cH9正弦稳态电路的分析 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。主要內容有:阻抗 和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量 描述和应用、瞬时功率平均功率、无功功率视在功率、复功率 最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。 §9-1阻抗和导纳 教学目的:掌握复阻抗和复导纳的概念,阻抗和导纳的串并联电路。 教学重点:理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点:RLC电路的阻抗及导纳形式 教学方法:课堂讲授。 教学内容: §9-1阻抗和导纳 、一端口阻抗和导纳的定义 1.定义: (1)一端口阻抗Z:端口的电压相量U与电流相量Ⅰ之比 z==∠中=∠.-=z∠0:=R+还 (2)一端口导纳Y:端口的电流Ⅰ与电压相量U之比。 LI∠中=!∠ p=y∠6,=G+jB U U∠paU 2.阻抗、导纳的代数形式 ZR+jx R为电阻X为电抗(虚部 Y=G+JB G为电导B为电纳(虚部) 3.单个元件R、L、C的阻抗及导纳 (1)Z。=R 其电抗X1=w(感性); 其电抗X=—(容抗) (2)Y=G
CH9 正弦稳态电路的分析 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。主要内容有：阻抗 和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量 描述和应用、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率、 最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。 §9-1 阻抗和导纳 教学目的：掌握复阻抗和复导纳的概念，阻抗和导纳的串并联电路。 教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： §9-1 阻抗和导纳 一、一端口阻抗和导纳的定义 1．定义： （1）一端口阻抗 Z：端口的电压相量 . U 与电流相量 . I 之比。 （2）一端口导纳 Y：端口的电流 . I 与电压相量 . U 之比。 2．阻抗、导纳的代数形式 Z=R+jx R 为电阻 X 为电抗（虚部） Y=G+JB G 为电导 B 为电纳（虚部） 3．单个元件 R、L、C 的阻抗及导纳 （1）Z R =R Z L =jwl 其电抗 X L =wl（感性）; Z C = -j wc 1 其电抗 X C =- wc 1 （容抗） （2）Y R =G= R 1
j-,其电纳B (感纳) Y=jwc 其电纳Bc=wc(容纳) 4.RLC电路的阻抗及导纳形式 (1)RLC串联电路 Z=-=R+jwl+--=R+j(wl--)=R+jx=2Zy 虚部x即电抗为:x=x+Xc=w 1X>0即w> 称Z呈感性 ②X<0即w< 称Z呈容性 R+X w2 -arctan( R (2)RLC并联电路 +wc=n+we,)=G+Jb=∠ u R jw R 虚部B即电纳为:B=B+B=we ①B0即wc1称Y呈容性 B0即we1称Y呈容性 Py B2 Wr=arctan(-) 阻抗、导纳的串联和并联 1.n个阻抗串联:Za=Z1+Z2+…+Zn n个阻抗串联可以用一个等效阻抗等效替代如图所示。 十 图9-1阻抗串联
Y L = jwl 1 =-j wl 1 其电纳 B L =- wl 1 （感纳）； Y C =jwc 其电纳 B C =wc（容纳） 4．RLC 电路的阻抗及导纳形式 （1）RLC 串联电路： Z= . . . I U =R+jwl+ jwc 1 =R+j(wlwc 1 )=R+jx= Z Z 虚部 x 即电抗为：X= X L +X C =wlwc 1 ①X>0 即 wl> wc 1 称 Z 呈感性 ②X0 即 wc> wl 1 称 Y 呈容性 ②B<0 即 wc< wl 1 称 Y 呈容性 Y = 2 2 G + B Y =arctan( G B ) 二、阻抗、导纳的串联和并联 1．n 个阻抗串联：Z eq =Z 1 +Z 2 +……+Z n 图 9-1 阻抗串联
分压公式:U4=2Uk=1,2…n 2.n个导纳并联:Y=Y1+Y2+…+Yn n个导纳并联可以用一个等效导纳等效替代如图所示。 Y1 图9-2导纳并联 分流公式:k Ⅰk=1,2,… §9-2无源一端口网络的等效电路 教学目的:学习和掌握等效电路的形式。 教学重点:理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点:RLC电路的阻抗及导纳形式 教学方法:课堂讲授。 教学内容 、等效电路的形式 2=一.=R+x x>O(感性)L= x0(容性)C= B<0(感性)L= B 二、例题 1.由端口的电压相量及电流相量的表达式确定等效电路的形式
分压公式： . U k = eq k Z Z . U k=1,2,……n 2．n 个导纳并联：Y eq =Y 1 +Y 2 +……+Y n 图 9-2 导纳并联 分流公式： . k I = eq k Y Y . I k=1,2,……n §9-2 无源一端口网络的等效电路 教学目的：学习和掌握等效电路的形式。 教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、等效电路的形式 Z= . . . I U =R+jx x>0(感性) L= w x x0（容性） C= w B B<0（感性） L= wB 1 二、例题 1．由端口的电压相量及电流相量的表达式确定等效电路的形式
[例]: 已知某无源二端网络中,已知端口电压和电流分别为:ut=10√2 cos( wt+37°V √2cos100λA试求该而端网络的输入阻抗、导纳及其等效电路。 解]: 由题可得电压和电流相量为:U=10∠37V,1=2∠0A 10∠37。 由阻抗定义:2==220=5∠37=4+39 X=3g>0,z呈感性,等效电路为一个R=492的电阻与一个感抗为X,=39的电感元件 的串联,其等效电路为LX=3=003H,由于Y G+Jb=- =0.2∠-37=0.1610.12SB=0.12S<0Y呈感性,等效电路为一个G=016S Z5∠37 的电导与一个感纳Bt=0.12S的电感元件的串联,其等效电感为 H vB1100×0.1212 2.RLC串、并、混联电路的等效电路。 (1)串联:先求阻抗Z,再求Y=一求导纳; (2)并联:先求导纳Y,再求Z= 求阻 (3)混联:视电路结构定。 例]: 求一端口的输入阻抗Z和导纳Y。 教材P2199-3(c 3.含CS一端口等效电路 例]: 求一端口的输入阻抗Z和导纳Y。 图教材P2199-4(b) [解]:由KⅤLjwI-rI-U=0 U=(wl-r)I
[例]： 已知某无源二端网络中，已知端口电压和电流分别为：u(t)=10 2 cos(wt+37 )V, I(t)=2 2 cos(100t)A.试求该而端网络的输入阻抗、导纳及其等效电路。 [解]： 由题可得电压和电流相量为： . U =10 37 V, I=2 0 A 由阻抗定义：Z= . . I U =R+jx= 2 0 10 37 =5 37 =4+j3 X=3 >0,z 呈感性，等效电路为一个 R=4 的电阻与一个感抗为 X L =3 的电感元件 的 串 联 ， 其 等 效 电 路 为 L 1 = w XL = 100 3 =0.03H, 由 于 Y= G+Jb= Z 1 = 537 1 =0.2 − 37 =0.16-j0.12S.B=-0.12S<0,Y 呈感性，等效电路为一个 G=0.16S 的 电 导 与 一 个 感 纳 B L =0.12S 的 电 感 元 件 的 串 联 ， 其 等 效 电 感 为 L 2 = wBL 1 = 100 0.12 1 = 12 1 H 2．RLC 串、并、混联电路的等效电路。 （1）串联：先求阻抗 Z，再求 Y= Z 1 求导纳； （2）并联：先求导纳 Y，再求 Z= Y 1 求阻抗； （3）混联：视电路结构定。 [例]： 求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。 教材 P219 9-3（c） 3．含 CS 一端口等效电路。 [例]： 求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。 图教材 P219 9-4（b） [解]：由 KVL:jwl . I -r . I - . U =0 . U =(jwl – r) . I Z= . . I U =jwl – r
-jwl-r jwl-r r+(wl) §9-3电路的相量图 教学目的:学习和掌握相量图的画法。 教学重点:画相量图的原则。 教学难点:图形结合求解正弦稳态电路。 教学方法:课堂讲授 教学内容 画相量图的原则 1.串联:以电流相量Ⅰ为参考量,然后根据KⅥL画出回路上各电压相量。 2.并联:以电压相量为U参考量,然后根据KCL画出回路上各电流相量。 3.混联:选取并联支路最多的电压相量为参考量,在画出其它的相量。 [例1] 教材p299-5(串联) 解]:略 [例2] 图93,已知U=100V,R2=65Q,R=209,调节触点到C,R3=4Ω时,电压表读数最小, 其最小值为30V求阻抗Z1。 I2 Un R? ZI U 图9-3例题 分析:选取总电压U为参考相量,电阻R上的电流I与总电压同相位,电阻R2通过的电流越前 (或滞后)总电压,根据这些关系,可画出电压和电流的相量图,如图b)所示。再根据相量图中的电 压和电流数值的几何关系求Z1
Y= Z 1 = jwl − r 1 = 2 2 r (wl) jwl r + − − S §9-3 电路的相量图 教学目的：学习和掌握相量图的画法。 教学重点：画相量图的原则。 教学难点：图形结合求解正弦稳态电路。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、画相量图的原则 1．串联：以电流相量 . I 为参考量，然后根据 KVL 画出回路上各电压相量。 2．并联：以电压相量为 . U 参考量，然后根据 KCL 画出回路上各电流相量。 3．混联：选取并联支路最多的电压相量为参考量，在画出其它的相量。 [例 1]： 教材 p 219 9-5（串联） [解]：略。 [例 2]： 图 9-3, 图 9-3 例题 [解]： (b)
§9-4正弦稳态电路的分析 教学目的:学习正弦稳态电路分析的相量法。 教学重点:用直流电路的方法和理论求解正弦电路。 教学难点:正弦电路戴维宁等効电路的求解。 教学方法:课堂讲授。 教学内容 正弦稳态电路分析的相量法 电阻电路中各种分析方法在正弦稳态电路中具有适应性。只需完成下面三种变化 (1)将时域电路对换成复域电路,即电路的相量模型 (2)将电阻和电导对换成阻抗和导纳 (3)将直流变量对换成相量 正弦稳态电路的回路法 用回路电流法求图9-4电路中的U 89 Q 3∠0A 10∠0v 」29 图9-4例题 三、正弦稳态电路的结点法 例 用结点电压法求图9-5所示电路的ix。 06∠0A r 89 +159 3∠0A 10∠0V 」2 U 图9-5例题 四、正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路 例]:
§9-4 正弦稳态电路的分析 教学目的：学习正弦稳态电路分析的相量法。 教学重点：用直流电路的方法和理论求解正弦电路。 教学难点：正弦电路戴维宁等效电路的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、正弦稳态电路分析的相量法 电阻电路中各种分析方法在正弦稳态电路中具有适应性。只需完成下面三种变化： ⑴ 将时域电路对换成复域电路，即电路的相量模型； ⑵ 将电阻和电导对换成阻抗和导纳； ⑶ 将直流变量对换成相量。 二、正弦稳态电路的回路法 [例]： 用回路电流法求图 9-4 电路中的 U 。 图 9-4 例题 三、正弦稳态电路的结点法 [例]： 用结点电压法求图 9-5 所示电路的 x i 。 图 9-5 例题 四、正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路 [例]：
求图9-6所示正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路 109 Ix 2ixA 0.5H 0.1 图9-6例题 59-5正弦稳态电路的功率 教学目的:学习正弦稳态电路功率的概念和计算,功率因数提高,最 大功率问题,交流参数测量 教学重点:功率的计算,功率因数提高。 教学难点:复功率,功率因数 教学方法:课堂讲授。 教学内容 基本概念 瞬时功率:p(t)=u(t)i(t) 设:u(1)=√2 Ucos( wt+v) i()=√2 I cos( wt+v) p(t)=√2Ucos(t+vn)√2Icos(wt+v,) eI cos( wt+Vu, +wt+V, )+cos(wt+Vu -wt-v )I UI cos(2 wt+2 y1)令v Ul cosy+UI cos y cos(2 wt +2Vu)+UI siny sin(2 wt +2yu) UI cosy[ 1+ cos(2 wt+2yu)+UIsiny 由于R>0 上式第一项等于零,称这一项为瞬时功率不可逆部分:第 二项为可逆部分,其值正负交替,说明能量在外施电源与一端口之间来回交换
求图 9-6 所示正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路。 图 9-6 例题 §9-5 正弦稳态电路的功率 教学目的：学习正弦稳态电路功率的概念和计算，功率因数提高，最 大功率问题，交流参数测量。 教学重点：功率的计算，功率因数提高。 教学难点：复功率，功率因数。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、基本概念 1．瞬时功率： p(t) = u(t) i(t) 设： u(t) = 2 Ucos( wt + u ) i(t) = 2 I cos( wt + i ) p(t) = 2 Ucos( wt + u ). 2 I cos( wt + i ) = 2 1 2 U 2I cos( wt + u + wt + i )+cos( wt + u - wt - i ) =UI cos( u - i )+ UI cos(2 wt +2 u - u + i ) 令 u - i = =UI cos + UI cos(2 wt +2 u - ) =UI cos + UI cos cos(2 wt +2 u )+ UI sin sin(2 wt +2 u ) =UI cos 1+ cos(2 wt +2 u ) + UI sin sin(2 wt +2 u ) 由于 R>0 2 上式第一项等于零，称这一项为瞬时功率不可逆部分；第 二项为可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源与一端口之间来回交换
Ucosφ 0 图9-7一端口网络的功率 2.平均功率:也称有功功率,代表一端口实际消耗的功率,是恒定分量,用式子表示: p=Ucosφ 号:p9+920+,+)m=ms 纯R: p=UI;纯L:y= 纯C 3.无功功率:Qvar,kvar)与瞬时功率的可逆部分有关,表示电网与动态L、C之间能量交换 的速率。用式子表示:Q= UI sin y 纯R:Q=0:纯L:Q=UI;纯C:Q=-U 4.视在功率:S(·A)(表征发电设备的容量),也称表现功率,用式子表示:S=UI S、P、Q可以用功率三角形来表示其之间关系: =arctan(=) 复功率:S(·A) S=P+jQ=UI coso +jUI sin=Ule/*=Ue/WxIe"=UI s arg S=o (1)正弦电流电路中,总的有功功率是电路各部分有功和功率之和,总的无功功率是电路 各部分无功功率之和,因此有功功率和无功功率分别守恒。 (2)复功率也守恒。设电路中有b条支路,b个支路电压相量U1、U2……Ub应满足KVL b个支路电流相量应满足KCL,其共轭复量l1'、l2……lb也必须满足KCL,由特勒定 律知∑Uklk=0,所以复功率守恒 (3)视在功率不守恒。 二、功率因数的提高
图9-7 一端口网络的功率 2．平均功率：也称有功功率，代表一端口实际消耗的功率，是恒定分量，用式子表示： p =UI cos 纯 R： =0 ， p =UI ；纯 L： =90 ， p =0；纯 C： = -90 ， p =0。 3．无功功率：Q(var,kvar)与瞬时功率的可逆部分有关，表示电网与动态 L、C 之间能量交换 的速率。用式子表示：Q= UI sin 纯 R：Q=0 ； 纯 L：Q= UI ； 纯 C：Q= -UI 。 4．视在功率：S（ V A ）（表征发电设备的容量），也称表现功率，用式子表示：S= UI S、P、Q 可以用功率三角形来表示其之间关系： S= 2 2 P + Q =arctan( P Q ) 5．复功率： S （ V A ） S =P+jQ= UI cos +j UI sin =UI e ( ) u i j − =U e u j I e i − j = . U . I S = S arg S = 注： （1）正弦电流电路中，总的有功功率是电路各部分有功和功率之和，总的无功功率是电路 各部分无功功率之和，因此有功功率和无功功率分别守恒。 （2）复功率也守恒。设电路中有 b 条支路，b 个支路电压相量 . U1 、 . U2 …… . Ub 应满足 KVL， b 个支路电流相量应满足 KCL，其共轭复量 . 1 I 、 . 2 I …… . b I 也必须满足 KCL，由特勒定 律知 = b k k k U I 1 . . =0，所以复功率守恒。 （3）视在功率不守恒。 二、功率因数的提高
P 1.功率因数:元 1=cOs COs= 2.意义:cosφ越高,电网利用率越高。P表示一端口实际消耗的功率。 (1)p= Ul cos= S cos,S一定时,cosg↑→p↑电网利用率一般在09左右 (2)I= P、U一定时,cosφ↑→1↓线路损耗大大降低 3.提高功率因数的方法 (1)引言:提高coSφ,也就是减少电源与负载之间的能量互换。由于实际上大量感性负 载的存在,功率因数一般降低,当coSq↑后,电感性负载自然所需的无功功率由谁负担? 我们自然想到时时与电感持相反性质的电容。提高功率因数,常用发方法就是与感性负载 并联一个静电容。 (2)计算C的公式:并联电容C不会影响感性负载与支路的复功率S1,因为U和l1都未 改变。但是电容的无功功率“补偿”了电感L的无功功率,减少了电源的无功功率,从而 提高了电路的功率因数。设并联电容后电路吸收的复功率为S,电容吸收的复功率因数为 Sc,电容的无功功率为Qc,原电路感性负载吸收的功率为P,电路外加电压U,频率为 v的正弦电压,见个功率因数有cosq提高到cos2,求C (3)公式推导: 设A1=Cosq1电路的无功功率Q1=Ptan1∴S1=P+jQ1 2=cosq2电路的无功功率Q2=Ptan2∴S=P+Q2 Sc=S-S=j(O2-Q=j P(tan P2 -tan p)=PC+jOc Oc=-wcu=P(tan P2-tan) tan ,tan 2) R jal 图9-8功率因数提高 例]:P=20kv,w=314d/s,U=380V,由06→0.9,求C=?
1．功率因数： = cos cos = S P =arcos( S P ) 2．意义： cos 越高，电网利用率越高。P 表示一端口实际消耗的功率。 （1） p =UI cos = S cos , S 一定时, cos p 电网利用率一般在 0.9 左右. （2） U cos P I = , P 、U 一定时， cos I 线路损耗大大降低。 3．提高功率因数的方法 （1）引言：提高 cos ，也就是减少电源与负载之间的能量互换。由于实际上大量感性负 载的存在，功率因数一般降低，当 cos 后，电感性负载自然所需的无功功率由谁负担？ 我们自然想到时时与电感持相反性质的电容。提高功率因数，常用发方法就是与 感性负载 并联一个静电容。 （2）计算 C 的公式：并联电容 C 不会影响感性负载与支路的复功率 S1 ，因为 . U 和 . 1 I 都未 改变。但是电容的无功功率“补偿”了电感 L 的无功功率，减少了电源的无功功率，从而 提高了电路的功率因数。设并联电容后电路吸收的复功率为 S ，电容吸收的复功率因数为 C S ，电容的无功功率为 QC ，原电路感性负载吸收的功率为 P ，电路外加电压 U ，频率为 w 的正弦电压，见个功率因数有 1 cos 提高到 2 cos ，求 C =？ （3）公式推导： 设 1 = 1 cos 电路的无功功率 Q1 = P 1 tan S1 = P + 1 jQ 2 = 2 cos 电路的无功功率 Q2 = P 2 tan S = P + 2 jQ C S = S - S1 = j ( Q2 - Q1 )= j P ( 2 tan - 1 tan )= PC + C jQ QC = - 2 wcu = P ( 2 tan - 1 tan ) C = 2 wu P ( 1 tan - 2 tan ) R 图 9-8 功率因数提高 [例]： P =20 kw， w =314 rad s ，U =380V， 由 0.6 → 0.9，求 C =？
解::CsP tan P -tan 2)- 314×(380)2 ( tan p - 2 F37449 u F 、最大功率传输 例] 如图5.20电路负载分三种情况如下给出,求负载功率, j10959 并比较上功率大小 141∠0 59 a.负载为59的电阻 b.负载为电阻与内阻抗配 c.负载为共轭匹配。 图99例题 a.P1=500W, b.P1=614W, c.P1=994W,所以共轭匹配负载获得功率最大,为最佳匹配 四、三表法测交流参数教材p2例9-9 五、其他例题 [例1]:已知正弦电流i=5c0(314+45)A,通过3092的电阻R,试求R消耗的平均功率。 解]:∵/ A∴P=U=12R=(=)2×30=375 [例2}:教材p239-27 [例3:教材p24928 例4:教材p279-37 §9-6谐振 教学目的:学习串联谐振和并联谐振。 教学重点:谐振的特点。 教学难点:实际的并联谐振电路。 教学方法:课堂讲授。 教学内容 、串联谐振 谐振频率 Z=R+J(XI-Xo R 图9-10串联谐振
[解]： C = 2 wu P ( 1 tan - 2 tan )= 2 3 3.14 (380) 20 10 ( 1 tan - 2 tan )=374.49 F 三、最大功率传输 [例]： 如图 5.20 电路负载分三种情况如下给出,求负载功率, 并比较上功率大小。 a. 负载为 5Ω的电阻； b. 负载为电阻与内阻抗配； c. 负载为共轭匹配。 [解]： 四、三表法测交流参数 教材 p 204 例 9-9 五、其他例题 [例 1]：已知正弦电流 i =5 cos(314 45 ) + A，通过 30 的电阻 R，试求 R 消耗的平均功率。 [解]： I = 2 m I = 2 5 A P =UI = 2 I R=( 2 5 ) 2 30=375 w [例 2]：教材 p 223 9-27 [例 3]：教材 p 224 9-28 [例 4]：教材 p 227 9-37 §9-6 谐振 教学目的：学习串联谐振和并联谐振。 教学重点：谐振的特点。 教学难点：实际的并联谐振电路。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、串联谐振 1.谐振频率: ( ) XL X C Z = R + j − 图 9-9 例题 图 9-10 串联谐振