第七章线性离散系统的分析与校正 71离散系统的基本概念 目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越 多地参与系统的控制.而计算机所能接收和输出的信号只能是数 字信号,数字信号是关于时间t的离散信号.简单来说这种系统叫 采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示: r(t) G(s) b( H(S) 图中,S是采样开关,它以周期T开闭一次,当连续信号e(1)经过 采样开关S后,得到一时间t的离散信号e().上图中的其它信号 都是时间t的连续信号.于是定义:在系统中只要有一处的信号是 时间t的离散信号,即为时间t的断续函数时,此系统就叫采样离 散系统,简称离散系统. 由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离 散信号等特点,给对系统的研究带来一些新问题.下面先从研究
第七章 线性离散系统的分析与校正 7.1 离散系统的基本概念 目前, 随着计算机性能和可靠性的不断提高, 计算机越来越 多地参与系统的控制. 而计算机所能接收和输出的信号只能是数 字信号, 数字信号是关于时间t的离散信号. 简单来说这种系统叫 采样离散控制系统, 其一般结构可由下图简单表示: r(t) G(s) y(t) H (s) ( ) * e(t) e t b(t) S 图中, S是采样开关, 它以周期T开闭一次. 当连续信号e(t)经过 采样开关S后, 得到一时间t的离散信号 ( ) * e t . 上图中的其它信号 都是时间t的连续信号. 于是定义:在系统中只要有一处的信号是 时间t的离散信号, 即为时间t的断续函数时, 此系统就叫采样离 散系统, 简称离散系统. 由于离散系统比连续系统多了采样开关, 在系统中出现了离 散信号等特点, 给对系统的研究带来一些新问题. 下面先从研究
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散 系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统 的思路与方法 72信号的采样与保持 721采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零 且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为 理想采样开关.如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单 位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列δ(),见下图: 0 上图中 2T 6()=0(1)+6(t-m)+(t-27)+…+(t-nm)+…=∑o6(t-n)
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手, 逐一介绍离散 系统的一些基本概念, 所采用的数学工具及分析和设计离散系统 的思路与方法. 7.2 信号的采样与保持 7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开, 即闭合的时间等于零 且闭合时的接通电阻为零, 打开时的断开电阻无穷大, 则称其为 理想采样开关. 如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单 位阶跃信号, 则其输出为一单位脉冲序列 (t) T , 见下图: 1 0 t e(t) (t) T t 0 1 T 2 T nT T S 上图中 0 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) n T t t t T t T t nT t nT
如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t),且当←<0时,e(t)=0, 则理想采样开关的输出如下图所示: e( e(O)4 S 0 2T T 上图中 e(t)=e()6()=e(0)6(1)+e()6(t-T)+e(27)6(t-27)+…e(n1)6(t-nT)+ ∑e(n)o(t-n7) e(t)叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为: E()=le(o)=L(0)()+()(t-7)+…+tn)(-m)+ e(0)+e()e+…+e(n1)e"+…=∑e(nD)em(2)
如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t), 且当t<0时, e(t)=0, 则理想采样开关的输出如下图所示: T S 0 t e(t) ( ) * e t t 0 e(0) T 2 T nT e(T) e(2T) e(nT) 上图中 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) ( ) 0 * n T e nT t nT e t e t t e t e T t T e T t T e nT t nT ( ) * e t 叫调幅脉冲序列, 其拉氏变换式为: 0 * * (0) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n Ts nTs nTs e e T e e nT e e nT e E s Le t Le t e T t T e nT t nT
对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的 单位脉冲序列可展开成下面级数: 6(1)=∑(t-nT)=∑C,e Most Most (3) n=-00 n三-00 式(3)中:O=2m=2/7叫采样角频率,=1T叫采样频率.将式 (3代入式(1)得: e(t)=∑e(mn7)(t-nT)=∑e()6(t-n7)=n∑e()em(4) n=-00 n=-00 对式(4)进行拉氏变换: L[e()=E(s)∴E'(s)=∑E(s-mo,) n=-00 令式(5)中的=0得e(t)的频谱表达式 E(10)=∑E(a-no, 式(2)和式(5是e(t)的两种不同形式的拉氏变换表达式
对离散信号也可进行频谱分析, 由付立叶级数的定义, 周期性的 单位脉冲序列可展开成下面级数: (3) 1 ( ) ( ) n jn t n jn t n n T s s e T t t nT C e 式(3)中: s 2 f s 2 T 叫采样角频率, f s 1T 叫采样频率. 将式 (3)代入式(1)得: ( ) (4) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * n jn t n n s e t e T e t e nT t nT e t t nT 对式(4)进行拉氏变换: n s E s jn T L e t E s E s ( ) (5) 1 ( ) ( ) ( ) * 令式(5)中的 s j得 n s E j n T E j ( ) (6) 1 ( ) * ( ) * e t 的频谱表达式: 式(2)和式(5)是 ( ) * e t 的两种不同形式的拉氏变换表达式
式(2)中的E(s)与e(中的e(mT)建立了联系,而式5变成式(6 后式(6中的E'(j0)是e'(1)的频谱,并可证明E'(jo)是O,的 周期函数前已交代过采样前的连续信号e(t)的拉氏变换式为E(s) 其频谱表达式为E(1D),因此式6)中的E'(j)与采样前的连续信 号的频谱建立了联系.由于E'(jo)是o的周期函数,所以离散信 号频谱中每隔O重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号 经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的 幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/.因此式(2)和式(6)各有 各的使用场合.式(2)和式(5)虽都是无穷级数,但通常可将式(2) 写成闭合形式,而却不能将式5)写成闭合形式,下面举例说明 例:设e()=1(1),求e'(t)的拉氏变换式 解:先用式(2)求 ∵n≥0e(nT)≡1 E'(s)=∑e(mT)em=1+e+e21+…=1
式(2)中的 E * (s)与 ( ) * e t 中的e(nT )建立了联系, 而式(5)变成式(6) 后,式(6)中的 ( ) * E j 是 ( ) * e t 的频谱, 并可证明 ( ) * E j 是 s 的 周期函数. 前已交代过,采样前的连续信号e (t )的拉氏变换式为 E(s) 其频谱表达式为 E( j),因此式(6)中的 ( ) * E j 与采样前的连续信 号的频谱建立了联系. 由于 ( ) * E j 是 s的周期函数, 所以离散信 号频谱中每隔 s重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号 经过采样后的离散信号多出了许多高频分量, 且离散信号频谱的 幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T. 因此式(2)和式(6)各有 各的使用场合. 式(2)和式(5)虽都是无穷级数, 但通常可将式(2) 写成闭合形式, 而却不能将式(5)写成闭合形式, 下面举例说明 例: 设 e(t) 1(t), 求 ( ) * e t 的拉氏变换式. 解: 先用式(2)求. Ts Ts Ts n nTs e E s e nT e e e n e nT 1 1 ( ) ( ) 1 0 ( ) 1 2 0 *
再用式(5)求 E(s)=L[(t)= E'(s)=∑ E(S- JI )=∑ n=- 由上例可见,e()的拉氏变换式为,只有一个=0的极点而e(t) 的拉氏变换式为7 ,有无穷多个极点,这给分析离散系统带 e 来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要 专门介绍Z变换的原因 个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的 动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍 对系统的分析也较方便.以后讨论问题时,均以同步等周期采样 作为各个开关的动作方式
再用式(5)求. 由上例可见, n s n s T s jn E s jn T E s s E s L t 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1( ) * e(t) 的拉氏变换式为 s 1 , 只有一个s=0的极点,而 ( ) * e t 的拉氏变换式为 Ts e 1 1 , 有无穷多个极点, 这给分析离散系统带 来很多不便, 为此需给离散信号另一种变换工具, 这就是以后要 专门介绍Z变换的原因. 一个离散系统往往有多个采样开关, 各个采样开关最简单的 动作方式叫同步等周期采样方式, 这种方式在工程上用的较普遍 对系统的分析也较方便. 以后讨论问题时, 均以同步等周期采样 作为各个开关的动作方式
722信号的复现和采样定理及保持器 实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将 离散信号转换成釆样前的连续信号,如计算机控制系统中的DA 转换器就起这一作用.问题是,经采样的离散信号能否复原成 采样前的连续信号?如能,应具备什么条件,用何装置实现? 本小节就讨论这些问题 由下图可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的 e(t) 但离散信号所对应的连续信号却并不唯 O ,而有无穷多个,请见左图 图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连 ………|…… 连续信号,而经采样所得到的离散信号 727…nr…是相同的,即一个离散信号可对应无穷 多个连续信号.如果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散 信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期 应小到什么程度?
7.2.2 信号的复现和采样定理及保持器 实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外, 常需将 离散信号转换成采样前的连续信号, 如计算机控制系统中的D/A 转换器就起这一作用. 问题是, 经采样的离散信号能否复原成 采样前的连续信号? 如能, 应具备什么条件, 用何装置实现? 本小节就讨论这些问题. 由下图可见, 连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的 但离散信号所对应的连续信号却并不唯 一, 而有无穷多个, 请见左图. ( ) * e t t 0 e(0) T 2 T nT e(T) e(2T) e(nT) e(t) 图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连 连续信号, 而经采样所得到的离散信号 是相同的, 即一个离散信号可对应无穷 多个连续信号. 如果采样周期足够小, 即采样点足够密, 则离散 信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号, 问题是采样周期 应小到什么程度?
香农采样定理:要由离散信号完全复现出采样前的连续信 号,必须满足:采样角频率O大于或等于两倍的采样器输入连 续信号频谱中的最高频率Om,即:O,≥2Onm 对香农.样定理举例说明,设有叫钟形波的连续信号,其 时域和幅频表达式为: e(t)=e (B>0) E(jo) 4B e 其幅频曲线如下图 B E(jo) max g…2Urmx
香农采样定理: 要由离散信号完全复现出采样前的连续信 号, 必须满足: 采样角频率 s大于或等于两倍的采样器输入连 续信号频谱中的最高频率 max , 即: max s 2 对香农采样定理举例说明, 设有叫钟形波的连续信号, 其 时域和幅频表达式为: 2 2 2 2 4 ( ) ( 0) ( ) e t e E j e t 其幅频曲线如下图: E( j) max max 0 2 max
由式(6),离散的钟形波其幅频曲线如下图: E(jo) (j) max O,/2 O 若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器F(jO) 其幅频特性表为:/F(m) o,/2 2,幅频曲线如上图,则可将 >0 钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量主频 分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的1/因此 可完全复现连续信号.如采样角频率不满足采样定理,采样后钟 形波离散幅频谱见上图绿色波形,可见,由于幅频谱各分量互相 搭接,既使釆用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号
由式(6), 离散的钟形波其幅频曲线如下图: 若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器 F(j) 其幅频特性表为: 0 2 1 2 ( ) s s F j , 幅频曲线如上图, F ( j) 钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉, 仅剩下主频分量.主频 分量的波形与连续钟形波的波形一样, 仅幅值为后者的1/T.因此 可完全复现连续信号. 如采样角频率不满足采样定理, 采样后钟 形波离散幅频谱见上图绿色波形, 则可将 可见, 由于幅频谱各分量互相 搭接, 既使采用理想带通滤波器, 也无法复现原连续信号. ( ) * E j max max 0 T 2 max s 2 s 2 s
上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用 零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似 复现连续信号,如右图所示(t)0「零阶保持器() 离散信号如下图: e(2T elt e(7)…g(37) e(0)4 e(67)……∷ S e(5t 2T 3T 4T 5T 6T 零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下 个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的 脉动序列,如上图.再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线 连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚 线表示的原连续信号,且采样周期越小,复现精度越高
上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的, 实践中常采用 零阶保持器串接在离散信号后, 对离散信号进行低通滤波以近似 e (t) h ( ) * e(t) e t S T 复现连续信号, 如右图所示: 零阶保持器 离散信号如下图: t ( ) * e t 0 e(0) T 2T e(T ) e(2T ) e(3T ) 3T e(4T ) 4T e(5T ) 5T e(6T ) 6T e(t) 零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一 个采样时刻止, 从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的 脉动序列, 如上图. 再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线 连接成上图中绿色虚线, 此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚 线表示的原连续信号, 且采样周期越小, 复现精度越高. e (t) h T 2 ) 2 ( T e t
