第十四章非正弦周期电流电路的计算
第十四章 非正弦周期电流电路的计算
§14-1非正弦周期电流电路 1.非正弦周期电流的产生 定义:随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类: f(t) 1)偶函数f(t)=f(-t) 2)奇函数:f(t)=-f(-t) 3)奇谐函数 f(t)=-f(t土-) 4)偶谐函数f(t)=f(t T2
§14-1 非正弦周期电流电路 1. 非正弦周期电流的产生 定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类： 1）偶函数:f(t)=f(-t) 4）偶谐函数 2）奇函数:f(t)=-f(-t) 3）奇谐函数 ) 2 T f(t) = f(t ) 2 T f(t) = −f(t
§14-2周期函数展开为 Fourier series 1、傅立叶级数展开式: 若非正弦函数f(t)=f(tnT且满足狄氏 条件则 f()=ao+>(a, cosnQ2t +b, sin ns2t) n=1 其中: T/2 T/2 f(t)dt n f(t)cosnQ2tdt T T T/2 T/2 T/2 b,=- f()sin nS2tdt T/2
§14-2 周期函数展开为Fourier Series 1、傅立叶级数展开式： 若非正弦函数 f(t)=f(tnT),且满足狄氏 条件,则: 其中: ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = − = / 2 / 2 0 ( ) 1 T T f t dt T a − = / 2 / 2 ( )cos 2 T T n f t n tdt T a − = / 2 / 2 ( )sin 2 T T n f t n tdt T b
f(t)=ao+>(a, cosnQ2t+b, sin nS2t) =A+∑ Am cos(net+qn) n=1 其中: A a.2+b Pn=-arctan
其中: ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 2 n 2 Amn = an + b n n n a b = −arctan
讨论:f=A+∑ Am cOS(n2tq2) n=1 1)A0=a0—常量,与频率无关(直流分量、零频分量) 2) A. COs(nt!p0)正弦量,与n有关(谐波分量) 3)谐波分类: 0-a0 直流分量 Am1cos(Ωt+q1)基波分量O=g2 Am2Cos(292t+q2)二次诸波O=22 Am? cos(3 2t+(? )三次谐波O=3g高 次 谐 Acos(k2t+k)k次谐波=kg2)波
讨论： f(t) A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Ancos(nt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类： 直流分量 A cos( t ) m1 +1 A0=a0 基波分量 A cos(2 t ) m2 +2 A cos(3 t ) m3 +3 A cos(k t ) mk + k 二次谐波 三次谐波 k次谐波 高 次 谐 波 = = 2 = 3 = k
4)函数对称性与谐波的成份 f(t)=ao+2(an, cosnS2t+bn sin nQt) =A+∑ A COSI(n2t+qn) 讨论: 偶函数无奇函数分量 奇函数无偶函数分量 奇谐函数:无偶次谐波 偶谐函数:无奇次谐浪
讨论： 偶谐函数：无奇次谐波 奇谐函数：无偶次谐波 A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 奇函数:无偶函数分量 偶函数:无奇函数分量 4）函数对称性与谐波的成份 ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + =
例:图示电压中,T=2元,求u(t)傅立叶级数展开式。 u(t ue (t) 0T/2T 10 T/2T 解 =U u(t)u(t)+u(-t)0-0m 2 0(n≠=0) u(t)-u(t u(t 6 4U 2 n7 u(t)=Um+m(sin Q2t+sin 3S2t +sin 5Q2t +.. 3 5
例： 图示电压中，T=2，求u(t)傅立叶级数展开式。 0 0 Um A = a = a = 0(n 0) n n U b m n 4 = sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m 2 u(t) u( t) u (t) e + − = 2 u(t) u( t) u (t) o − − = 解：
§14-4有效值、平均值和平均功率 1、有效值定义: 若非正弦电量i(t)=i(tnT),u(t)=u(tnT)则有 效值为: (tdt U 1.1、计算: 1)按定义计算; 2)按傅立叶系数计算: t)=L+∑ L cOS(nt+qn)1 2 ∑Im2=112+∑l2 n=1 u(t)=U+∑U n=l m cos(nQ2t+Pun) U= 2 +∑ 2 0 =1
§14-4 有效值、平均值和平均功率 1、有效值定义： 若非正弦电量 i(t)=i(tnT), u(t)=u(tnT) 则有 效值为: 1.1、计算： 1）按定义计算； 2）按傅立叶系数计算： = T i t dt T I 0 2 ( ) 1 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 = = + n 1 2 mn 2 0 I 2 1 I I = = + n 1 2 mn 2 0 U 2 1 U U = = + 1 2 2 0 n n I I = = + 1 2 2 0 n U Un i(t) I I cos(n t ) i n n 1 = 0 + mn + = u(t) U U cos(n t ) u n n 1 = 0 + mn + =
例:图示电压中,T=2π,求u(t)有效值。 (t) 2U t 0T/2T 解 40 u(t=Umt-(sin Q2t +sin 3Q2t+=sin 52t +.) U=12:=么2AByx…)=2m n-=1 7n() T 或U TJ(2U 2dt =N2
例： 图示电压中，T=2，求u(t)有效值。 解： = = + 1 2 2 0 2 1 n U U Unm Um = 2 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 或 ) 7 1 5 1 3 1 (1 2 1 ) 4 ( 2 2 2 = 2 + 2 + + + m m U U sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m = 2 0 2 (2 ) 1 T Um dt T Um = 2
2、平均功率定义: 1)瞬时功率:若单口网络端口电 流和电压为: ()=10+∑√21co32+qn)+ n=1 u() P ()=U0+∑√2 U cos(mg2+qm) n=1 则瞬时功率为:p(t)=l(1)() 2)平均功率:P T p(tdt P=U0o+U1l1cos(n-1)+C22cos(92-92)+
2、平均功率定义： 1） 瞬时功率：若单口网络端口电 流和电压为： 则瞬时功率为： ( ) 2 cos( ) 1 0 i n n n i t = I + I nt + = ( ) 2 cos( ) 1 0 u n n n u t = U + U nt + = p(t) = u(t)i(t) 2）平均功率： = T p t dt T P 0 ( ) 1 P =U0 I0 +U1 I1 cos(u1 −i1 ) +U2 I2 cos(u2 −i2 ) +