第四章线性系统的根轨迹法 4-1根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子,了解一下根轨迹的本质是什么 设有二阶代数方程+3+2+K=0,由韦达定理,可求出其二个根 为:S2=-1.5±√025-K,由于代数方程是二阶的,求其根很方便 即便如此,当可变参数K从0连续变化到正无穷大时,计算这两个 根的所有值是相当麻烦的.那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢?下面从两 个根的表达式着手来画. (1)K=0,则S1=-1,2=-2,在S平面上的位置如下图所示:
第四章 线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么. 设有二阶代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = , 由韦达定理, 可求出其二个根 为: s1,2 = −1.5 0.25 − K , 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便 即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个 根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两 个根的表达式着手来画. (1)K=0, 则 1, 2 s1 = − s2 = − , 在S平面上的位置如下图所示: -2 -1 0 jω σ
(2)当0<K<=0.25时,一个根的绝对值随K的增大而增大,另 个根的绝对值随K的增大而减小,两根的变化轨迹如下图所示: 1.5 当K=025时,两根相等,均为-15 (3)025<K<+∞时,两根为共軛复根,且其实部均为15,而 虚部的绝对值随K的增大而增大,两根的变化轨迹如下图所示 1.5
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示: -2 -1 0 jω σ -1.5 当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化轨迹如下图所示: 0 -2 -1 jω σ -1.5
由例可见,代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来.由于上例中代数方程简单,是 阶的,其两个根关于参变量K的表达式可求,且简单,故画 图也方便.当代数方程为高阶时,画图就没那么方便.但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: 1)因例中代数方程为二阶,所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; (2)若把代数方程3+3+2+K=0写成如下形式,即: K K 1+ 1+ 0 +3s+2 S+1)(s 并令:G(s)= k 则左式分母(+1s+2)=0 (S+1)(s+2) 的根为1和-2,恰为当K=0时,代数方程+3+2+K=0的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点 (3)两条根轨迹分支离开实轴,进入复平面后,在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是 二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画 图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: (1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; (2) 若把代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = 写成如下形式, 即: 0 ( 1)( 2) 1 3 2 1 2 = + + = + + + + s s K s s K 并令: ( 1)( 2) ( ) + + = s s K G s 则左式分母 (s +1)(s + 2) = 0 的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = 的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称
实际控制系统往往是高阶的,即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程.当系统中某环节的某个参数发生变化,或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时,系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化.而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系.这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度,作出理论上 的指导.而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来 1.根轨迹定义 定义:当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时,系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹.称为系统的根轨迹
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来. 1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹
2.根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示: R(SI GI(s) G2S Y(S) H(S) 其开环传递函数G(s)=G(s)G2(S)H(s),开环传递函数是各 个环节传递函数的乘积形式由于系统中各个环节一般为典型环 节,而典型环节的传递函数一般不超过二阶,其分子和分母的S 多项式极易因式分解,从而开环传递函数的零极点也容易获得 因此,闭环系统的开环传递函数可表为 K∏I(s+1)KI(-=,) sI(zS+1)s∏I(s-p,)
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示: H(S) R(S) G1(S) G2(S) Y(S) 其开环传递函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 G s = G s G s H s , 开环传递函数是各 个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环 节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S 多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得. 因此, 闭环系统的开环传递函数可表为: (1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 ' 1 1 0 = = = = − − = + + = r j j N m i i r j j N m i i s s p K s z s s K Ts G s
式(1)中:5是G(S)的零点,i=1,2 P,是G(S)的非零极点,j=1,2…r s表示有N个数值为的极点,且Nr=n,n为系统的 阶数 K叫开环系统的增益,K”叫开环系统的根轨迹增益, K与K的本质相同,仅它们间的值有一系数关系,即: K= K (2) ∏I(-P2) 闭环系统的特征方程为1+G()=0,即:G0(s)=-1,将式(1)代入 K∏I(s-=,)KII s-2e e(2k+1)x(3) SI(s-P) j(N+∑) IIIs-p
式(1)中: 阶数. i z 是G0(S)的零点, i=1,2,….m j p 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r N s 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益, K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即: (2) ( ) ( ) 1 ' 1 = = − − = r j j m i i p z K K 闭环系统的特征方程为: 1+ G0 (s) = 0 ,即: G0 (s) = −1 ,将式(1)代入 (3) ( ) ( ) (2 1) 1 ( ) 1 ' 1 1 ' 1 1 + = + = = = = − − = − − = = j k r j j N j N m i j i r j j N m i i e s s p e K s z e s s p K s z r j j m i i
式(3)中:-=是(--)的模;-P是(-以)的模; O是(-)的幅角;,是(-P)的幅角;是$的幅角; k=0,±1,+2…,n=N+r 式(3)叫根轨迹方程,此方程又可分为下面两个方程: s-p K ∑0-N-∑的=(2k+1)zk=0,±1±2, (5) 式(4)叫根轨迹的幅值条件,式(5)叫根轨迹的相角条件.在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点,即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点,因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件.根轨迹上某一点对应的K的值可由幅 值条件求出
式(3)中: 式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程: i s − z 是 ( )i s − z 的模; j s − p 是 ( )j s − p 的模; i 是 ( )i s − z 的幅角; j 是 ( )j s − p 的幅角; k = 0,1,2 , n = N + r (2 1) 0, 1, 2, (5) (4) 1 1 1 ' 1 − − = + = − − = = = = = N k k s z s p K r j j m i i m i i r j j 式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出. 是 s 的幅角;
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹,将会非常不方 便.人们利用前面介绍的几个式子,导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则,可方便地绘制出根轨迹的大至形状,叫概略根 轨迹,这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 4-2根轨迹绘制的基本法则 本节通过一个例子,介绍绘制根轨迹的七条法则,但对法则 不予推导和证明 需指出的是,绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值,一般以K为参变量 例:某闭环系统的开环传递函数为: G(s)= K(s+1)S+10(8+7+j2s+7-j2) s(S+6(+8+05+j)(s+0.5-j)(s+4+j3)(S+4-j3)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方 便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了. 4-2 根轨迹绘制的基本法则 本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为: ( 6)( 8)( 0.5 )( 0.5 )( 4 3)( 4 3) ( 1)( 10)( 7 2)( 7 2) ( ) ' 0 s s s s j s j s j s j K s s s j s j G s + + + + + − + + + − + + + + + − =
上例中: n=7,m=421=-1,2=-10,3=-7+j2,24=-7-j2 B1=0,P2=-6,P2=-8,p=-0.5+j,p3=-0.5-j2p=4+j3,D=-4-j3 将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上,习惯上用叉 号标记开环极点,用小圆圈标记开环零点,如下图: 6 2 4X p 10 xp1 Z p p
上例中: 将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图: 0, 6, 8, 0.5 , 0.5 , 4 3, 4 3 7, 4; 1, 10, 7 2, 7 2 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 p p p p j p j p j p j n m z z z j z j = = − = − = − + = − − = − + = − − = = = − = − = − + = − − 0 p1 1 2 3 -6 p2 -8 p3 -10 z2 -1 z1 p4 p5 p6 p7 z3 z4 jω σ
法则1根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K=+∞ 注意:当n>m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m-n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点 法则2根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数m中的大者相等它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞. 注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点. 法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分