第十五章电路方程的矩阵形式 内容提要: 本章主要介绍电路方程的矩阵形式。首先,在图的基本概念的基础上介绍了 几个重要的矩阵:关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵,并导岀用这些矩阵表示的 KCL、KL方程。然后导出回路电流(网孔电流)方程、结点电压方程、割集电 压方程和列表方程的矩阵形式。最后,简要地介绍了电路的状态方程 、典型题解析: 例15.1已知一有向图的降阶关联矩阵A,试画出它的图 400= 67 00 2001 0-1-10 000-1-101-1 40-100 解:所求的图如图15.1所示。 图15.1 例15.2图152(a)选树T(1、4、7、9),按此树做基本割集,试写出其基 本割集矩阵Qr 21 (b) 图15. 解:将图15.2(a)重画于图15.2(b)中,以1、4、7、9为树画出四个基本割集Q1、Q2、 Q3、Q4,按给定的树支顺序列出基本割集矩阵为 23568 l「10 70010 11000 110 00 0 400 0001
一、内容提要： 本章主要介绍电路方程的矩阵形式。首先，在图的基本概念的基础上介绍了 几个重要的矩阵：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵，并导出用这些矩阵表示的 KCL、KVL 方程。然后导出回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电 压方程和列表方程的矩阵形式。最后，简要地介绍了电路的状态方程。 二、典型题解析： 例 15.1 已知一有向图的降阶关联矩阵 A，试画出它的图。 例 15.2 图 15.2（a）选树 T（1、4、7、9），按此树做基本割集，试写出其基 本割集矩阵 Qf
例15.3写出图15.3(a)电路矩阵形式的节点方程(用相量)。 解:作出有向图如图153(b)所示,列写关联矩阵A和支路阻抗矩阵Z。 L 0 图15.3 R1 110010 0 0R0 0 000 000 0 A=0001-11 0 R 0 0001(joC00 000 计算支路导纳矩阵「1/R:00000 01/R2000 001/R Y=Z 000joC00 L M L 式中: jooJjoM joL. JO(L L2-M2) 计算节点导纳矩阵Y Y=AYAT L,+ RR R24 将式①、③代入式④经计算得x,=-2+M0c+4+2+2M L+M A L+M R2 R2R23△ 列写支路电流源列向量,与支路电压源列向量U,:=b0。000 U,=0,00000
例 15.3 写出图 15.3（a）电路矩阵形式的节点方程（用相量）。 解： 作出有向图如图 15.3（b）所示，列写关联矩阵 A 和支路阻抗矩阵 Z
计算节点电流源列向量,得t,=A1-AVU,-0a R1 写出节点方程YUn=l I M R1R24 R2 R JOC+L+L+2M M L+M 11L0n3 R2R34 例154网络及有向图如图154所示,选树T:{4、5、6} (1)试写出基本回路矩阵B和支路阻抗Z以及ls、Us列相量; (2)试求回路阻抗矩阵Z; (3)写出该网络回路分析法方程的矩阵形式。 图15.4 解:按图154(a)、(b)列出基本回路矩阵Br和支路阻抗矩阵Z以及ls、Us列 相量分别为: j3-10000 010112-n4 B=20100-1-1 3002000 000-j2 0 000010 600000 =b0000a}0=,00000 (2计算回路阻抗Zz,=B2BF2-|-(2+)3+4-1 j2
例 15.4 网络及有向图如图 15.4 所示，选树 T：{4、5、6}。 （1） 试写出基本回路矩阵 Bf 和支路阻抗 Z 以及 S I • 、U S • 列相量； （2） 试求回路阻抗矩阵 Zl； （3） 写出该网络回路分析法方程的矩阵形式。 解： 按图 15.4（a）、（b）列出基本回路矩阵 Bf 和支路阻抗矩阵 Z 以及 S I • 、U S • 列 相量分别为：
U3-2l (3回路方程矩阵形式为z,1=2ln 例155电路如图155(a)所示,试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩 阵形式。设电感、电容的初始条件为零 解:作出电路有向图15.5(b),选支路1、2、3为树支,对应的三个单树支割 集如图中虚线所示,树支电压U(s)、U(s)、UB3(s)就是割集电压,他们 的方向也是割集的方向。 U 图15.5 100110 由图(可以写出基本割集矩阵为Q=010 电压源和电流源列向量分别为U()=01(s)=n(s)00000 支路导纳矩阵为Y(5)=diag sO e,r er U,(s)=2, /, (s)-QY(s)U, (s) 由以上关系便得割集电压方程为 s/ (s)1「l( U12(s) +一+sC5+C6U2(5) 0 例15.6电路如图156所示,若选状态变量i、ul、u2,试建立状态方程
例 15.5 电路如图 15.5（a）所示，试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩 阵形式。设电感、电容的初始条件为零。 解： 作出电路有向图 15.5（b），选支路 1、2、3 为树支，对应的三个单树支割 集如图中虚线所示，树支电压 Ut1（s）、Ut2（s）、Ut3（s）就是割集电压，他们 的方向也是割集的方向。 例 15.6 电路如图 15.6 所示，若选状态变量 iL、uC1、uC2，试建立状态方程
图15.6 解:方程中要包含,须在电感回路中列写电压方程。选 ACBDA回路,此回 路的各段电压既无非状态变量又无第二个状态变量导数。由KVL可得 ucI+ucy 欲使另外两个方程分别包含=C和=C,须在含电容的割集上列写电流方程。对C1 来说,选节点C较好,由KCL可得c1a= 对C2,包含它的割集很多,但没有一个割集不存在非状态变量。在这种情况下,选择 中椭圆形曲线所示的割集,它只含一个非状态变量l,且无第二个状态变量导数。由KCL dr 为消除,选回路ABDA,由KVL得4g=14-c2 i=g/R=(l1-c2)R④ 将式④代入式③得C22=-4-142+1n,+41⑤ 将式①、②、⑤整理,并写成矩阵形式「d dr L 0 dr d 11 RC2」 三、习题 给定基本回路矩阵
解：方程中要包含 dt diL ，须在电感回路中列写电压方程。选 ACBDA 回路，此回 路的各段电压既无非状态变量又无第二个状态变量导数。由 KVL 可得 三、习题 1. 给定基本回路矩阵
010000 000100 000010 00000 01-1 30 01000 0 11100 000 Be 40 000 50 00-1 试写出与B相同树的基本割集矩阵Q 试作出对应的有向图。 2.电路如图15.7(a)所示,图(b)是它的有向图,设L3、L4、C3的初始条件为零,试用 运算形式列写出该电路的节点电压方程。 4 s 图15.7 3.在如图15.8所示的电路中,已知gn=2S,C1=2F,C2=1F,L1=4H,L1=3H R3=192,R6=259,1=23sin2A,试列写该网络回路方程的矩阵形式 图15.8 4.图15.9为一线性定常网络,设输入是正弦量,电路处于稳态之下。今以C1、C2 的所在支路构成一个树,求割集电压方程。 图15.9 5.试列写出图15.10所示电路的状态方程。 Y ik1 252 R, 1394, 图15.10