第三章电阻电路的一般分析 、内容提要 本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括:电路图论的初步概念, 支路电流法,网孔法,回路法和结点法。通过本章的学习,要求蕙用手写法列出 电路方程。 二、典型题解析: 例3.1图3.1所示电路,求电压ua 分析这个电路看似复杂,支路数较多,又包含有受控源,但仔细观察该电路的 结构,将短路线压缩,它实际上只有两个节点,选用节点法分析简便。 解:设参考点(接地点)及a点如图中所标。显然a点电位va即是u。先把受控电 流源视为独立电流源参加列写节点基本方程(套用节点方程通式所列方程)为 8246 再将受控源中的控制量ⅱ用所求量u表示,应用OL,有 =-l 故有 =12V 24 图3.1例3.1用图 评注]对于同一个问题可能有多种方法都可以求解。若选择方法合适,非常简便快捷地 就求出了结果。若选择方法不当,即使概念是正确的,该方法的应用也无误,但会费时、费 力,,要经繁琐的过程计算才能得到结果。所以,根据具体的电路结构能够选择一种合适的 方法求解,成了读者解题速度是否快捷的关键。 例3.2图32所示电路,求电压Uc
一、内容提要： 本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括：电路图论的初步概念， 支路电流法，网孔法，回路法和结点法。通过本章的学习，要求蕙用手写法列出 电路方程。 二、典型题解析： 例 3.1 图 3.1 所示电路，求电压 u。 分析 这个电路看似复杂，支路数较多，又包含有受控源，但仔细观察该电路的 结构，将短路线压缩，它实际上只有两个节点，选用节点法分析简便。 解： 设参考点(接地点)及 a 点如图中所标。显然 a 点电位 va 即是 u。先把受控电 流源视为独立电流源参加列写节点基本方程(套用节点方程通式所列方程)为 4 4 1 6 1 24 1 8 1 u = − + i + + 再将受控源中的控制量 i1 用所求量 u 表示，应用 OL，有 i u 6 1 1 = 故有 4 3 1 u = u＝12V [评注] 对于同一个问题可能有多种方法都可以求解。若选择方法合适，非常简便快捷地 就求出了结果。若选择方法不当，即使概念是正确的，该方法的应用也无误，但会费时、费 力，．要经繁琐的过程计算才能得到结果。所以，根据具体的电路结构能够选择一种合适的 方法求解，成了读者解题速度是否快捷的关键。 例 3.2 图 3.2 所示电路，求电压 Uoc
2A129 4Ω 图3.2例3.2用图 分析这个电路有两个网孔,其中一个网孔的电流又已知,所以选择网孔法求解 本问题简便。 解设网孔电流I,I2如同中所标。显然 2A 根据网孔方程通式写网孔2方程为 16I2+12×2=40 解上式,得 所以 Uc=-4I2+6I=4×1+6×2=8V 评注]这个电路还可以用节点法求解或电源互换等效求解。读者可自行练习作比较。 例3.3图3.3所示电路,电压表看做理想电压表,问电压表的读数为多少?并 标出直流电压友的正、负极 分析因电压表是理想的,其内阻为∞,相当于开路。理想电压表的读数即是a, b点间真实的电压大小。根据求得的电压Uab是正值或负佰来判别直流电压表的 止极、负极。 509 ①6ov 10g 图3.3例3.3用图 解自a,b断开电压表,设三个网孔电流分别为I1,In,Im,如图中所标 观察电路,分别求自电阻、互电阻、等效电压源,代入网孔方程通式,写得方程 为 l001-20l-30lm=0 2011+341n-4ln=-20 301-4ln+39ln=-20 化简式(3.3)得
分析 这个电路有两个网孔，其中一个网孔的电流又已知，所以选择网孔法求解 本问题简便。 解 设网孔电流 I1，I2 如同中所标。显然 I1＝2A 根据网孔方程通式写网孔 2 方程为 16 I2+12×2＝40 解上式，得 I2＝1A 所以 Uoc＝-4 I2+6 I1＝-4×1＋6×2＝8V [评注] 这个电路还可以用节点法求解或电源互换等效求解。读者可自行练习作比较。 例 3.3 图 3.3 所示电路，电压表看做理想电压表，问电压表的读数为多少？并 标出直流电压友的正、负极。 分析 因电压表是理想的，其内阻为∞，相当于开路。理想电压表的读数即是 a， b 点间真实的电压大小。根据求得的电压 Uab 是正值或负佰来判别直流电压表的 止极、负极。 解 自 a，b 断开电压表，设三个网孔电流分别为 IⅠ，IⅡ，IⅢ，如图中所标。 观察电路，分别求自电阻、互电阻、等效电压源，代入网孔方程通式，写得方程 为 化简式（3.3）得
l01-2ln-3ln=0 -1011+17ln-2ln=-10 (3.4) 30/1-4l+39l 解式(34)有 101 2|=400 30-439 0 3 20-439 故得 2000 △4000 0.5A 根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数和关系,显然 I=I1=0.5A 所以电压 Uab=50I1+60=50×(-0.5)+60=35V 可判断接a点的电压表端子为正极,接b点的为负极。 评注]设网孔电流方向为顺则针或逆时引均可以。若在一个电路中各网孔电流都设成顺 时针方向或都设成逆时针方向,那么各网孔间的互电阻都是负的,掌握这一规律对正确书写 网孔方程是有益的。若遇已标出各网孔电流方向的,且有的网孔电流是顺时针方向,有的网 孔电流是逆时针方向,读者在列写网孔方程时就要特别注意互电阻的取号。若流经两个网孔 公共支路的网孔电流方向一致,则互电阻取正号,反之取负号。本问题最终结果是要求求出 电压U,所以解网孔方程时并不需要把每个网孔电流都解出。如前,我们解出I即可求 得U 例34在图34所示电路中,已知网络N吸收的功率PN=2W。求电压u 分析功率是电压平方或电流平方的函数,若巳知功率求电压或电流,就可能会 得到有意义的两个解。设电流i叁考方向和小a,b,c,d点以及接地点如图中 所标。由N吸收功率找出网络N端子上电压u与电流i的关系,应用节点法求 b+ 4V 图3.4例3.4用图
解式（3.4）有 故得 根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数和关系，显然 I1＝IⅠ＝-0.5A 所以电压 Uab＝50 I1+60＝50×（-0.5）+60＝35V 可判断接 a 点的电压表端子为正极，接 b 点的为负极。 [评注] 设网孔电流方向为顺则针或逆时引均可以。若在一个电路中各网孔电流都设成顺 时针方向或都设成逆时针方向，那么各网孔间的互电阻都是负的，掌握这一规律对正确书写 网孔方程是有益的。若遇已标出各网孔电流方向的，且有的网孔电流是顺时针方向，有的网 孔电流是逆时针方向，读者在列写网孔方程时就要特别注意互电阻的取号。若流经两个网孔 公共支路的网孔电流方向—致，则互电阻取正号，反之取负号。本问题最终结果是要求求出 电压 Uab，所以解网孔方程时并不需要把每个网孔电流都解出。 如前，我们解出 I1 即可求 得 Uab。 例 3.4 在图 3.4 所示电路中，已知网络 N 吸收的功率 PN＝2 W。求电压 u。 分析 功率是电压平方或电流平方的函数，若巳知功率求电压或电流，就可能会 得到有意义的两个解。设电流 i 叁考方向和小 a，b，c，d 点以及接地点如图中 所标。由 N 吸收功率找出网络 N 端子上电压 u 与电流 i 的关系，应用节点法求 得 u
解因P、==2,则 由图可知 列写a点的节点方程 解得 2 又,据KC1有 2 将式(3.6)代入式(3.7)并整理得 解二次方程得有意义的两个解 评注 1V时,由式(3.5)得电流i=i =2A;当 x=3=2V时,==1A这两个解均能满足网络N吸收2W的功率 例3.5在图35所示电路中,求各支路电流及两受控源吸收的功率。 5 H()0.a2 40V 10Q042im 图3.5例3.5用图 分析本题电路中含有两个受控源:一个是电压控制电压源(VCVS),一个是电 压控制电流源(vcCS)。设置这个例子的目的之一就是让读者掌握对含有受控源 的电路如何列写网孔力程 解设各网孔电流i,im,im如图中所标。 由图可知i1=0.1
[评注] 例 3.5 在图 3.5 所示电路中，求各支路电流及两受控源吸收的功率。 分析 本题电路中含有两个受控源：一个是电压控制电压源(VCVS)，一个是电 压控制电流源(VCCS)。设置这个例子的目的之一就是让读者掌握对含有受控源 的电路如何列写网孔力程。 解 设各网孔电流 iⅠ，iⅡ，iⅢ如图中所标。 由图可知 iⅠ＝0.1u2 (3.8)
先把受控源视为独立源一样,对照网孔方程通式列写网孔Ⅱ,网孔Ⅲ的方程, 列写中若用到网孔电流则均以式(38)去代。其所列这两个网孔的基本方程为 25in-10in-5×0.la:=40 10in+Is 整理并约分化简方程组,得 5in-2im=8+0.1a 10in+15 再将受控源中的控制量用网孔电流表示即列写辅助方程为 1=10i (3.10) a2=10(in-i) (3.11) 将式(3.10)、式(3.11)代入式(3.9)并移项整理,得 (3.12) 0 解式(3.12),得 in=3A i=4A 将in,in代入式(3.11)得a2=-10V,再将2代入式(3.8)得网 孔电流 i1=0.1a2=0.1×(-10)=-1A 另设各支路电流ⅱ~j6如图中所标。根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数 和关系,求得各支路电流为 3 A n-i1=3-(-1)=4A =1-1n=-1-4=-5A 1 A 设VCVS吸收功率为P1,VCCS吸收功率为P2考虑各受拉 源两端电压、电流参考方向关联,所以 P1=ai=10i1i=10×3×(-5)=-150W P a4=512-a1=5×4-10×3=-10V 将a。代入P:表达式,可得 (-1)=10W 评注]VCVS受控源吸收-150w功率,实际上它发出(产生)150w功率。本例属于“全 面求解”的电路问题。所谓“全面求解”问题,就是题目中要求求解的量较多。对于这类问 题选用网孔法或节点法求解较简便。尽管解多元方程组费时一些,但解得网孔电流(或节点 电位)后,即可简便地求得各支路电流(或支路电压),进而求得欲求的各个功率 例3.6在图36所示电路中,求各支路电流及各理想电源(含受控源)产生的
先把受控源视为独立源一样，对照网孔方程通式列写网孔Ⅱ，网孔Ⅲ的方程， 列写中若用到网孔电流 iⅠ则均以式(3.8)去代。其所列这两个网孔的基本方程为 另设各支路电流 i1～i6 如图中所标。根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数 和关系，求得各支路电流为 [评注] VCVS 受控源吸收-150w 功率，实际上它发出（产生）150w 功率。本例属于“全 面求解”的电路问题。所谓“全面求解”问题，就是题目中要求求解的量较多。对于这类问 题选用网孔法或节点法求解较简便。尽管解多元方程组费时一些，但解得网孔电流(或节点 电位)后，即可简便地求得各支路电流(或支路电压)，进而求得欲求的各个功率。 例 3.6 在图 3.6 所示电路中，求各支路电流及各理想电源（含受控源）产生的
功率 25A IS 图3.6例3.6用图 分析观察本题电路结构特点:元件参数单位用西门子(S)标注(电导),节点3 与节点4之间含有一理想电流控制电压源。选用节点法分析方便。 解选节点4为参考点,设节点1,2,3的电位分别为V1,V2,V3。显然 3=-l1 (3.13) 对照节点方程通式,列写节点1,2的节点方程,列写中用到3,就用式(3.13) 代入 (3.14) 6V2-1 8 将控制量1用节点电位表示,由OL得 l1=-4V 将式(3.16)代入式(3.14)、式(3.15)并整理得 5.5V (3.17) 解式(3.17)联立方程组得 V:=-2 3 V 将V1代人式(3.16),得 l1=8A 将l1代入式(3.13),得 V 8 设各支路电流参考方向如图中所标。显然 l=3(V1-Vx)=3×[-2-(-1)]=-3A l=1(V-V2)=1×[(-1)-(-3)]=2A
功率。 分析 观察本题电路结构特点：元件参数单位用西门子（S）标注(电导)，节点 3 与节点 4 之间含有一理想电流控制电压源。选用节点法分析方便。 解 选节点 4 为参考点，设节点 1，2，3 的电位分别为 V1，V2，V3。显然 3 1 8 1 V = − I （3.13） 对照节点方程通式，列写节点 1，2 的节点方程，列写中用到 V3，就用式（3.13） 代入
1:=3+1-14=3+(-3)-2=-2A l=-5V:=-5×(-3)=15A 根据流经各电源电流方向及各电源两端电压极性,可分别计 算各电源产生的功率。8A电流源产生功率为 (V:-V1)+8 [(-3)-(-2)1]+8=7V 可得 3A电流源产生功率为 P=3U=3(V-V1)=3[(-1)-(-2)]=3W 25A电流源产生功率为 P V:×25=-(-3)×25=75W 受控源产生功率为 V,I 2 W 「评注]自电导G1等于连接节点1的各支路电导之和。写Gn时需要特别注意:12S与6S 串联支路的电导 4S,而非12+6=18S:1S与8A串联支路的支路电导是零,而非 S。因为,理想电流源可看做是内阻无穷大的电阻。无论与理想电流源串联多大的电导(或 电阻),该支路的支路电导都为零。本电路选节点“4”或节点“3”作参考点用节点法分析 比选其他节点作参考点时简便 例37在图37a所示电路中,求电阻R上消耗的功率PR。 4 2 15 15V 图3.7例3.7用图 分析本题并不需要求出所有支路电流,为求得R上L消耗的功率,只须求出R 上电流即可。如果按图3.7a所示设网孔电流,则须解出i,如两个网孔电流才 能求得R上的电流,即iR=i1-im。若对电跻作扭动伸缩变形,由图3.7(a)变换为
[评注] 自电导 G11 等于连接节点 l 的各支路电导之和。写 G11 时需要特别注意：12S 与 6S 串联支路的电导 4S 12 6 12 6 = + ，而非 12+6=18S；1S 与 8A 串联支路的支路电导是零，而非 1S。因为，理想电流源可看做是内阻无穷大的电阻。无论与理想电流源串联多大的电导(或 电阻)，该支路的支路电导都为零。本电路选节点“4”或节点“3”作参考点用节点法分析 比选其他节点作参考点时简便。 例 3.7 在图 3.7(a)所示电路中，求电阻 R 上消耗的功率 PR。 分析 本题并不需要求出所有支路电流，为求得 R 上 L 消耗的功率，只须求出 R 上电流即可。如果按图 3.7(a)所示设网孔电流，则须解出 iⅠ，iⅢ两个网孔电流才 能求得 R 上的电流，即 iR＝iⅠ-iⅢ。若对电跻作扭动伸缩变形，由图 3.7(a)变换为
图37(b)(注意节点2,4的变化),则按图37b所示设网孔电流i1,im,m,使 所求支路电流恰为网孔Ⅲ的网孔电流 解对图3.7(b)所示电路列写网孔方程为 3in-im=19 3i1+9i i1-3i1+6im=5 化简式(3.18),得 6i1-3in-in=19 it+ 3i-i= (3.19) i1-3in+6im=5 由式(3.19)求得 6-3-1 319 3-3|=126 所以 「评注]变行改画电路的目的很明确,是为了少求出一个网孔电流(少展开一个三阶行列 式)使计算简单。而若使用一般的回路法求解就可不改画电路,只需选择独立回路时使R 所在支路单独属于某一独立回路,即可列写出与式(3.18)同解的方程组。独立回路选取的方 法是,如果不选树确定树支、连支的话,则可这样简便地选取,即使所选回路都包含一条其 他回路所没有的新支路。如图3.7a)所示将第一网孔电流改为如虚线所示的独立回路,·其 他两网孔电流仍作为独立回路电流,可列写回路方程为 61+3ig+t=19 (3.20) 解该方程组同样可得=2A.Pa=8W 例3.8图38所示电路,求电压U及电流I
图 3.7(b) (注意节点 2，4 的变化)，则按图 3.7(b)所示设网孔电流 iⅠ，iⅡ，iⅢ，使 所求支路电流 iR 恰为网孔Ⅲ的网孔电流。 [评注] 变行改画电路的目的很明确，是为了少求出一个网孔电流（少展开一个三阶行列 式）使计算简单。而若使用一般的回路法求解就可不改画电路，只需选择独立回路时使 R 所在支路单独属于某一独立回路，即可列写出与式(3.18)同解的方程组。独立回路选取的方 法是，如果不选树确定树支、连支的话，则可这样简便地选取，即使所选回路都包含一条其 他回路所没有的新支路。如图 3.7(a)所示将第一网孔电流改为如虚线所示的独立回路，·其 他两网孔电流仍作为独立回路电流，可列写回路方程为 例 3.8 图 3.8 所示电路，求电压 U 及电流 I
3 U2S 3A 5S U2S 3 图3.8例3.8用图 分析根据本电路的特点,选节点4(或节点1)作参考点,应用节点法求解方 便 解设节点1.2,3的电位分别为V1·V:V,显然 V:=10V 成了已知量,套用节点方程通式列写节点2,3的节点方程,列写中 用到V1,就用10V代入。 V:-2V-2×10=153 2V2+11V-7×10=-13-2-3t 移项整理该方程组,得 4V:-2V=35+3U (3.21) 2V2+11V=57-2|-3U (3.22) 再将受控源的控制量1,U用节点电位表示,即有辅助方程 =2(V:-V1)=2(V:-10) (3.23) (3.24) 把式(3.23),式(3.24)代入式(3.21),式(3.22)并整理得 V:+V,=20 (3.25) 5V2+8V=112 解式(3.25)得 6 V 1 V 将V2代入式(3.23),得 =2(16-10)=12A 将V2,V代入式(3.24),得 评注因节点1,4间接有10V理想电压源支路,若原电路未标定参考点,解题者就可自 由选参考点,这时选理想电压源所连的两个节点之一作参考点,所列联立方程数少,求解过 程简单,如本例的求解。 本例电路,若原已标定节点3为参考点(解题者不要另选参考点),那么在列写节点1 2,4节点方程时必须对10ⅴ理想电压源支路设电流Ix,把10V电压源支路看作电流源Ix支 路参加节点基本方程的列写。除需要列写控制量用节点表示的辅助方程外,还需要增加一个 联系节点1、节点4间电位关系的一个辅助方程。以节点3为参考点所列方程组为
分析 根据本电路的特点，选节点 4（或节点 1）作参考点，应用节点法求解方 便。 [评注] 因节点 1，4 间接有 10V 理想电压源支路，若原电路未标定参考点，解题者就可自 由选参考点，这时选理想电压源所连的两个节点之一作参考点，所列联立方程数少，求解过 程简单，如本例的求解。 本例电路，若原已标定节点 3 为参考点（解题者不要另选参考点），那么在列写节点 1， 2，4 节点方程时必须对 10V 理想电压源支路设电流 Ix，把 10V 电压源支路看作电流源 Ix 支 路参加节点基本方程的列写。除需要列写控制量用节点表示的辅助方程外，还需要增加一个 联系节点 1、节点 4 间电位关系的一个辅助方程。以节点 3 为参考点所列方程组为
1-2(V:-V U=V:-5 需要解六元联立方程组得到I,U。 例39图39所示电路,求各支路电流。 2 图3.9例3.9用图 分析选用网孔法分析。注意,对Ⅰ,Ⅱ两网孔公共支路上的受控电流源两端设 电压,把受控电流源支路看做x电压源支路。 解设网孔电流i,in,Ⅷi如图中所标。对照网孔方程通式列写基本方程 2i1-2in=3 (3.27) (3.28 2it-in. 47 (3.29) 列写辅助方程将控制量用网孔电流表示,把受控电流源所在支路 电流用网孔电流表示。即 =2(i1 (3.30) I I (3.31) 式(3.27)加式(328),将式(3.30)代入式(3.29)、式(3.31),得 2it +2i:-3in 0 3 4i=0 解式(3.32),得网孔电流 2A 设各支路电流如图中所标。因支路电流等于流经该支路各网 孔电流的代数和,故求得各支路电流分别为 2A 72= =-2A 3A
需要解六元联立方程组得到 I，U。 例 3.9 图 3.9 所示电路，求各支路电流。 分析 选用网孔法分析。注意，对Ⅰ，Ⅱ两网孔公共支路上的受控电流源两端设 电压 ux，把受控电流源支路看做 ux 电压源支路。 解 设网孔电流 iⅠ，iⅡ，iⅢ如图中所标。对照网孔方程通式列写基本方程
