cH7二阶电路 本章在一阶电路的基础上,用经典法分析二阶电路的过渡过程。 通过简单实例,阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响 应、阶跃响应和冲激响应。 教学目的:掌握二阶电路过渡过程的三种状态及判断条件。 教学重点:二阶电路的动态过程 教学难点:用经典法分析二阶电路的过渡过程。 教学方法:自学为主,课堂讲授为辅。 教学内容: 、二阶电路暂态过程方程的列写 K(t=0) 图示电路中电容原已充电至uc(0)=U0,开关 在t=0时闭合(为简单起见,设电感电流的初始值为零)。 根据KVL及元件的CR列出电路方程为 L-+ri-l=0 dt 将 代入式中求得uc满足的微分方程为 图7-1二阶电路 上述微分方程的两个初始值可求得为 (0 d 0)=-20)=0 此齐次微分方程的特征方程及特征根为 0 ± lc 齐次微分方程的通解 uc=4,ePr+deP 三种状态的判断
CH7 二阶电路 本章在一阶电路的基础上，用经典法分析二阶电路的过渡过程。 通过简单实例，阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响 应、阶跃响应和冲激响应。 教学目的：掌握二阶电路过渡过程的三种状态及判断条件。 教学重点：二阶电路的动态过程。 教学难点：用经典法分析二阶电路的过渡过程。 教学方法：自学为主，课堂讲授为辅。 教学内容： 一、二阶电路暂态过程方程的列写 图 7-1 二阶电路 图 …………（1） 二、三种状态的判断
特征根P1和p2是由电路参数决定的,可能出现下列三种情况 两个不相等的负实数 2.一对实部为负的共轭复数 3.一对相等的负实数 (1)非振荡放电过程 当R>2时,P和P2是两个不相等的负实数,此时电容电压以指数规律衰减 响应式(1)中待定系数A1和A2可由初始条件确定如下: lc(04)=1+A2=U0 du A 1 p+d Ay p p2-p A 2 U p2-p1 将A1和A2代入式(1)求得响应c为 c=-0(p2en-p2e2) p2-P1 继而可求得电流和电感电压 du U dt L(p?-Pi L pae dr p2-PI 以上推导中利用了P1P2=的关系
1. 2. 3. （1）非振荡放电过程 响应式（1） （1）
图72画出了uc、i、l2随时间变化的曲线。从图中可以看出,在整个过程中电容一直释 放所储存的电能,因此称为非振荡放电,又称为过阻尼放电。放电电流从零开始增大,至t=tm时 达到最大,然后逐渐减小最后趋于零。 可由 a=0求得为 In(p?/Pi) P1-P2 r=tm正是电感电压过零的时刻。ttm时,电感释放能量,磁场逐渐减 弱最后趋于消失 图7-2过阻尼放电 (2)振荡放电过程 当R212时,特征根和是一对其轭复数令A=—士,其中(=是,=C是 由图7-3可知a=a2+o2,p= arctan o,a= @o cos B,a=a知n,根据欧拉方程 J=cosB+ jsin B可进一步求得
图 7-2 过阻尼放电 7-2 （2）振荡放电过程 7 - 3
由前面的分析可得 图7-3 6-f(at+) Uo@0e-ar sin(ot+p) 继而可求得电流和电感电压 i=-C-C=0e sin ot di uo n(ot-B) 可见,在整个过渡过程中uc、i、u周期性地改变 图7-4ac、i、at的波形 方向,呈现衰减振荡的状态,即电容和电感周期性地交 换能量,电阻则始终消耗能量,电容上原有的电能最终全部转化为热能消耗掉。uc、i、u的波 形如图7-4所示,这种振荡称为衰减振荡或阻尼振荡。其中a=称为衰减系数,a= 为振荡角频率。 (3)临界状态 当R=2时,特征方程存在二重根,n=P2= a,此时微分方程的通解为 根据初始条件可求得 A 1=Uc a=aU 所以 uc=Uo(+are i=-c"c U ote dt L ate
7-3 7-4 7-4 （3）临界状态
可以看出特征根为一对相等的负实数时动态电路的响应与特征根为一对不相等的负实数时的 响应类似,即εc、i、r具有非振荡的性质,二者的波形相似。由于这种过渡过程刚好介于振荡 与非振荡之间,因此称之为临界状态。 [例] 在图7-5所示电路中,已知U:=40V,R=R2=10,L=2mH,C=20uF, 换路前电路处于稳态。求换路后的电容电压uc。 (t=0) [解]: 换路前电路已达稳态,电容相当于开路, 电感相当于短路,所以 2(0)= 2 A R+R.10+10 ac(0-)=Ri(0-)=20V 图7-5例题 换路后的RLC串联电路中 2×2x0=2500 oo 2×10-×2×10 因为α<,由前面的分析可见换路后电路的二阶微分方程的特征根为一对共轭复数,所以 电路为衰减振荡型,且 0= =√2.5×107-25003=430 VLC 电容电压的通解可以写为 uc=de sin(ot+0)=de- or sin(4330 t+0) 利用初始条件确定待定系数,有 于是所求响应为 uc=2203e-2500sim(43+652)V
[例]： [解]： 7 - 5 7-5 例题