《自动控制原理》课程教学资源：第七章 非线性系统

第七章非线性系统 ,内容提要 本章就非线性系统数学模型,全面阐述了非线性系统的特点,模型的建立及分析方法。 对于描述函数法,着重强调其理论基础及应用场合,突出表现为利用描述函数法研究非 线性系统的自激振荡问题 对于相平面法,突出表现为利用相平面法分析一阶,二阶系统的动态品质过程。 本章以较丰富的例题,重点阐述了分析非线性系统的两种近似方法 二,教学目的及要求 通过学习本章,使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用 要求作到:重点内容牢固掌握与应用 难点内容认真理解与理会 自学内容掌握理想及使用方法 自学应与重点内容同样要求 四,学习方法 鉴于非线性系统分析的近似性,因此在掌握这部分内容时,应作到理论与实践结合,理 论为实践服务。着重使用方法的学习,以例题为主,作业内容补充,巩固补充,巩固基本使 用方法 五,教学安排 1,计划学时:14学时 授课 12学时 实验: 2学时 2,授课方式:讲授和自学 3,教学手段:面授,电化 4,作业 6题 §7-1基本概念 非线性模型 ⅹ---非线性环节---线性环节 组成:非线性环节+线性环节 ,分类 1,从输入输出关系上分:单值非线性 非单值非线性 2,从形状特性上分:饱和 死区 回环 继电器 饱和 三,特点:稳定性与结构,初始条件有关;响应 四,分析方法 不能用叠加原理 非线性常微分方程没有同意的求解方法,只有同意求近似解的方法 a,稳定性(时域,频域):由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断

第七章 非线性系统 一，内容提要 本章就非线性系统数学模型，全面阐述了非线性系统的特点，模型的建立及分析方法。 对于描述函数法，着重强调其理论基础及应用场合，突出表现为利用描述函数法研究非 线性系统的自激振荡问题。 对于相平面法，突出表现为利用相平面法分析一阶，二阶系统的动态品质过程。 本章以较丰富的例题，重点阐述了分析非线性系统的两种近似方法。 二，教学目的及要求 通过学习本章，使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。 要求作到：重点内容牢固掌握与应用 难点内容认真理解与理会 自学内容掌握理想及使用方法 自学应与重点内容同样要求 四，学习方法 鉴于非线性系统分析的近似性，因此在掌握这部分内容时，应作到理论与实践结合，理 论为实践服务。着重使用方法的学习，以例题为主，作业内容补充，巩固补充，巩固基本使 用方法。 五，教学安排 1， 计划学时：14 学时 授课： 12 学时 实验： 2 学时 2， 授课方式：讲授和自学 3， 教学手段：面授，电化 4， 作业： 6 题 §7-1 基本概念 一，非线性模型 ---------x-------非线性环节---------线性环节------------ 组成：非线性环节+线性环节 二，分类 1， 从输入输出关系上分：单值非线性 非单值非线性 2， 从形状特性上分：饱和 死区 回环 继电器 a,饱和 y x 三，特点：稳定性与结构，初始条件有关 ；响应 四，分析方法 不能用叠加原理 非线性常微分方程没有同意的求解方法，只有同意 求近似解的方法 a,稳定性（时域，频域）：由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断

b,时域响应:相平面法(实际限于二阶非线性系统)较精确,因高阶作用太复杂 描述函数法:近似性,高阶系统也很方便 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解,而重要关心其时域响应的性质,如:稳定 性,自激震荡等问题,决定它的稳定性范围,自激震荡的条件,震荡幅度与频率等 3,死区继电器fe) 4,饱和死区 四,滞环特性(间隙) e §72描述性函数 N(X) I(S) 描述性函数的定义 非线形元件的输入为正弦波时,将起输出的非正弦波的一次谐波(基波)与输入正 弦波的复数比,定义为给非线形环节的描述性函数 输入: 输出:)y=f( Asinwt =y0+ EX(tFAsinwt(Bksinkwt+Ckcoskwt 假设输出为对称奇函数,y0=0;只取基波分量(假设具有低通滤波特性,高次谐波忽略)

b,时域响应：相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精确，因高阶作用太复杂 描述函数法：近似性，高阶系统也很方便 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定 性，自激震荡等问题，决定它的稳定性范围，自激震荡的条件，震荡幅度与频率等。 3， 死区继电器：f(e) +m -△e △e e 4， 饱和死区 -e0 -△e e0 e +△e 四，滞环特性（间隙） f(e) +m -e0 -△e +e0 -m §7-2 描述性函数 Xr(s) X Y X0(S) 一 描述性函数的定义 非线形元件的输入为正弦波时，将起输出的非正弦波的一次谐波（基波）与输入正 弦波的复数比，定义为给非线形环节的描述性函数。 输入： 输出：) y=f(Asinwt) =y0+∑x(t)=Asinwt (Bksinkwt+Ckcoskwt) 假设输出为对称奇函数，y0=0;只取基波分量（假设具有低通滤波特性，高次谐波忽略）， X N(X) W1(S)

y(t)=Blsinwt +Cl cost=y(sinwt+c) 典型非线性特性的描述函数 X et) c1-鸟 21 (1)饱和特性的描述函数饱和特性数学表达式为 kAsin wt 0<wt<al x(1)= a1<wt<丌-a1 kAsin wt 丌-01<wt<丌 由于x(t)为单值积对称函数,故有41=0,A0=0 I r2r BI )sin wtd(wt)

则 y(t)=B1sinwt+C1coswt=y(sinwt+¢) 二．典型非线性特性的描述函数 （1）饱和特性的描述函数饱和特性数学表达式为        −     −       = wt wt wt k A wt b k A wt x t 1 1 1 0 1 sin sin ( ) 由于 x(t)为单值积对称函数，故有 A1 = 0, A0 = 0  =   2 0 1 ( )sin ( ) 1 B x t wtd wt

kAsin tsin wtd(wt)+2bsin wtd(wt) sin wtd(wt)+bcos wt2 4kA ra2 1 (1-cos 2wt)dt+-=co 2kA rwt--sin 2wt+=cosa aI sin 2a,+-, 712x-2may-ma1+小-sma 4k A-arcsin A 2AVAA k A arcsin x1=√42+B2=B 中=0 aa A AVA e(t)=Asn wt (2)死区特性描述函数 e(0=Asin wt 死区特性数学表达式为

        = = + − = + = =       = + −       = − − + −       = − − + −       = − +         +       = −       = − +       = + −       = +     1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 0 2 arcsin 1 ( ) 2 ( ) 0 arcsin 1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 arcsin 2 4 1 sin 1 sin 1 sin 2 1 arcsin 2 4 1 sin 2 cos 4 1 2 4 1 sin 2 cos 2 2 1 (1 cos 2 ) cos 2 4 1 sin ( ) cos 2 4 sin sin ( ) sin ( ) 4 1 1 1 2 1 1 1 1 A a A a A a e k A x N A x A B B A a A a A a A k A a A a A a A a A a A k A a A a A k A a A k A a wt wt k A A a wt dwt k A wtd wt b wt k A k A wt wtd wt b wtd wt B A jarctg                           e(t) = Asin wt （2）死区特性描述函数 e(t) = Asin wt 死区特性数学表达式为

0<wt< x()=k(Asin wt-a) 1<w<丌-a 丌-a1<wt<丌 x(t)为单值奇对称函数,故有4=0,4=0,=0 BI x(osn wtd (wt) 2 k(A Osin tdwr z k4( sin 2wt2)+kaos wt -kA=-a1+asin 2a1-2kacosa1 2ka N(A)= arcsin A AV (3)间隙特性的描述函数 k(Asin wt-8) z k(A-8 2 <wI <I-a1 k(Asin wt+a) 丌-a1<w<丌 x()为奇对称,但非单值A=0

       −     −   = − 0 0 ( sin ) 0 ( ) 1 1 1 1        wt wt wt x t k A wt a x(t)为单值奇对称函数，故有 A1 = 0, A0 = 0,1 = 0  =   2 0 1 ( )sin ( ) 1 B x t wtd wt       = − −       = − + −         = − + = −  2 1 1 1 2 2 2 2 arcsin 1 ( ) 2 2 sin 2 2 cos 2 2 2 1 sin 2 ) cos 4 1 2 1 ( 4 ( sin )sin 4 1 1 1 1 A a A k a a k A k a k A wt wt k a wt k A wt a wtdwt                        = − − − 2 arcsin 1 ( ) 2 2 ( ) A a A a A k a N A   （3）间隙特性的描述函数          + −   −   − −   =           k A wt wt k A wt k A wt wt x 1 1 ( sin ) 2 ( ) 2 ( sin ) 0 x(t) 为奇对称，但非单值 A0 = 0

x(o)cos wtd(wt) 2 k(Asin wt-)cos wtd(wt)+/a k(A-s)cos wtd(wt)+k(Asin wt+a)cos wtd(wt) cos 2wt-KEsin wt+k(A-s)sin wr 4 oS 2wt+ kesin wt T-a -(1-1)-KE+k(A-E)sin a,-k(A-8) (1-cos 2a1)-KEsin a kA KA 2 kE+k(A-E)(1--)-k(A-E)

 =   2 0 1 ( ) cos ( ) 1 A x t wtd wt =         − + − + +    − − 2 0 2 ( sin ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( sin ) cos ( ) 2 1            k A wt wtd wt k A wtd wt k A wt wtd wt =                 + − + − +       − − − −            1 1 cos 2 sin 4 cos 2 sin ( )sin 4 2 2 2 0 wt K wt k A wt K wt k A wt k A =             − − − − + − 1 − − + − − 1 − 1 (1 cos 2 ) sin 4 ( 1 1) ( )sin ( ) 4 2         K k A K k A k A k A =       − −       − + − − − − − + − − ) 2 ) (1 2 1 2(1 4 4 ) ( ) 2 ( )(1 2 2 2 A K A k A k A k A A k k A k A        

2KA 2ke2 ka 2ka- 2k +2ka A A 2k (-2kE+ 4ka (-1 B,=_J x()sin wtdwr 1k(Asin wt-e)sin wtwt+ K(A-e)sin wtdwr+ k(Asin wt+E)sin wtdwt I k4=m20+m4一10+2mm20 arcsin(1--)+2(1 A A A N(A)=B+A_V42+B2 arc 4 A 2+ arcsin( 1-22 4k )+2(1 AVA j-(-1)A≥E (4)继电特性描述函数x()奇对称A6=0 0< wt <a1 x(O=M a1<Wt<丌-a2 丌-a<wI<丌 A1 x(ocos wtdwt Mcos wtdt 2M (sin a2 -sin au) 2Me )

=         − − + − + − + A k A k k k A A k k k k A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2        = ) 2 ( 2 2 2 A k k    − + = ( 1 ) 4 A k    − −  =   2 0 1 ( )sin 1 B x t wtdwt =  =      − + − + +    − − 2 0 2 1 1 ( sin )sin ( )sin ( sin )sin 2            k A wt wtdwt k A wtdwt k A wt wtdwt               1 1 1 sin 2 ) cos 4 1 2 1 sin 2 cos ( )cos ( 4 1 2 1 ( 2 2 2 0 2 0 − − − + − −         k A wt − wt + k wt − k A− wt k A wt wt k wt =       + − + − ) (1− ) 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2 A A A A k A       1 2 1 1 2 1 1 1 ( ) B A arctg e A A B A A j A B N A + = + = = ( 1) 4 ) (1 ) 2 ) 2(1 2 arcsin(1 2  + −      + − + − − A A k j A A A A k          A   （4）继电特性描述函数 x(t) 奇对称 A0 = 0     −     −   =        wt M wt wt x t 2 1 2 1 0 0 0 ( )  =   2 0 1 ( ) cos 1 A x t wtdwt  − = 2 1 cos 2     M wtdwt 2 1 sin 2     − = M wt (sin sin ) 2  2 1  = − M ( 1) 2 0 = m − A Me 

BI x()sin wtdwt Msin wtdt M(cos a2 +cosa,) 2M A B N(A) 2M 2+1-(0)2+ 2Me (M-1) On2 m=1 4M N(A) 4M

 =   2 0 1 ( )sin 1 B x t wtdwt         = − + − = + =  − 0 2 0 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) 2 (cos cos ) 2 sin 2 2 1 A e A M me M M wtdwt         A A j A B N A 1 1 ( ) = + ( 1) 2 ( 1 ( ) 1 ( ) 2 0 2 0 2 0 = − + − + M − A Me j A e A me A M   m =1 0 2 1 ( ) 4 ( ) A e A M N A = −  e0 = 0 A M N A  4 ( ) =

→N(A) 2-4M N k2/ N (5)变增益特性的描述函数N(A)=N1(A)+N2(A) =M1(4)-N12(A)+N13(A)+N2(A) N1(A)=k1 A1=0,A0=0 k, Asin wt sin wtdwt

M = −1 （5）变增益特性的描述函数 ( ) ( ) ( ) N A = N1 A + N2 A = ( ) ( ) ( ) ( ) N11 A − N12 A + N13 A + N2 A 11 1 N (A) = k A1 = 0, A0 = 0 B k Asin wtsin wtdwt 1 2 0 1 =  1   2 0 2 4 0 1 ( ) 4 ( ) A Me j A e A M N A   = − −

k1Asin- tdwr k 2wt k1 k,a k N(A) e= asin wt 三非线性控制系 f)=∩ 统的描述函数分 N(A) 析(1)控制系统的 稳定性分析 COw) N(AG(w) RO +N(AGOw 特征方程为 1+N(AGOw=0 N(A) 非线性特性的负倒描述函数 比较线性系统特征方程G(o)=-1 线性系统,(-1,j0)点是判断稳定的关键点 非线性系统,判断稳定性不是点(-1,j0),而是一条线-1/N。(A/d)。 由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡,即可 利用奈奎斯稳定判据进行分析 3.判据内容: 在开环幅相平面上,G(ω)条件,最小位相,无右极点 1)若K。Gω)轨迹不包围时线性负侧特性-1/N。(A/d),则此非线性系统稳定。 2)若K。(()轨迹包围-1/N。(A/d),则非线性系统不稳定。 3)若K。G(jo)与-1/N。(A/d)相交,则在交点处,系统处于临界稳定,可能产生周 期持续震荡,这种持续震荡可以用正弦振荡来近似,其振荡的振幅和频率可以分别用交点处 1/N。(A/d)轨迹上的A值K。G(j)曲线上对应的ω值来表征

k A k A k A wt wt k A wtdwt 1 1 2 0 1 2 0 2 1 0 4 4 sin 2 4 1 2 4 1 sin 4 =       = −       = − =        e A wt x k e k A wt sin 1 1 sin = = = 1 1 ( ) k A B N A = = 三.非线性控制系 统的描述函数分 析(1)控制系统的 稳定性分析 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N A G jw N A G jw R jw C jw + = 特征方程为 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 N A G jw N A G jw = − + = 非线性特性的负倒描述函数 比较线性系统特征方程 G(jω)=–1 线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关键点。 非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线 –1∕N。（A∕d） 。 由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可 利用奈奎斯稳定判据进行分析。 3.判据内容： 在开环幅相平面上， G(jω)条件，最小位相，无右极点。 1）若 K。G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。（A∕d）,则此非线性系统稳定。 2）若 K。G(jω)轨迹包围–1∕N。（A∕d），则非线性系统不稳定。 3）若 K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周 期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处 –1∕N。（A∕d）轨迹上的 A 值 K。G(jω)曲线上对应的ω值来表征。 Im Im Im