数字控制系统 1.定义:数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去 控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制 系统。 2.组成 (1).框图 8 AD数字计算机 DIA 保持器m被控 对象 (2).工作过程 (3).简化框图 8 数字控制器 保持器 被控C 对象
第八章 线性离散系统的分析与综合 §1 采样过程 C - r A/D 数字计算机 D/A 被控 T 对象 0 保持器 m 数字控制器 被控 - 对象 r T0 保持器 m C 一.数字控制系统 1.定义： 2.组成： (1).框图 (2).工作过程 (3).简化框图 数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去 控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制 系统
二..样过程 1.基本概念 (1).采样周期:采样开关经一定时间重复闭合,每次闭合时间为 h,h<T,T称为采样周期 (2).采样频率:采样周期的倒数f= (3)采样角频率:a,=2rads (4).采样脉冲序列:连续时间函数经样形采样后变成重复 周期为的时间序列称采样脉冲序列 4T05T6T 该脉冲序列在时间上是离 2T03T 散的在幅值上是连续的属离 散模拟信号用;表示 (5).采样过程:将连续时间函数经过淋开关的采样而变成脉中 序列的过程称为采样过程
, , 散模拟信号用 * 表 示 散 的 在幅值上是连续的属 离 该脉冲序列在时间上是离 h 0 T t 0 2T03T0 4T05T06T0 ( ) * t h 二.采样过程 1.基本概念 (1).采样周期: (2).采样频率: (3)采样角频率: (4).采样脉冲序列: (5).采样过程: 称为采样周期 采样开关经一定时间 重复闭合 每次闭合时间为 0 0 0 , , , h h T T T 0 1 s T 采样周期的倒数 f = rad/s 0 2 s T = 序列的过程,称为采样过程 将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲 周期为 的时间序列,称采样脉冲序列. 连续时间函数经采样开关采样后变成重复 T
2.数学描述 (1)为了对数字控制系统进行定量的分析,需要得 到采样过程的数学表达式图(1)所示的脉冲序列可 用下式表示 oo ea(t)=∑e(mT+△t)0e(nTo)H1(t-nTo)-1(t-nTo-h)l(2) n=0 l[(t-nI0)-1(t-nT-h)-一发生在n0时刻的 单位强度脉冲(即面积为的脉冲)
1 [1(t nT ) 1(t nT h)] nT (t) (nT ) [1(t nT ) 1(t nT h)] (2) h T (t) (t) (nT t) 0 t h (1) , (1) , h 0 0 0 1 0 0 n 0 h 1 0 * h * 0 h n 0 0 * h 单位强度脉冲（即面积为的脉冲） — —发生在 时刻的 在实际中 因此 可表示为 用下式表示 到采样过程的数学表达式图 所示的脉冲序列可 为了对数字控制系统进行定量的分析需要得 − − − − = − − − − = + = = 2.数学描述 (1) (2)
(3)当h<<T且h<<T时可近似h→0,则 e(t)=∑e(mI0)6(t-mT ●● t=nT 8(t-n0= 0,t≠nTa 0 + 8(t-nto) dt=1 8(t-nT的作用在于指出脉冲存在的nT时刻, 而脉冲强度则由n时刻的连续函数ε(nT)来确定
而脉冲强度则由 时刻的连续函数 来确定 （ ）的作用在于指出脉冲存在的 时刻 （ ） ， ， （ ） （ ） （ ） 当 且 时可近似 ，则 nT (nT ) t nT nT , t nT dt 1 0 t nT t nT t nT t (nT ) t nT h T h T h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 * 0 − − = = − = = − → + − = (3)
采样定理( Shannon) 如果采样角频率大于嚼于20m,即a,≥2an,则经样得到的 脉冲序列能无失真地再灰复到原连续信号 E(o) O--连续信号频谱的上限频率 对o,≥2mm,有≥2 0≤(Tm≥2T0) O e'(a)=∑[a+n,) 二.采样周期的选取 采样周期选得越小对系统控制过程的信息解得越多控制 效果越好但周期太短将增加不必要的计算角坦;过长又有较大 的误差降低系统的动态性能甚至不稳定
§2 采样周期的选取 , , . ; , ; , , (j ) [j( n )] T (T 2T ) 2 , 2 . 2 , 2 , s * T * 1 2 m 0 T 0 T 2 T 2 m m m m m 0 m 的误差 降低系统的动态性能甚至不稳定 效果越好 但周期太短 将增加不必要的计算负担 过长又有较大 采样周期选得越小对系统控制过程的信息了解得越多控 制 对 有 连续信号频谱的上限频率 脉冲序列能无失真地再恢复到原连续信号 如果采样角频率大于或等 于 即 则经采样得到的 + =− = + − − n s s 2 0 s − − m | ( j) | 2 s n 一.采样定理(Shannon) 二.采样周期的选取
控制过程采样周期(s) 流量 压力 液面 温度 20 成分 20
控制过程 采样周期(s) 流量 1 压力 5 液面 5 20 成分 20 温度
信号保持是指将离散信号——脉冲序列转换成连 续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。 8( =8(n To )=E(n)n=0,1,2 零阶保持器( zero order holder) E(nTs +r)=E(nT) e s G1(S) 二.一阶保持器 E(nts +r)=E(nT) (nT)-[(n-1)Is] llo≤ts(n+1)
§3 信号保持 0 0 0 T ( ) [(n-1)T ] s -T s H s 0 * t n T 0 t - nT , nT ( 1) (nT ) ( ) 1- e G (S) (nT ) ( ) (t) (nT ) (nT ) n 0,1,2, s s s 0 t n T nT s nT s n T s s = + + = + = + = = = = − = t (t) H (t) 一.零阶保持器(zero order holder) 二.一阶保持器 信号保持是指将离散信号 ——脉冲序列转换成连 续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器
一.变换(Z- transforms) X()=∑X(m06(t-nT) 拉氏变换:X(S)=∑X( nTo)e 引入变量z=el,则 X(D=∑X(nTZ” X(团即为脉冲序列(t)的Z变换记为X(Z)=ZX(t) ZX()=ZX'()=X(z) (1)级数求和 由X(=∑X(mI)z",展开有 X(=X(0)+X(T0)z+X(2T)Z+…+X(nT)Z”+…(1) 如果(1)时能写成闭式则可求得变换
§4 Z变换 ( ) (1) , Z . X(Z) X(0) X(T ) (2 ) ( ) (1) X(Z) X(nT )Z , [ ( )] [ ( )] X(Z) ( ) , ( ) [ ( )] X(Z) X(nT )Z z e , : X (S) X(nT )e X (t) X(nT ) (t -nT ) 0 2 0 1 0 n 0 -n 0 * * * n 0 -n 0 T S n 0 -nT S 0 * n 0 0 0 * 0 0 如 果 时能写成闭式则可求得 变 换 由 展开有 即为脉冲序列 的 变 换 记 为 引入变量 则 拉氏变换 = + + ++ + = = = = = = = = − − − = = = = n Z X T Z X nT Z Z X t Z X t X Z X t Z X Z Z X t 一.Z变换(Z-transforms) (1) 级数求和
例1试求单位阶跃函数的/变换 解 1(D=∑lmT0)而1(n)=1 =1+Z1+Z2+…+Zn+ 若Z>1则(Z)=1-212 例2.试求取衰减的指数函数e(a>)的Z变换。 解 Ze]=∑e2z 1+eaZ-1+e-2Z-2+…+e-mz 若“z1|<1即ez<1.则Ze"]= 1-e-al0z- z-e
1 1 1 1, 1( ) 1 Z 1(Z) 1(nT )Z 1(n ) 1 1 -1 2 0 0 -n 0 − = − = = + + + + + = = − − − = Z Z Z Z Z Z Z T n n 若 则 而 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 aT -aT 1 2 2 0 1 1 1 e 1, [ ] 1 e [ ] a T a T a T a T a T n T n n a t anT n Z e Z e Z e Z Z Z e Z e Z e Z Z e e Z − − − − − − − − − − − = − − − − = − = = + + + + + = 若 即 则 例1.试求单位阶跃函数的Z变换 例2.试求取衰减的指数函数e -at(a>)的Z变换。 解: 解:
(2)部分分式法 X(t)的拉氏变换Y(S,X(S) M(S N(S) ∑ S+s i=1 而L[4s1 S =Ac,而zAc1=_4z Si oo X(Z)=∑ A12 7=2-e-S
( ) [ ] , [ ] ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 1 1 1 0 0 = − − − − + − = + − = − = = = = i S T i S T S t S t i S S i A i S S A i i i i i i i i Z e A Z X Z Z e A Z L A e Z A e N S M S X t X S X S 而 而 的拉氏变换 (2) 部分分式法