞥ሲ CuǃPdǃFe ഫԧⱘ⬉䰏Ϣ⏽ᑺ݇㋏ˈ⬉䰏⏽ᑺ㋏᭄Ϣ乫㉦ሎᇌⱘ݇㋏䖯㸠њ㋏ 㒳ⱘⷨおDŽҪӀথ⦄㒇㉇ᴤ᭭ⱘ⬉䰏䱣⏽ᑺⱘব࣪Ϣ㒇㉇乫㉦ᕘ᳝݇ˈ䱣乫㉦ሎᇌޣᇣˈ⬉䰏⏽ᑺ㋏᭄ϟ䰡DŽ䖭Ͼ㒧ᵰ㸼ᯢ㒇㉇䞥 ሲড়䞥ᴤ᭭ⱘ⬉䰏䱣⏽ᑺব࣪ⱘ㾘ᕟϢᐌ㾘㉫ᴀⳌԐˈ݊Ꮒ߿Ѣ㒇㉇ᴤ᭭ⱘ⬉䰏催Ѣᐌ㾘ᴤ᭭ˈ⬉䰏⏽ᑺ㋏᭄ᔎ⚜ձ䌪Ѣ ㉦ሎᇌDŽᔧ乫㉦ᇣѢᶤϔЈ⬠ሎᇌ˄⬉ᄤᑇഛ㞾⬅˅ᯊˈ⬉䰏⏽ᑺ㋏᭄ৃ㛑⬅ℷব䋳DŽ ՟བˈAg 㒚㉦ᕘᵘ៤㉦ᄤⱘ㉦Ⳉᕘޣ߿ߚᇣ㟇ㄝѢᇣѢ18nm 11nm ᯊˈᅸ⏽ҹϟⱘ⬉䰏䱣⏽ᑺϞछਜ㒓ᗻϟ䰡ˈ े⬉䰏⏽ᑺ㋏᭄α⬅ℷব䋳, 㗠ᐌ㾘䞥ሲϢড়䞥αЎℷؐDŽ 㒇㉇䞥ሲϢড়䞥⬉䰏Ϟⱘ䖭⾡ᮄ⡍ᗻৃҹ䖭ḋ㾷䞞˖Ўᔧ⬉ᄤ⧚ᛇ਼ᳳഎЁⱘ䖤ࡼˈᯊབᵰഎϡথ⫳⭌বˈ⬉ᄤⱘ 㛑䞣⢊ᗕϡӮব࣪ˈ䖤ࡼⱘ䗳ᑺϡӮᬍবDŽ⬉ᄤ਼ᳳഎЁҹ⊶ⱘᔶᓣ˄Ꮧ⋯䌿⊶˅Ӵ᪁DŽ⬉ᄤⱘߑ᭄ৃҹⳟᰃࠡ䖯ⱘᑇ䴶⊶ 䴶ⱘডᇘ⊶ⱘ䗝ࡴDŽϔ㠀ᚙމϟˈডᇘ⊶ⱘԡⳌП䯈≵᳝ϔᅮⱘ݇㋏ˈᕐℸⳌѦᢉ⍜ˈҢ⧚ᛇϞৃҹ䅸Ў਼ᳳഎᇍ⬉ ᄤⱘӴ᪁≵᳝䱰ˈԚᅲ䰙ԧᄬॳᄤᑇ㸵ԡ㕂䰘䖥ⱘ⛁ᤃࡼˈᴖ䋼㔎䱋ҹঞ⬠DŽ䖭ḋˈ⬉ᄤᅲ䰙ԧЁⱘӴ᪁⬅Ѣᬷ ᇘՓ⬉ᄤ䖤ࡼফ䱰ˈ䖭ህѻњ⬉䰏DŽ㒇㉇ᴤ᭭Ё䞣ⱘ⬠ⱘᄬˈТՓ䞣⬉ᄤ䖤ࡼሔ䰤ᇣ乫㉦㣗ೈˈ⬠ॳᄤᥦ߫䍞⏋ хˈ⬠८ᑺ䍞ˈᇍ⬉ᄤᬷᇘ㛑ህ䍞ᔎˈ⬠䴶䖭⾡催㛑൦ᰃՓ⬉䰏छ催ⱘЏ㽕ॳDŽ
中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 00000000 曲线:R=0(1+73x107 图2:37室温下纳米Ag的电阻随温度的 变化。乱粒径为20m,晶粒度为1nm;B) 粒径为18nm,晶粒度为llm:()粒径为 Ilm,晶粒度为llnm 曲线:R-554-30X10°rn 曲线:R=9731-12×10
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 总的来说,纳米材料从微结构来分析,它对电子的散射可划分为两个部:一是颗粒(晶内)组元:二是界面组元(晶界) 颗粒尺寸与电子的平均自由程相当时,界面组元对电子的散射有明显的作用,而当颗粒尺寸大于电子平均自由程时,晶内组元对电 子的散射逐渐优势,颗粒尺寸越大,电阻和电阻温度系数接近常规粗晶材料,这是因为常规粗晶材料主要是以晶内散射为主。当颗 粒尺寸小于电子平均自由程,使界面对电子的散射起主导作用,这时电阻与温度的关系以及电阻温度系数的变化都明显地偏离了粗 晶的情况,甚至出现反常现象。例如,电阻温度系数变负值就可以用占主导地位的界面对电子散射加以解释。我们知道,一些结构 无序的系统,当电阻率趋向一“饱和值”时,电阻随温度上升增加的趋势减弱,α减少,甚至由正变负.对于纳米,固体界面占据 庞大的体积分数,面中原子排列混乱,这就会导致总的电阻率趋向饱和值,此外,粒径小于一定值时,量子尺寸效应的出现,也会 致颗粒内部对电阻率的贡献大大提高,这就是负温度系数出现在纳米固体试样中原因。 5.电流的功和功率·焦耳定律 电流通过导体时,正电荷从高电势处向低电势处运动,在这过程中,电场对电荷做功。根据欧姆定律,电场做的功即电流的 功率为 P=UI=R=UIR 电场作的功将转变成其他形式的能量。电场所作的功为 △A=IRA 实验表明,电流通过欧姆介质时,电能将以发热的形式释放出来,即 Q=△A=2R△ 就是熟知的焦耳定律。它表明:这一结论只对纯电阻R的情况成立。 单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。若用p表示电功率密度,则由欧姆定律的微分形式,可得 P 这就是焦耳定律的微分形式
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 歐定律的解释 1.金属导电性的经典微观解释 属可以简单地看成是位于晶格点阵上带正电的原子实与自由电子的集合。原子实虽然被固定在晶格上,但可以在各自的平衡 位置附近作微小的振动;自由电子则在晶格间作激烈的不规则运动,在没有外场或其它因素(如温度梯度、数密度梯度),不规则 的运动一般并不形成宏观电流,但存在随机涨落。 当存在外场时,自由电子将获得一加速度,由于与晶格的碰撞,电子会改变速率和方向。设在匚=0的时刻正好发生一次碰撞, 碰撞后的速度为v,则在下一次碰撞前,载流子的位移为 1 2 m t是连续两次碰撞之间所经历的时间即自由时间。不同的电子,在碰撞后所具有的速度v各不相同,自由时间t也各不相同.对大 量的电子求平均,有 E 由于t和vo都是完全随机的,因而wt的平均值为零。电子的定向运动平均速度为 对不同的载流子,自由时间t是不同的,由分子物理学可知,在N个载流子中,自由时间为t到t+dt间隔内的粒子数与e成正
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 比,平均值为 导体中的电流密度为 j=Nqu=N正 这就是欧姆定律的微分形式,而电导率G为 q g=N-t 这就是欧姆定律的经典电子论解释。由气体分子运动论知道,平均自由时间τ、平均速率v和平均自由程λ三者的关系为: M=vT 代入电导率σ式子,由于λ与温度无关,而ν∝√7,故电导率0与温度的关系为 这与实验结果不相符,所以经典电子论对金属的导电性的解释在定量方面并不成功 2.金属的导电性的量子理论 经典电子论困难的原因来自两方面:首先,电子气不同于理想气体,它不遵守麦克斯韦-波尔兹曼分布,而服从费米狄拉克统
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 计:其次,电子具有波粒二象性,电子的平均自由程不能用经典分子运动论的方法来计算。 按照量子理论,电子应服从泡利不相容原理,金属中的自由电子气服从费米一狄拉克统计,服从费米一狄拉克统计的电子气称 为费米电子气,对手费米电子气,即使T-0°K,N个电子也只能处在从最低能级数起的前N2个能级上,其中最高能级的能量为 费米能。金属的费米能很大,如铜的费米能ε=703eV,若把与费未能相当的温度称为费米温度,则铜的费米温度T=81000%K。 按量子理论,即使在绝对零度,电子的平均动能也很大,其平均动能ε=3e5. 在T=0°K时,费米电子气占满费米能级以下的所有的能级,而费米能级以上的能级全空着,无电子占有。当T>0时,晶格 上的原子实具有的动能为kT的数量级,在一般情况下比eF小得多。如T=300K时,kT=0.02eV。电子通过与晶格的碰撞从原 子实取得的能量不可能超过k,只有能量接近费米能的能级上的电子,才可能通过碰撞从原子实取得能量而溦发到费米能级上方 的空能级上,在外电场时,全部电子都获得加速度,但对金属导电有贡献的只是费米能级附近的能级上的电子。这些电子可以从电 场获得能量,进入能量较高的激发态能级上去,而远离费米能级的电子不参与导电,所以金属的导电性与费米能级附近的能级的多 少即能级的密度密切有关,作为修正,电子的平均速度v可用与费米能对应的费米速度v代替,而 { 另外,电子平均自由程的概念也要修正。电子是微观粒子,具有波粒二象性,所谓电子与晶格上原子实的碰撞实际上是电子 波被晶格的散射.量子力学证明,若晶体是完整的,即原子实严格固定在周期性的晶格上,电子波是不会被晶格散射的,电子的平 均自由程将为无限大,因而金属的电导率为无限大,即完整的晶体是没有电阻的。实际的晶体都有某种不完整性,它一方面来自原 子实在品格上的热振动,另一方面是因晶体中不可避免的含有杂质。原子实的振动相当于严格的周期性排列遭到某种偏离,在常温 下,原子实振动的振幅的均方很值与绝对温度成正比,从而导致电子波被原子实散射的次数与绝对温度成正比,因而自由时间与温 度成反比。由于费米能几乎与温度无关,故电导率与温度成反比,这正是实验结果所要求的。另外,严格的计算表明,按电子波散 射求得的平均自由程正好是经典理论求得的100倍,而v是v的16倍,两者结合恰好使电导率的理论值与实验值相等,解决了经 典理论值偏小的问题
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 杂质造成的不完整性与温度无关,所以在极低温度下,杂质是引起电阻的主要原因。 三、欧爆定律的失效问题 若平均自由时间与电场无关,则电流密度与电场强度成线性关系,这种导电介质就是欧姆介质;而当τ与电场有关时,电导率 5本身与场强有关,欧姆定律失效,即j与E产或者说I与U的比例关系遭到破坏,而代之以非线性关系。 电场很强时 欧姆定律的微分形式在电流随时间变化时也成立,但是场强E随时间变化的周期T应比τ得多,即 T>了 对一般金属,电子的平均自由时间τ在103-103s范围内,这就要求T》10s或频率υ《10H,这个频率属于可见光范围, 而一般场强变化的频率比可见光频率小得多,故直到频率超过微波段(10"Hz),欧姆定律仍成立。 例如在金属中E>102-10vm2时,u会很大,大到可以v相比拟,这时,电子的平均自由飞行时间必然受到电场E的影响 与E不再是线形关系,而是非线性的关系 2.高气压下的电离气体 此时,气体分子的平均自由程很长,即使电场强度不很高时。λ也很大,从而导致欧姆定律失效
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