第二章控制系统的数学模型 2-1控制系统的时域数学模型 1.对控制系统的要求 对控制系统的要求最基本的是对系统的输出c(t)在时间域中 的变化情况而提出.最简单的理想情况如下图所示,既当系统被 c(or(t) 输入一个r()信号后,系统输出(t)立即以 c()一定的比例关系变化.但由于实际系统具有 r()质量,惯性或延迟性及其它原因,系统的 实际输出往往为如下三种图形中的一种 c(tr(t) c(t) c(tr(t) C(),r(t) clt c() C C,t r(t
第二章 控制系统的数学模型 2-1 控制系统的时域数学模型 1. 对控制系统的要求 对控制系统的要求最基本的是对系统的输出c(t)在时间域中 的变化情况而提出. 最简单的理想情况如下图所示, 既当系统被 c(t) r(t) t 0 c(t) r(t) 输入一个 r(t) 信号后, 系统输出 c(t) 立即以 一定的比例关系变化. 但由于实际系统具有 质量, 惯性或延迟性及其它原因, 系统的 实际输出往往为如下三种图形中的一种: c(t) c(t) r(t) t 0 r(t) ( ) 1 c t (a) c(t) r(t) t 0 r(t) ( ) 1 c t (b) c(t) c(t) r(t) t 0 r(t) ( ) 1 c t (c) c(t)
前一屏的a)()(c)三图中,c()为在r(t)输入信号下的理想输 出,C(t)为实际输出.(a)图的实际输出是衰减振荡的,(b)图的 实际输出是等幅振荡的,(c)图的实际输出是发散振荡的 由上面分析可知,对控制系统的性能要求一般可归结为: (1)稳定,并有一定的裕量; (2)符合要求的瞬态响应,即系统的瞬态质量,也叫系统的过渡 过程性能; (3)符合要求的控制精度,即对系统的稳态误差的要求 因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性, 瞬态性能和稳态误差,或根据用户提出的稳定性,瞬态性能和 稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统,如下图所 控 分析「稳定性 制 瞬态性能 系四计综合)稳态误差 统
前一屏的(a)(b)(c)三图中, c1 (t) 为在 r(t) 输入信号下的理想输 出, c(t) 为实际输出. (a)图的实际输出是衰减振荡的,(b)图的 实际输出是等幅振荡的,(c)图的实际输出是发散振荡的. 由上面分析可知, 对控制系统的性能要求一般可归结为: (1) 稳定, 并有一定的裕量; (2) 符合要求的瞬态响应, 即系统的瞬态质量, 也叫系统的过渡 过程性能; (3) 符合要求的控制精度, 即对系统的稳态误差的要求. 因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性, 瞬态性能和稳态误差, 或根据用户提出的稳定性, 瞬态性能和 稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统, 如下图所 示: 控 制 系 统 稳定性 瞬态性能 稳态误差 分析 设计(综合)
对于分析或设计一个控制系统,不能只满足于定性的分析或 设计,而往往要求进行定量的分析或设计,为此第一步的工 作就需求出系统中各个环节的数学模型,进而获得系统的数 学模型 2.系统的数学模型 控制系统的数学模型,是描述系统内部各物理量(或变 量)之间关系的数学表达式,时域中数学模型的基本形式是微 分方程而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为 常系数线性微分方程,其一般形式可表为: ac(n(t)+a,cn-(t)+.a, co(t)+a,( b rm()+b,(m-l(t)+.bro(t)+br(t) 下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和 方法及步骤
对于分析或设计一个控制系统, 不能只满足于定性的分析或 设计, 而往往要求进行定量的分析或设计, 为此第一步的工 作就需求出系统中各个环节的数学模型, 进而获得系统的数 学模型. 2. 系统的数学模型 控制系统的数学模型, 是描述系统内部各物理量(或变 量)之间关系的数学表达式, 时域中数学模型的基本形式是微 分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为 常系数线性微分方程,其一般形式可表为: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b r t b r t b r t b r t a c t a c t a c t a c t m m m m n n n n = + + + + + + − − − − 下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和 方法及步骤
例1.直流电动机的数学模型 直流电动机是在控制系统中常用的一种装置,其示意 图如下所示: R M(t) I= const E 直流电动机 1(t) e(toro(t) (1)确定直流电动机的输入量和输出量 上图表明,直流电动机的激磁电流Ⅰ= const,从而 磁场恒定不变.电机的转速与电枢电压(1)大小有关, 与负载力矩M(t)的大小有关.因此输入量有两个,一个 是电枢电压n(),另一个是负载力矩M()
例1. 直流电动机的数学模型 直流电动机是在控制系统中常用的一种装置, 其示意 图如下所示: I const f = u (t) a + − E (t) a R a L a i (t) a (t) or (t) m 直流电动机 u (t) a M (t) C (t) (t) m (1) 确定直流电动机的输入量和输出量 上图表明, 直流电动机的激磁电流 I const f = , 从而 磁场恒定不变. 电机的转速与电枢电压 u (t) a 大小有关, 与负载力矩 M (t) C 的大小有关. 因此输入量有两个,一个 是电枢电压u (t) a , 另一个是负载力矩M (t) C
输出量一个,即转速On(1)或角位移(t) (2)列写原始方程式 将电动机分解成二个更简单的部分,一个是电枢回路部 分,另一个是机械转动部分.由基尔霍夫定律,电枢回路部 分原始方程为: di (t) d +Ri(t+e(t=u(t) 式(1)中,E(t)是当电枢旋转时产生的一个与2(1)方向相反的 感应电势.根据力矩平衡原理,机械转动部分的运动方程为 +fa(t)=m(t-m( (2 式(2)中,Mn()是电枢电流产生的电磁转矩, J是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转 动惯量. fn是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘 性摩擦系数
输出量一个, 即转速 m (t) 或角位移 (t) (2) 列写原始方程式 将电动机分解成二个更简单的部分, 一个是电枢回路部 分, 另一个是机械转动部分. 由基尔霍夫定律, 电枢回路部 分原始方程为: ( ) ( ) ( ) (1) ( ) R i t E t u t d t d i t L a a a a a a + + = 式(1)中, E (t) a 是当电枢旋转时产生的一个与 u (t) a 方向相反的 感应电势. 根据力矩平衡原理, 机械转动部分的运动方程为 ( ) ( ) ( ) (2) ( ) f t M t M t d t d t J m m m C m m + = − 式(2)中, M (t) m 是电枢电流产生的电磁转矩, m J 是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转 动惯量. m f 是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘 性摩擦系数
(3)消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见(,E2(t),Mn(1)是中间变量,要 消去它们,就要找出中间变量与其它因素间的关系.感应 电势E(1)正比于转速On()和激磁电流产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的,所以磁通量也恒定,感应电势仅取 决于转速,并可表示为: E(t=Co(t) (3) 式(3)中,C为反电势系数 电动机产生的电磁转矩M(1)是激磁磁通和电枢电流 2()的正比函数,由于激磁磁通恒定,故Mn()可表为 M(t)=C i(t) 式(4)中,Cm为电动机转矩系数
(3) 消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见, i (t), E (t), M (t) a a m 是中间变量, 要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势 E (t) a 正比于转速 (t) m 和激磁电流 f I 产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为: E (t) C (t) (3) a = e m 式(3)中, C e 为反电势系数. 电动机产生的电磁转矩 M (t) m 是激磁磁通和电枢电流 i (t) a 的正比函数, 由于激磁磁通恒定, 故 M (t) m 可表为: M (t) C i (t) (4) m = m a 式(4)中, C m 为电动机转矩系数
将式(1),(2),(3),(4)联立得: a+Ri()+E() do (t) d+m()=M()-M()(2) E(t=Co(t) M (t=Cmi(t) (4) 消去中间变量(t),E(),M()得电动机输入输出方程为: , do (t) do(t) +OL,fm+rm)-m dt +(Rf+C Ce)om(t) =Cu(t)- aM RM(t) 如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油,则粘 性摩擦系数f可忽略不计,如果电动机输出轴不带负载,即 M(t=0
将式(1),(2),(3),(4)联立得: 消去中间变量 = = + = − + + = ( ) ( ) (4) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) M t C i t E t C t f t M t M t d t d t J R i t E t u t d t d i t L m m a a e m m m m C m m a a a a a a i (t), E (t), M (t) a a m 得电动机输入输出方程为: ( ) (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 R M t d t d M t C u t L R f C C t d t d t L f R J d t d t L J a C C m a a a m m e m m a m a m m a m = − − + + + + 如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油, 则粘 性摩擦系数 m f 可忽略不计, 如果电动机输出轴不带负载, 即 M (t) = 0 C
则式(5)可简化为: d(t) +rJ do(t) +CC,O(t)=Cmu,( 若令:7=m为机电时间常数,=为电枢回路时间常数 则式(6)可写为:a+ndon dt dt+o()= 有式(7)可知,当电动机的转速稳定后Pn()不再变化,则 d o(t) do(t) 0,从而O()=n()(8),式8 dt 是电动机的传递系数.由于电动机中的电枢回路有一个储能 元件L,并且转动部分有惯性,故描写电动机的微分方程式(7 的左端必为二阶微分,且有二个时间常数 如果电动机电枢回路中的电感很小,即电柩回路时间常数 T很小可忽略不计
则式(5)可简化为: 若令: ( ) ( ) (6) ( ) ( ) 2 2 C C t C u t d t d t R J d t d t L J m e m m a m a m m a m + + = m e a m m C C R J T = 为机电时间常数, a a a R L T = 为电枢回路时间常数 则式(6)可写为: ( ) (7) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 u t C t d t d t T d t d t T T a e m m m m a m + + = 有式(7)可知, 当电动机的转速稳定后, (t) m 不再变化, 则 0 ( ) ( ) 2 2 = = dt d t dt d t m m , 从而 ( ) (8) 1 ( ) u t C t a e m = ,式(8)中 C e 1 是电动机的传递系数. 由于电动机中的电枢回路有一个储能 元件 L a ,并且转动部分有惯性, 故描写电动机的微分方程式(7) 的左端必为二阶微分, 且有二个时间常数. 如果电动机电枢回路中的电感很小, 即电枢回路时间常数 T a 很小可忽略不计
则式(7可简化为 do(t +O(t) (9) dt 二阶微分方程简化为一阶微分方程,给数学处理带来很大 的方便,近一步,如电动机为小型电动机,其转动部分的 转动惯量J很小,从而机电时间常数T很小可忽略不计,则 式(9)可近一步简化为0C2。(0)即式(8),成为代数方程 例2.电动机转速控制系统的数学模型 直流电动机 激磁电流,= const 运算器电枢电压la 激磁回路 测速发电机
则式(7)可简化为: 二阶微分方程简化为一阶微分方程, 给数学处理带来很大 的方便, 近一步, 如电动机为小型电动机, 其转动部分的 ( ) (9) 1 ( ) ( ) u t C t d t d t T a e m m m + = 转动惯量 m J 很小, 从而机电时间常数 T m 很小可忽略不计,则 式(9)可近一步简化为 ( ) 1 ( ) u t C t a e m = 即式(8), 成为代数方程 例2. 电动机转速控制系统的数学模型 测速发电机 直流电动机 激磁回路 I const 激磁电流 f = a 运算器 电枢电压 u V+ V r e u
(1)确定各环节的输入输出方程 运算器:如采用的运算器仅起比例放大作用,放大倍数为 K,则u()=K[()-( (10) 测速发电机:如采用的是小型测速发电机,则其输入输出 方程为:u(D)=KxOn() 式(1)中k为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程 为式(7 (2)消去中间变量 联立式(7),式(10,式(1,消去中间变量2(t),2(1)则系统 的微分方程为: +T dt+(+K)om(t) (t)(12) KK 式(2)中K=为系统中各环节传递系数的乘积,称 C。为系统的开环放大倍数
(1) 确定各环节的输入输出方程 运算器: 如采用的运算器仅起比例放大作用, 放大倍数为 K a , 则 u (t) K u (t) u (t) (10) a = a r − e 测速发电机: 如采用的是小型测速发电机, 则其输入输出 方程为: u (t) K (t) (11) e = T m 式(11)中 KT 为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程 为式(7). (2) 消去中间变量 联立式(7),式(10),式(11), 消去中间变量 u (t),u (t) a e 则系统 的微分方程为: (1 ) ( ) ( ) (12) ( ) ( ) 2 2 u t C K K t d t d t T d t d t T T r e a m m m m a m + + + = 式(12)中 e a T C K K K = 为系统中各环节传递系数的乘积, 称 为系统的开环放大倍数
