第一章电路模型和电路定律 、内容提要:二、典型题解析:三、习题 内容提要 本章介绍电路模型的概念电压和电流参考方向的概念吸收、发出功率的表 达式和计算方法,以及电阻、电容、电感、独立电源和受控电源等电路元件。 不同的电路元件的变量之间具有不同的约束。基尔霍夫定律是集总参数电路 的基本定律,包括电流定律和电压定律,分别对相互连接的支路电流之间和相互 连接的支路电压之间予以线性约束。这种约束与构成电路的元件性质无关 二、典型题解析 例1.1图1.5所示电路,求电压Uab 5A 20V8Q 3 Q 图1.5例1.1用图 分析自a点沿任何一条路径巡行至b点,沿途各段电路电压的代数和即得电压 Uab。这是计算电路中两点间得电压得基本的常用方法。一般,选择各段电路电 压容易计算,甚至不用计算的路径巡行
一、内容提要:二、典型题解析：三、习题 一、内容提要 本章介绍电路模型的概念,电压和电流参考方向的概念,吸收、发出功率的表 达式和计算方法，以及电阻、电容、电感、独立电源和受控电源等电路元件。 不同的电路元件的变量之间具有不同的约束。基尔霍夫定律是集总参数电路 的基本定律，包括电流定律和电压定律，分别对相互连接的支路电流之间和相互 连接的支路电压之间予以线性约束。这种约束与构成电路的元件性质无关。 二、典型题解析 例 1.1 图 1.5 所示电路，求电压 Uab 。 分析 自 a 点沿任何一条路径巡行至 b 点，沿途各段电路电压的代数和即得电压 Uab。这是计算电路中两点间得电压得基本的常用方法。一般，选择各段电路电 压容易计算，甚至不用计算的路径巡行
解设电流l1l2,l,并作封闭曲面S如图中所标。由KCL 推广可知,l2=0,13=5A;由KVL.及欧姆定律,得电流 2 电压 U=811+212+2-3l:= 8×1+2×0+2-3×5=-5V 评注]计算电路中的电压并不常用电压定义式,而更多的是用KCLKⅥL和欧姆 定律。先计算出巡行路径上的电流或各段电路上的电压,然后,按本题“分析”中所述的方 法把各段电路电压代数和相加即得所求电压 例1.2一确定电路,若如图16(a)所示所设电流I的参考方向,选b点位参考 点,试计算电流I;电位Va,Vb,Vc:电压U面,Ub。若再如图16(b)所示所 设电流I的参考方向,选c点位参考点,再计算电流I;电位Va,Vb,Vc:电压 Uab, Ubc 10V (a) 图1.6例1.2用图 分析本问题由欧姆定律及KVL很容易计算得结果,但通过计算所要表述的有 关电流、电位、电压探层次的概念是重要的。 解在图16(a所示电路中,按顺时针巡行方向列KVL方程,有:
[评注] 计算电路中的电压并不常用电压定义式 dq dw u = ，而更多的是用 KCL,KVL 和欧姆 定律。先计算出巡行路径上的电流或各段电路上的电压，然后，按本题“分析”中所述的方 法把各段电路电压代数和相加即得所求电压。 例 1.2 一确定电路，若如图 1.6（a）所示所设电流 I 的参考方向，选 b 点位参考 点，试计算电流 I；电位 Va，Vb，Vc；电压 Uab，Ubc。若再如图 1.6（b）所示所 设电流 I 的参考方向，选 c 点位参考点，再计算电流 I；电位 Va，Vb，Vc；电压 Uab，Ubc。 分析 本问题由欧姆定律及 KVL 很容易计算得结果，但通过计算所要表述的有 关电流、电位、电压探层次的概念是重要的。 解 在图 1 6(a)所示电路中，按顺时针巡行方向列 KVL 方程，有：
21+3I+5I-10=0 所以 根据电位的定义并应用欧姆定律,显然可求得 V,=2=2×1=2V V;=0 V.=-3I=-3×l=-3V 应用电压即是电位差概念,得 0=2V Ch=V-V=0-(-3)=3V 在图1.6(b)所示电路中,按逆时针巡行方向列KV1方程,有 10+5+3/+21=0 所以 电位 2-3 V;=-3l=-3(-1)=3V 电压 Us=V.-Vb=5-3=2V Uk=V-V=3-0=3V 评注]通过本问题的具体计算,就电流,电位、电压概念可以归纳出带有共性(对一般电 路也适用)的几点结论: (1)电路中电流数值的正与负与参考方向密切相关,参考方向设的不同,计算结果仅差 负号。 2)电路巾各电电位数值随所选参考点的不同而改变,若参考点一经选定,那么各点的 电位数值就是惟一的,这就是电位的相对性与单一存在性 (3)电路中任意两点之间的电压数值与参考点选在何处无关。 例1.3图1.7所示电路,求电流源Is产生的功率Ps
[评注] 通过本问题的具体计算，就电流，电位、电压概念可以归纳出带有共性(对一般电 路也适用)的几点结论： (1)电路中电流数值的正与负与参考方向密切相关，参考方向设的不同，计算结果仅差 一负号。 (2)电路巾各电电位数值随所选参考点的不同而改变，若参考点一经选定，那么各点的 电位数值就是惟一的，这就是电位的相对性与单一存在性。 (3)电路中任意两点之间的电压数值与参考点选在何处无关。 例 1.3 图 1.7 所示电路，求电流源 IS 产生的功率 PS
分析求一段电路 09 吸收或产生的功率一般也 不用式(1.4)功率定义式30 10:-- 求,而常用式(1.5)或式 ①3V (1.6)求。对电流源1。两 60V 端设电压U,设法求得U, 套用式(1.6b)即求得s 图1.7例1.3用图 产生的功率P 解选择图中虚线所示路径巡行,得 U=5×10-30=201 因U与s参考方向对电流源两端是非关联的,所以由式(1.6b)可 得电流源1产生功率 P、=U=20×5=100W 评注独立电流源不是理想电流表,不能想当然的把独立电流源两端的电压当作零。对 电流源两端的电压的参考方向亦可设成与图中所标参考方向相反,那样,求得的电压值为负 值,就要套用电压、电流参考方向关联情况产生功率的公式,求得其产生的功率也是100W 例1.4图18所示电路,已知1A电流源吸收功率为1W,求电阻R。 1.8例1.4用图 分析先设出本问题所需要的电流、电压参考方向如图中所标。因u参考方向 与1A电流流向对电流源两端参考方向关联,又知A电流源吸收功率力1W,所 以由式(1.5a)可算得U 再作封闭曲面S,出KCL推广算得I1:再应用KVL,KCL计算出UR,IR,从 而算得R。 解 l1=2+2=4A lk=l1+1=4+1=5A 7-1×1-1=5V 应用欧姆定律,得 R
[评注] 独立电流源不是理想电流表，不能想当然的把独立电流源两端的电压当作零。对 电流源两端的电压的参考方向亦可设成与图中所标参考方向相反，那样，求得的电压值为负 值，就要套用电压、电流参考方向关联情况产生功率的公式，求得其产生的功率也是 100W。 例 1.4 图 1.8 所示电路，已知 1 A 电流源吸收功率为 1 W，求电阻 R 。 分析 先设出本问题所需要的电流、电压参考方向如图中所标。因 u 参考方向 与 l A 电流流向对电流源两端参考方向关联，又知 l A 电流源吸收功率力 1W，所 以由式(1.5a)可算得 U。 再作封闭曲面 S，出 KCL 推广算得 I1；再应用 KVL，KCL 计算出 UR, IR，从 而算得 R
评注]本问题的目的就是捡验学习者对功率的概言,KCL,KVL及欧姆定律掌握的情况 若概念清楚,分析透彻,真正的计算过程则是非常简便的 例15图1.9所示电路,已知I=03A,求电阻R。 分析设a,b,c,d点及 20Q 各电流参考方向如图中所示。 由已知电流1,反复应用 KVL,KCL,逐次求得U 1501r20 U,1,l2,Uk,U。,I,l4,12 20Q Ua;最后,再次应用OL,由求 得的Ua,l求出所求的电 阻R 图1.9例1.5用图 ls=201 20×0.3 12-6=6 1515 =0.4A l2=1-=0.4-0.3=0.1A U=20l2=20×0.1=2V U=Uh+U U 8 0,4A l4=12+13=0.1+0.4=0.5A U+12 8+12=4V 故得 R 8 评注]本问题属“逆”问题。所谓“逆”问题,就是已知电路结构,大多数元件值(个 别元件值未知)、电路中某个响应(电流或电压)值,求未知元件值的问题。这样的问题,采 用“逆推法”求解即由已知的响应入手,反复应用OL,KVL,KCL逐次求出相关的电流, 电压,再求得未知元件值是最为简便的。 例1.6图1.10所示电路,求电压Uab
[评注] 本问题的目的就是捡验学习者对功率的概言，KCL，KVL 及欧姆定律掌握的情况。 若概念清楚，分析透彻，真正的计算过程则是非常简便的。 例 1.5 图 1.9 所示电路，已知 I＝0.3 A，求电阻 R 。 [评注] 本问题属“逆”问题。所谓“逆”问题，就是已知电路结构，大多数元件值（个 别元件值未知）、电路中某个响应(电流或电压)值，求未知元件值的问题。这样的问题，采 用“逆推法”求解即由已知的响应入手，反复应用 OL，KVL，KCL 逐次求出相关的电流， 电压，再求得未知元件值是最为简便的。 例 1.6 图 1.10 所示电路，求电压 Uab
分析该问题中含有一电 压控制的电流源,回路中的电流 就是2U1,应用O1,KVL求得U1 是关键步骤。 2ue U. 解U 所以 图1.10例1.6用图 故得电压 评注在求解含有受控源的电路问题时,如果选用列写方程的方法求解,先把受控源当做 独立源一样的看待来列写基本的KVL,KCL方程,然后找出受控源的控制量与恃求量的 关系式(又称为辅助方程).联立基本方程与辅助方程解出欲求的量 例17如图1.11所示电阻电路,求网络N吸收的功率PN 10Q 60V I1=2A 图1.11例 分析若能求得N两端子上的电流、电压,即可求得PN。设 电流I,电压U的参考方向如图中所标。由KCL,KVL,和OL,求得I,U,从 而便求得PN。 =1+3=2+3=5A U=-15-51-10×2+60-1×5= 15-5×5-10×2+60-5=-5V 因U,1参考方向对N两端属参考方向关联,所以N吸收的功率 PN=UI=(-5)×5=-25W 评注吸收一25w功率即是产生(供出)25w的功率。由此可判断网络N内部一定包含有 电源。但不能说若PN为正值,N内就不含电掠。 例1.8图1.12所示电路,求电压 4Ω 图112创1.8阳图
[评注] 在求解含有受控源的电路问题时，如果选用列写方程的方法求解，先把受控源当做 独立源一样的看待来列写基本的 KVL，KCL 方程，然后找出受控源的控制量与恃求量的 关系式（又称为辅助方程）．联立基本方程与辅助方程解出欲求的量。 例 1.7 如图 1.11 所示电阻电路，求网络 N 吸收的功率 PN。 分析 若能求得 N 两端子上的电流、电压，即可求得 PN。设 电流 I，电压 U 的参考方向如图中所标。由 KCL，KVL，和 OL，求得 I，U,从 而便求得 PN。 [评注] 吸收一 25w 功率即是产生(供出)25w 的功率。由此可判断网络 N 内部一定包含有 电源。但不能说若 PN 为正值，N 内就不含电掠。 例 1.8 图 1.12 所示电路，求电压 u
分析本问题包括有电流控制的电流源,可通过列写基本方程、辅助方程联立求解 解设节点a、巡行回路A及各电流的参考方向如图中所标 对节点a、回路A分别列写基本的KC1,KVL方程为 节点 回路A 控制量i与待求量a的关系为 =2i1=2×8i=16 将这一关系代入回路A的KV1方程中,有 4 故得 评注]解这类含有受控源的电路,特别是对受控源的控制量不是待求变量的悄况,与解同 样结构的不含受控源的电路相比,需要解较多一些的联立方程。也就是说,求解过程要稍夏 繁复 例1.9图1.3(a所示电容中电流i的波形如图1.13(b)所示,已知u4(0)=0。试 分别求当t=ls,t=2s和t=4s时电容电压l I i/A 234 (a) 图1.13电容元件及其电流波形 分析已知电容的电流求电压,可利用其伏安关系的积分形式,即
分析 本问题包括有电流控制的电流源，可通过列写基本方程、辅助方程联立求解。 [评注] 解这类含有受控源的电路，特别是对受控源的控制量不是待求变量的悄况，与解同 样结构的不含受控源的电路相比，需要解较多一些的联立方程。也就是说，求解过程要稍夏 繁复。 例 1.9 图 1.13(a)所示电容中电流 i 的波形如图 1.13(b)所示，已知 uc (0)＝0。试 分别求当 t＝ls，t＝2s 和 t＝4s 时电容电压 uc 。 分析 已知电容的电流求电压，可利用其伏安关系的积分形式，即：
uc(t)=uc(,)+ C)i(r)dr 解由i的波形图写出其表达式 ()=/5A 02 银据电容的伏安关系式,令t6=0,且mc(0)=0,则有 e(1)=xc(0)+-i(r)dr= n:(2)=u1()+r(rr=5ar=5V c(4)=ac(0)+ c)i(r)dr 5rt+2(-10)dr=5-10=-5 或根据电容的伏安关系式,令t0=2,且uc(2)=5,有 5+2(-10)d=5-10=-5y 评注]注意分段函数积分的下限取值 例110 如图1.14所示电路,已知电阻端电压 e1)V,t≥0,求t≥0时的电压a 分析图示电路为RL.串联电 0.5H 路,流过两个元件上的电流相同,先由 电阻电压R求出电流i,然后由KVL 和元件VAR求电压a 解由欧姆定律,有 i==(1-e)A 图1.14例1.10电路 利用电感的伏安关系,得 根据KVL,得 评注】对元件串联,应首先设法求它们的公共电流i。 例1l图115所示电路中,已知电压u=(5+22)v,1≥0;1=(+2e2)A
( ) ( ) ( ) = + = = 2 0 2 0 5 5 2 1 1 2 0 i d d c uc uc V [评注] 注意分段函数积分的下限取值。 例 1.10 [评注] 对元件串联，应首先设法求它们的公共电流 i 。 例 1.11 图 1.15 所示电路中，已知电压 ( ) t u e 2 5 2 − = + V，t 0 ； ( ) t i e 2 1 2 − = + A
图1.15例1.11电路 t≥0。求电阻R和电容C 分析电阻R和电容C是并联的,故两者上的电压相同。根据电路和已知条件 首先求其电压,然后写出电阻R和电容C上的电流表达式,两者之和等于总电 流i,比较系数确定电阻R和电容C 解:由电路图,根据KⅥL,有 3i MR=a-3i=5+2e-3(1+2e2)=(2-4e)V 根据KCL和元件的VAR,得 i= ig+ic +O du 将i=(1+2e2)Ak=(2-4e2)V代入上式,得 1+2ea=2 RR+8Ce 2r +(8C-4 R 比较系数,得 2=8C-4 R 解得 R=20C=0.5F 评注本题求解的关键是在求解ie和ic时将电阻R和电容C作为未知量代方程。 例112图1.16所示电路。 ①+O I510ARU-8V 12V 1 16 图1.15例1.12用图 (1)分别求Is,Us两电源产生的功率P,P、。 (2)若R=0,问(1)中所求的两功率如问变化?
t 0 。求电阻 R 和电容 C 。 分析 电阻 R 和电容 C 是并联的，故两者上的电压相同。根据电路和已知条件 首先求其电压，然后写出电阻 R 和电容 C 上的电流表达式，两者之和等于总电 流 i，比较系数确定电阻 R 和电容 C 。 解：由电路图，根据 KVL，有 uR u = 3i + 故 [评注] 本题求解的关键是在求解 iR 和 iC时将电阻 R 和电容 C 作为未知量代方程。 例 1.12 图 1.16 所示电路。 (1)分别求 IS，US 两电源产生的功率 S US PI , P 。 (2)若 R＝0，问(1)中所求的两功率如问变化? 1.16
分析独立电流源所在支路的电流就限定为该独立电流源的数值。独立电压源队 Us的数值为8V,从它正极流入们电流数值就是15A,即计算出它产牛功率P 因Us数值与15A电流数值均不随R改变,所以它产生功率也不变。设Is电流源 两端电压U及R支路电流I参考方向,由 KCL KVL可算得I,U进而算出Is电 流源产生的功率P。因U随R的数值改变而改变,所以当R=0时P也要变化 解(1)因Us所标极性与流经它的15A电流的流向对Us 电压源两端属参考方向关联,所以 Pu,=-U5×15=-8×15=-120W 由KCL,得 =15-10=5A 再根据KVL,得 U=-21+12+6=-2×5+12+6=8V 因U与Ⅰs对电流源ls两端属参考方向非关联,所以I电流源产生 的功率 P1.=Uls=8×10 (2)当R=0时,Us与流经它的电流均不发生变化,所以它产 生的功率仍为-120W,不变化。 而当R=0时,电流源Is两端电压 U=-0×5+12+6=18V 所以这时它产生的功率为 P1.=U×ls=18×10=18 评注]Us电压源产生120w功率即是它吸收120w功率。Us电压源处于被充电状态 这时的Us电压源已成为其他产生功率电源的“负载 、习题 1.图1.17所示电路.已知i1=1A,求as.+ 2.图1.18所示电路试求 1Ω (1)开关S置1时的电压a: 1Q 2)开关S置2时的电流t 3.图1.19所示电路,求R上吸收功率P 4.图1.20所示电路,求电压U 图1.17习题1.电路 5.在图1,21(n)所示电路中,6电阻上的电压波形如图1.21(b) 所示,(1)求R上吸收瞬时功率的表达式并画出图形 (2)求从:=0到t=3s区间R上耗能Wn
分析 独立电流源所在支路的电流就限定为该独立电流源的数值。独立电压源队 US 的数值为 8V，从它正极流入们电流数值就是 15A，即计算出它产牛功率 US P 。 因 US 数值与 15A 电流数值均不随 R 改变，所以它产生功率也不变。设 IS 电流源 两端电压 U 及 R 支路电流 I 参考方向，由 KCL,KVL 可算得 I，U 进而算出 IS 电 流源产生的功率 S PI 。因 U 随 R 的数值改变而改变，所以当 R＝0 时 S PI 也要变化。 [评注] US 电压源产生-120 w 功率即是它吸收 120 w 功率。US 电压源处于被充电状态， 这时的 US 电压源已成为其他产生功率电源的“负载”。 三、习题
